ఘాతాంకాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Identities - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్లోడ్ కరెన్
Last updated on Jun 3, 2025
Latest Identities MCQ Objective Questions
ఘాతాంకాలు Question 1:
\(\frac{683\times 683\times 683+317\times 317\times 317}{683\times 683-683\times 317+317\times 317}\) విలువ ఎంత ?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 1 Detailed Solution
ఇచ్చినవి:
\(\dfrac{(683× 683× 683+317× 317× 317)}{(683× 683-683× 317+317× 317)}\) విలువ ఎంత?
ఉపయోగించిన సూత్రం:
\(\dfrac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b\)
గణన:
\(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2}\)
⇒ \(\dfrac{683^3 + 317^3}{683^2 - 683×317 + 317^2} = 683 + 317\)
⇒ 1000
∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.
ఘాతాంకాలు Question 2:
బీజీయ, జ్యామితీయ సామర్థ్యత
\(x=\sqrt{5+\sqrt{21}}, y=\sqrt{5-\sqrt{21}} \Rightarrow \) x + y + xy =
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 2 Detailed Solution
ఇచ్చినవి:
\[ x = \sqrt{5 + \sqrt{21}}, \quad y = \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]
మనం \( x + y \) మరియు \( xy \) లను లెక్కించాలి:
\[ x + y = \sqrt{5 + \sqrt{21}} + \sqrt{5 - \sqrt{21}} \]
\[ (x + y)^2 = (5 + \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{21}) + 2\sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} \]
\[ (x + y)^2 = 10 + 2\sqrt{4} = 14 \]
\[ x + y = \sqrt{14} \]
\[ xy = \sqrt{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})} = \sqrt{25 - 21} = 2 \]
కాబట్టి:
\[ x + y + xy = \sqrt{14} + 2 \]
చివరి సమాధానం:
\[ \boxed{2 + \sqrt{14}} \]
ఘాతాంకాలు Question 3:
a + b + c = 7 మరియు ab + bc + ca = 1 అయితే, a3 + b3 + c3 - 3abc విలువ కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 3 Detailed Solution
ఇచ్చినవి:
a + b + c = 7 మరియు ab + bc + ca = 1
ఉపయోగించిన సూత్రం:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)]
లెక్కలు:
మనకు తెలిసినట్లుగా,
⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) [(a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)]
⇒ 7 [72 - 3 x 1]
⇒ 7 (49 - 3)
⇒ 7 x 46
⇒ 322ఘాతాంకాలు Question 4:
(a + b) (a - b) (a2 - ab + b2) (a2 + ab + b2) ల లబ్ధం :
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 4 Detailed Solution
ఇవ్వబడింది:
సమీకరణం: (a + b)(a - b)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2)
గణన:
(a + b)(a - b)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2)
⇒ [(a + b)(a2 - ab + b2)][(a - b)(a2 + ab + b2)]
⇒ [a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3][a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3]
⇒ (a3 + b3) x (a3 - b3)
⇒ (a3)2 - (b3)2
⇒ = a6 - b6
కాబట్టి, సరళీకృత సమీకరణం a6 - b6.
ఘాతాంకాలు Question 5:
(x + y + z) = 23 మరియు x2 + y2 + z2 = 179 అయితే, (xy + yz + zx) విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 5 Detailed Solution
ఇచ్చినవి:
(x + y + z) = 23 మరియు x2 + y2 + z2 = 179 అయితే, (xy + yz + zx) విలువను కనుగొనండి.
ఉపయోగించిన సూత్రం:
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
గణన:
(x + y + z)2 = 232 = 529
x2 + y2 + z2 = 179
కాబట్టి, 529 = 179 + 2(xy + yz + zx)
⇒ 529 - 179 = 2(xy + yz + zx)
⇒ 350 = 2(xy + yz + zx)
⇒ 350/2 = xy + yz + zx
⇒ xy + yz + zx = 175
∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).
Top Identities MCQ Objective Questions
x − \(\rm\frac{1}{x}\) = 3 అయితే, x3 − \(\rm\frac{1}{x^3}\) విలువ కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
x - 1/x = 3
ఉపయోగించిన భావన:
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
గణన:
గుర్తింపును వర్తింపజేయడం:
⇒ x3 - (1/x)3 = (x - 1/x)3 + 3(x × 1/x)(x - 1/x)
⇒ x3 - (1/x)3 = (3)3 + 3(1)(3)
⇒ x3 - (1/x)3 = 27 + 9
⇒ x3 - (1/x)3 = 36
∴ x3 - (1/x)3 యొక్క విలువ 36.
x = √10 + 3 అయినా \(x^3 - \frac{1}{x^3}\) యొక్క విలువను కనుగొనండి
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన దత్తాంశం:
x = √10 + 3
ఉపయోగించిన సూత్రం:
\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)
⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)
సాధన:
x = √10 + 3
⇒ 1/x = √10 - 3
⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\)
⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)
⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)
∴అవసరమైన విలువ 234
\(\rm x-\frac{1}{x}=-6\), అయిన \(\rm x^5-\frac{1}{x^5}\) విలువ ఎంత అవుతుంది ?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
x - (1/x) = (- 6)
ఉపయోగించిన సూత్రం:
x - (1/x) = P అయితే, అప్పుడు
x + (1/x) = √(P2 + 4)
x + (1/x) = P అయితే, అప్పుడు
x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)
x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}
గణన:
x - (1/x) = (- 6)
x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10
కాబట్టి, x2 - 1/x2 = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10
మరియు x3 + (1/x3) = (√40)3 - 3√40
⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10
ఇప్పుడు,
x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}
⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)
⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6
⇒ (- 8880) - 6 = - 8886
∴ సరైన సమాధానం - 8886.
p – 1/p = √7, అయితే p3 – 1/p3 విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
p – 1/p = √7
ఫార్ములా:
P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)
లెక్కింపు:
P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)
⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7
⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7
⇒ p3 – 1/p3 = 10√7
చిన్న ఉపాయం
x - 1/x = a, అప్పుడు x3 - 1/x3 = a3 + 3a
ఇక్కడ, a = √5
ఇక్కడ,
p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.
a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 మరియు abc = 15 అయితే 3 + b 3 +c 3 విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFఇవ్వబడినది:
a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 మరియు abc = 15
ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]
గణన:
a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]
⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)
⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45
⇒ 770 + 45
⇒ 815
∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.
\(a + \frac{1}{a} = 7\) , అప్పుడు \(a^5 + \frac{1}{a^5} \) దీనికి సమానం:
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
\(a + \frac{1}{a} = 7\)
ఉపయోగించిన సూత్రం:
(a + 1/a) = P ; అయిన
(a2 + 1/a2) = P2 - 2
(a3 + 1/a3) = P3 - 3P
\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)
లెక్కింపు:
a + (1/a) = 7
⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47
⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322
a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)
⇒ 47 × 322 - 7
⇒ 15134 - 7 = 15127
∴ సరైన సమాధానం 15127.
x2/3 + x1/3 = 2ను సంతృప్తి చేసే x యొక్క మొత్తం విలువ:
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDF⇒ x2/3 + x1/3 = 2
⇒ (x2/3 + x1/3)3 = 23
⇒ x2 + x + 3x(x2/3 + x1/3) = 8
⇒ x2 + 7x - 8 = 0
⇒ x2 + 8x - x - 8 = 0
⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0
⇒ x = - 8 లేదా x = 1
∴ x యొక్క మొత్తం విలువ = -8 + 1 = - 7ఒకవేళ a + b + c = 0 అయితే, అప్పుడు (a3 + b3 + c3)2 = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFa + b + c = 0 అయితే, అప్పుడు (a3 + b3 + c3) = 3abc,
∴ (a3 + b3 + c3)2 = 9a2b2c2
(a + b + c) = 19 మరియు (a2 + b2 + c2) = 155 అయితే, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన:
(a + b + c) = 19
(a 2 + b 2 + c 2 ) = 155
ఉపయోగించిన ఫార్ములా:
a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]
లెక్కింపు:
a + b + c = 19
రెండు వైపులా వర్గీకరించడం
⇒ (a + b + c)2 = (19)2
⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361
⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361
⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)
⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103
ఇప్పుడు,
a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]
⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104
∴ సరైన సమాధానం 104.
\((x^2+\frac{1}{x^2})=7\), మరియు 0 < x < 1 అయితే, \(x^2-\frac{1}{x^2} \) విలువను కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Identities Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చిన సమస్య:
x2 + (1/x2) = 7
ఉపయోగించిన సూత్రం:
x2 + (1/x2) = P
అప్పుడు x + (1/x) = √(P + 2)
మరియు x - (1/x) = √(P - 2)
⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}
సాధన:
x2 + (1/x2) = 7
⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9
⇒ x + (1/x) = 3
⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)
⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}
x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}
⇒ 3 × (- √5)
∴ సరైన సమాధానం - 3√5.
Mistake Point
గమనిక
0 < x < 1
కావున
1/x > 1
కావున
x + 1/x > 1
మరియు
x - 1/x < 0 (0 < x < 1 మరియు 1/x > 1 కావున, x - 1/x < 0)
కావున
(x - 1/x)(x + 1/x) < 0