శంకువు యొక్క భాగాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Frustum of Cone - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడిన శంకువుల ఎత్తుల నిష్పత్తి \( h_1 : h_2 = 2 : 5 \) మరియు వ్యాసాల నిష్పత్తి \( d_1 : d_2 = 6 : 7 \). కాబట్టి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి \( r_1 : r_2 = 6 : 7 \).

శంకువు యొక్క ఘనపరిమాణం:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} \]

ఇవ్వబడిన నిష్పత్తులను ప్రతిక్షేపించగా:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{6}{7}\right)^2 \times \frac{2}{5} = \frac{36}{49} \times \frac{2}{5} = \frac{72}{245} \]

కాబట్టి, వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి:

\[ \boxed{\dfrac{72}{245}} \]

ఇచ్చినవి:

రెండు శంకువుల వక్రతల వైశాల్యాలు 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి

వాటి వాలు ఎత్తులు 1 : 2 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి

ఉపయోగించిన భావన:

శంకువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం (CSA) కు సూత్రం ఇలా ఇవ్వబడింది:

CSA = πrl, ఇక్కడ r వ్యాసార్థం మరియు l వాలు ఎత్తు.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు శంకువుల వక్రతల వైశాల్యాలు A₁ మరియు A₂ అని, వాటి వాలు ఎత్తులు l₁ మరియు l₂ అని అనుకుందాం. అప్పుడు,

A₁/A₂ = (πr₁l₁)/(πr₂l₂)

ఇచ్చిన A₁/A₂ = 2/1 మరియు l₁/l₂ = 1/2

గణన:

ఇచ్చిన నిష్పత్తుల నుండి:

⇒ (r₁l₁)/(r₂l₂) = 2/1

⇒ (r₁ x l₁)/(r₂ x l₂) = 2/1

ఇచ్చిన l₁/l₂ = 1/2

⇒ l₁ = l₂/2

సమీకరణంలో l₁ ని ప్రతిక్షేపించడం:

⇒ (r₁ x l₂/2)/(r₂ x l₂) = 2/1

⇒ (r₁/2)/r₂ = 2/1

⇒ r₁/(2r₂) = 2/1

⇒ r₁ = 4r₂

∴ వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి 4 : 1.

ఇచ్చినవి:

గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం (A) = 1386 మీ²

భావన:

గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం కనుగొనడానికి, మనకు వ్యాసార్థం తెలియాలి. గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం ఈ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

A = 4πr²

వ్యాసార్థం తెలిసిన తర్వాత, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఘనపరిమాణం కనుగొనవచ్చు:

ఘనపరిమాణం (V) = (4/3)πr³

ఉపయోగించిన సూత్రాలు:

1. ఉపరితల వైశాల్యం: A = 4πr²

2. ఘనపరిమాణం: V = (4/3)πr³

గణన:

ఇచ్చిన A = 1386 మీ²

⇒ 1386 = 4πr²

⇒ r² = 1386 / (4π)

⇒ r² = 1386 / (4 x 3.14159)

⇒ r² = 1386 / 12.56636

⇒ r² ≈ 110.3

⇒ r ≈ √110.3

⇒ r ≈ 10.5 మీ

ఇప్పుడు, వ్యాసార్థాన్ని ఉపయోగించి ఘనపరిమాణం కనుగొనండి:

V = (4/3)πr³

⇒ V = (4/3)π(10.5)³

⇒ V = (4/3)π(1157.625)

⇒ V ≈ (4/3) x 3.14159 x 1157.625

⇒ V ≈ 4851 మీ³

∴ గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం 4851 మీ³.

ఇచ్చింది:

కుడి వృత్తాకార శంఖువు ఖండం యొక్క భూ వ్యాసం 10 సెం.మీ, మరియు పైన వ్యాసం 6 సెం.మీ, మరియు దాని ఎత్తు 5 సెం.మీ. ( π = \(\frac{22}{7}\)ఉపయోగించండి)

ఉపయోగించిన సూత్రము:

ఒక శంఖువు ఖండం యొక్క ఘనపరిమాణం:

V = \(\frac{1}{3}\)π(R² + r² + Rr)h

ఇక్కడ:

h అనేది ఖండం యొక్క ఎత్తు.

R అనేది ఖండం యొక్క పెద్ద ఆధారం (పై ఆధారం) యొక్క వ్యాసార్థం.

r అనేది ఖండం యొక్క చిన్న ఆధారం (దిగువ ఆధారం) యొక్క వ్యాసార్థం.

గణన:

అనే ప్రశ్న ప్రకారం,

R = 10/2 = 5 సెం.మీ

r = 6/2 = 3 సెం.మీ

h = 5

ఇప్పుడు, అవసరమైన సూత్రంలో సంబంధిత అక్షరాల విలువను ప్రతిక్షేపన చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది,

⇒ V = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (52 + 32 + (5 × 3)) × 5

⇒ V = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (25 + 9 + 15) × 5

⇒ V = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 49 × 5

⇒ V = 256.67 సెం.మీ³

కాబట్టి, "256.67 సెం.మీ3" అనేది అవసరమైన సమాధానం.

ఇచ్చిన:

వాల్యూమ్ = v cm ³

ఎత్తు = h సెం.మీ

కాన్సెప్ట్: కోన్ వాల్యూమ్ యొక్క సూత్రం V = 1/3πr ² h

పరిష్కారం:

⇒ v = 1/3πr ² * h

⇒ 'r' కోసం పరిష్కరిస్తే r = \(\rm\sqrt{(3v / πh)}\)

అందువల్ల, కోన్ యొక్క వ్యాసార్థం \(\rm\sqrt{(3v / πh)}\) సెం.మీ.

⇒ కోన్ యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం యొక్క సూత్రం = πrl

ఇక్కడ r అనేది వ్యాసార్థం మరియు l అనేది కోన్ యొక్క స్లాంట్ ఎత్తు.

⇒ r = √(l ² – h ² )

⇒ r = √(256 – 207)

⇒ r = √49 = 7 సెం.మీ

శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం = శంఖువు యొక్క ఎత్తు

శంఖువు యొక్క వ్యాసార్థం r మరియు అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసార్థం R గా ఉండనివ్వండి.

శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం అర్ధగోళం యొక్క ఘనపరిమాణానికి సమానంగా ఉంటుంది

⇒ 1/3πr².r = 2/3πR³

⇒ r³ = 2R³

⇒ r³ = 2R³

ఇచ్చివిన:

బేస్, వైశల్యం = 36π సెం.మీ²

వృత్తాకార ఎగువ ఉపరితలం యొక్క వ్యాసార్థం, r = 3 సెం.మీ.

వాలు ఎత్తు, l = 5 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రము:

ఫ్రస్టమ్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం = (πRL - πrl)

లెక్కింపు:

బేస్, వైశల్యం = 36π 

⇒ π R² = 36π 

⇒ R = √ 36 = 6 సెం.మీ

ఇచ్చిన r = 3 సెం.మీ

∵ ΔABC ≅ ΔADE

\(BC\over DE\) = \(AC\over AE\)

⇒ \(6\over12\) = \(5\over AE\)

⇒​ AE = 10 సెం.మీ = L

ఫ్రస్టమ్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

⇒ π RL - π rl

⇒ π × 6 × 10 - π × 3 × 5

⇒ 60π - 15π = 45π  

శంఖువు ఘనపరిమాణం = (1/3)πr ² h

⇒ r = h/3

⇒ శంఖువు ఘనపరిమాణం = πr ³

గోళం ఘనపరిమాణం = (4/3)πR ³

⇒ శంఖువు ఘనపరిమాణం = గోళం ఘనపరిమాణం

⇒ r ³ = (4/3)R ³

ఇచ్చింది:

భూమి యొక్క వ్యాసార్థం (R) = 5 సెం.మీ

పైభాగం యొక్క వ్యాసార్థం (r) = 3 సెం.మీ

శంఖు ఖండం యొక్క ఎత్తు (H). = 6 సెం.మీ

ఉపయోగించబడిన సూత్రము:

శంఖు ఖండం యొక్క  ఘన పరిమాణము (V) = 1/3 πH (R² + Rr + r²)

గణన:

ఇచ్చిన ప్రశ్న ప్రకారం,

శంఖు ఖండం యొక్క  ఘన పరిమాణము = 1/3 π × 6 × [(5)2 + (5 × 3) + (3)2]

⇒ V = π × 2 × [25 + 15 + 9]

⇒ V = π × 2 × [49] = 98π సెం.మీ³ 

∴ శంఖు ఖండం యొక్క  ఘన పరిమాణము 98π సెం.మీ3. 

r = 1 సె౦.మీ, R = 2.5 సె౦.మీ, h = 7 సె౦.మీ

ఫ్రస్టమ్ యొక్క ఎత్తు = 7 - 1 = 6 సెం.మీ

⇒ l = √[h2 + (R – r)]2

⇒ l = √[(6)2 + (2.5 – 1)2]

⇒ l = √(36 + 2.25)

⇒ స్లాంట్ ఎత్తు, l = 6.2 సెం.మీ.

బాహ్య ఉపరితల వైశాల్యం = (ఫ్రస్టమ్ యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం) + (అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం)

⇒ బాహ్య ఉపరితల వైశాల్యం = 22/7 × (r + R) × l + 2 × (22/7) × r²

⇒ బాహ్య ఉపరితల వైశాల్యం = 22/7 × [(1 + 2.5)6.2 + 2 × (1)²]

⇒ బాహ్య ఉపరితల వైశాల్యం = 22/7 × (3.5 × 6.2 + 2)

⇒ బాహ్య ఉపరితల వైశాల్యం = 22/7 × (21.7 + 2) = 74.29 సెం.మీ²

ఇచ్చింది:

ఎత్తు = 21 సెం.మీ

R = 15 సెం.మీ

r = 7 సెం.మీ

నియమం:

ఫ్రస్టమ్ యొక్క ఘనపరిమాణం = \(\frac{\pi H}{3}\)(R2 + Rr + r2) 

లెక్కింపు:

గ్లాసు యొక్క ఘనపరిమాణం= \(\frac{22}{7}×\frac{21}{3}\)(152 + 15 × 7 + 72) 

⇒ 8338 cm3 

∴ ఒక గ్లాసు యొక్క ఘనపరిమాణం 8338 cm³

మనకు తెలిసినట్లుగా,

శంకువు ఘనపరిమాణం = (1/3) πr²h

గోళం ఘనపరిమాణం = (4/3) πR³

మొదటి శంకువు ఎత్తు h₁ = 16.4

రెండవ శంకువు ఎత్తు h₂ = 17.2 సెం.మీ

రెండు శంకువుల వ్యాసార్థం r₁ మరియు r₂ 8.4 సెం.మీ

ప్రశ్న ప్రకారం

శంకువు ఘనపరిమాణం = రెండు శంకువుల ఘనపరిమాణాల మొత్తం

(4/3) πR³ = (1/3) π x 8.4 x 8.4 x 16.4 + (1/3) π x 8.4 x 8.4 x 17.2

⇒ (4/3) πR³ = (1/3) π x 8.4 x 8.4 (16.4 + 17.2)

⇒ R³ = (8.4 x 8.4 x 33.6)/4

⇒ R = ∛[8.4 x 8.4 x 8.4]

⇒ R = 8.4

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఏటవాలు ఎత్తు l = 8 సెం.మీ

వృత్తాకార భూమి చుట్టుకొలతలు 20 సెం.మీ మరియు 12 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

తునక యొక్క వక్రతల వైశాల్యం  = \(\pi(r +R)l\)

ఇక్కడ, r = తునక యొక్క అగ్ర వ్యాసార్థం

R = తునక యొక్క మూల వ్యాసార్థం

l = ఏటవాలు ఎత్తు.

సాధన:

వృత్తాకార స్థావరాల చుట్టుకొలతలు 20 సెం.మీ మరియు 12 సెం.మీ

⇒ \(2\pi R\) = 20

⇒ R = \(\frac{10}{\pi}\)

అదేవిధంగా,

⇒ \(2\pi r\) = 12

⇒ r = \(\frac{6}{\pi}\)

∴ తునక యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = \(\pi(r +R)l\)

⇒ తునక యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = \(\pi(\frac{10}{\pi} + \frac{6}{\pi}) \times 8\)

⇒ తునక యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 16 × 8

⇒ తునక యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = 128 సెం.మీ2 .

మనకి తెలిసినట్టు,

అర్థగోళపు ఘనపరిమాణం = (2/3)πr³

శంఖువు ఘనపరిమాణం = (1/3)πr²h

ప్రశ్న ప్రకారం

(1/3)πr²h = (2/3)πr³

h = 2r

మనకి తెలిసినట్లు,

l² = r² + h²

⇒ l² = r² + (2r)²

⇒ l² = 5r²

⇒ l = √5 r

అర్ధగోళపు వక్రతల వైశాల్యం = 2πr²

శంఖువు యొక్క వక్రతల వైశాల్యం = πrl = πr × (√5r) = √5r²