प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन \({\sin ^{ - 1}}\left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) का डोमेन ज्ञात कीजिए। 

संकल्पना:

प्रतिलोम sine फलन sin x का डोमेन, \(x \in \left[ { - 1,1} \right]\) है। 

गणना:

फलन \({\sin ^{ - 1}}\left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) के डोमेन की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(1 - {x^2} \geq 0\)

⇒ \(x \in \left[ { - 1,1} \right]\)      ...(1)

साथ ही, 

\(- 1 \le 2x\sqrt {1 - {x^2}} \le 1\)

\( - \frac{1}{2} \le x\sqrt {1 - {x^2}} \le \frac{1}{2}\)

• x प्राप्त करने के लिए इसका वर्ग करने पर,

\(0 \leq {x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \le \frac{1}{4}\)

अब, 

\( {x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \geq 0\) और \({x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \le \frac{1}{4}\)

• यहाँ हमें x का उभयनिष्ठ मान ज्ञात करना हैं।

 \( {x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \geq 0\) के लिए,

यहाँ, x का मान जिसके लिए LHS अपना चिह्न बदलेगा -1 और 1 होगा, इसलिए उपरोक्त असमानता के लिए x का मान,

⇒ \(x \in \left[ { - 1,1} \right]\)      ....(2)​

यहाँ,

\({x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \le \frac{1}{4}\)

\(t - {t^2} - \frac{1}{4} \le 0\)

\({\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\)

\(t \le \frac{1}{2}\)

\({x^2} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(x \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\)        ....(3)

• समीकरण 1, 2 और 3 से सभी उभयनिष्ठ अंतराल लीजिए,

हमें प्राप्त होगा,

\(\Rightarrow x \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\)