ఘాతాంకాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Identities - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

\(\dfrac{(683× 683× 683+317× 317× 317)}{(683× 683-683× 317+317× 317)}\) విలువ ఎంత?

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\dfrac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b\)

గణన:

\(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2}\)

⇒ \(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2} = 683 + 317\)

⇒ 1000

∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

ఇచ్చినవి:

\[ x = \sqrt{5 + \sqrt{21}}, \quad y = \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]

మనం \( x + y \) మరియు \( xy \) లను లెక్కించాలి:

\[ x + y = \sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]

\[ (x + y)^2 = (5 + \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{21}) + 2\sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} \]

\[ (x + y)^2 = 10 + 2\sqrt{4} = 14 \]

\[ x + y = \sqrt{14} \]

\[ xy = \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} = \sqrt{25 - 21} = 2 \]

కాబట్టి:

\[ x + y + xy = \sqrt{14} + 2 \]

చివరి సమాధానం:

\[ \boxed{2 + \sqrt{14}} \]

ఇచ్చినవి:

a + b + c = 7 మరియు ab + bc + ca = 1

ఉపయోగించిన సూత్రం:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)]

లెక్కలు:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

⇒ a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

⇒ 7 [7² - 3 x 1]

⇒ 7 (49 - 3)

⇒ 7 x 46

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణం: (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

గణన:

(a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

⇒ [(a + b)(a² - ab + b²)][(a - b)(a² + ab + b²)]

⇒ [a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³][a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³]

⇒ (a³ + b³) x (a³ - b³)

⇒ (a³)² - (b³)²

⇒ = a⁶ - b⁶

కాబట్టి, సరళీకృత సమీకరణం a⁶ - b⁶.

ఇచ్చినవి:

(x + y + z) = 23 మరియు x² + y² + z² = 179 అయితే, (xy + yz + zx) విలువను కనుగొనండి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

గణన:

(x + y + z)² = 23² = 529

x² + y² + z² = 179

కాబట్టి, 529 = 179 + 2(xy + yz + zx)

⇒ 529 - 179 = 2(xy + yz + zx)

⇒ 350 = 2(xy + yz + zx)

⇒ 350/2 = xy + yz + zx

⇒ xy + yz + zx = 175

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

ఇచ్చినది:

x - 1/x = 3

ఉపయోగించిన భావన:

a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)

గణన:

గుర్తింపును వర్తింపజేయడం:

⇒ x3 - (1/x)3 = (x - 1/x)3 + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x3 - (1/x)3 = (3)3 + 3(1)(3)

⇒ x3 - (1/x)3 = 27 + 9

⇒ x3 - (1/x)3 = 36

∴ x³ - (1/x)³ యొక్క విలువ 36.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

x = √10 + 3

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

సాధన:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴అవసరమైన విలువ 234

ఇచ్చినది:

x - (1/x) = (- 6)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

x - (1/x) = P అయితే, అప్పుడు

x + (1/x) = √(P² + 4)  

x + (1/x) = P అయితే, అప్పుడు

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

గణన:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

కాబట్టి, x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

మరియు x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

ఇప్పుడు,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ సరైన సమాధానం - 8886.

ఇచ్చినది:

p – 1/p = √7

ఫార్ములా:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

లెక్కింపు:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

చిన్న ఉపాయం

x - 1/x = a, అప్పుడు x³ - 1/x³ = a³ + 3a

ఇక్కడ, a = √5

ఇక్కడ,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

ఇవ్వబడినది:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 మరియు abc = 15

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

గణన:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

ఇచ్చినది:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a + 1/a) = P ; అయిన

(a2 + 1/a2) = P2 - 2

(a3 + 1/a3) = P3 - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

లెక్కింపు:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

  ∴ సరైన సమాధానం 15127.

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 లేదా x = 1

a + b + c = 0 అయితే, అప్పుడు (a³ + b³ + c³) = 3abc,

∴ (a³ + b³ + c³)² = 9a²b²c²

ఇచ్చిన:

(a + b + c) = 19

(a 2 + b 2 + c 2 ) = 155

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

లెక్కింపు:

a + b + c = 19

రెండు వైపులా వర్గీకరించడం

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

ఇప్పుడు,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ సరైన సమాధానం 104.

ఇచ్చిన సమస్య:

x2 + (1/x2) = 7

ఉపయోగించిన సూత్రం:

x² + (1/x²) = P

అప్పుడు x + (1/x) = √(P + 2)

మరియు x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

సాధన:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ సరైన సమాధానం - 3√5.
 Mistake Point

గమనిక

0 < x < 1

కావున

1/x > 1

కావున

x + 1/x > 1

మరియు

x - 1/x < 0 (0 < x < 1 మరియు 1/x > 1 కావున, x - 1/x < 0)

కావున

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0