Triple Integral MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triple Integral - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

⇒ \(I = \iiint_R xyzdxdydz \) R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ \(I =\int_0^1\int_1^2\int_2^3 xyzdzdydx\)

⇒\(I = \int_0^1 xdx \int_1^2 ydy \int_2^3zdz \)

⇒\(I = (\frac{x^2}{2})_0^1(\frac{y^2}{2})_1^2(\frac{z^2}{2})_2^3\)

हल करने के बाद

⇒I = \( \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{3}{2} \right) \times \left( \frac{5}{2} \right) \)

⇒\( \iiint_R xyz \,dx\,dy\,dz = \frac{15}{8} \)

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒\(m\times n = 15\times 8 = 120\)

अतः विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)dydxdz} } }\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[\int\limits_{x - z}^{x + z} (x + y + z)dy\right]dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[ (x + y)[y] + \frac{y^2}{2}\right]_{x - z}^{x + z}dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left[ \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dx\right]dz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)\;+\;2z^2[x]\right\}_0^zdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^14z^3dz\;\)

\(\frac{4}{4}[z^4]_{-1}^1=0\)

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

\(\mathop{\int }_{{{\text{x}}_{1}}}^{{{\text{x}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{y}}_{1}}}^{{{\text{y}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{z}}_{1}}}^{{{\text{z}}_{2}}}\text{f}\left( \text{x},\text{y},\text{z} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dy }\!\!~\!\!\text{ dx}\)

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{\text{1}}\mathop{\int }_{0}^{1-\text{x}}\text{x }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{z} \right|_{0}^{1-\text{x}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left( 1-\text{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathop{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{{\text{x}}^{2}}}{2}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3} \right|_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)-\left( \frac{{{\text{y}}^{4}}}{2}-\frac{{{\text{y}}^{6}}}{3} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\frac{1}{6}-\left| \frac{{{\text{y}}^{5}}}{10}-\frac{{{\text{y}}^{7}}}{21} \right|_{0}^{1}\)

\(=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}\)

हल -  \(\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x dx dy dz) \) की गणना करने पर,

\( = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2}{2} |_0^1 dy dz \)

\(= \frac{1}{2} \int_0^1 y|_0^1 dz \)

\(= \frac{1}{2}*1 \int_0^1 dz = \frac{1}{2}\)

अतः सही विकल्प विकल्प 2 है।

व्याख्या:

त्रिविमीय ठोस W पर किसी फलन f(x, y, z) का त्रिशः समाकल इस प्रकार लिखा जाता है:

∫∫∫_W f(x, y, z) dV

जहाँ dV = dx dy dz, xyz-निर्देशांक में एक अवकल आयतन अवयव है और समाकल चिह्न ∫∫∫_W, क्षेत्र W के परितः समाकलन को प्रदर्शित करता है। यह समाकलन f(x, y, z) संपूर्ण क्षेत्र W के आयतन-भारित योग की गणना करता है।

अतः सही उत्तर ∫∫∫_w f. dv है।

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

\(\mathop{\int }_{{{\text{x}}_{1}}}^{{{\text{x}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{y}}_{1}}}^{{{\text{y}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{z}}_{1}}}^{{{\text{z}}_{2}}}\text{f}\left( \text{x},\text{y},\text{z} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dy }\!\!~\!\!\text{ dx}\)

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{\text{1}}\mathop{\int }_{0}^{1-\text{x}}\text{x }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{z} \right|_{0}^{1-\text{x}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left( 1-\text{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathop{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{{\text{x}}^{2}}}{2}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3} \right|_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)-\left( \frac{{{\text{y}}^{4}}}{2}-\frac{{{\text{y}}^{6}}}{3} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\frac{1}{6}-\left| \frac{{{\text{y}}^{5}}}{10}-\frac{{{\text{y}}^{7}}}{21} \right|_{0}^{1}\)

\(=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}\)

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

\(\int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \int\limits_{z_1}^{z_2} f(x, y, x)dzdydx\)

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy } }\)

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ + zy\right]_{x-z}^{z +z}dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ x(x + z - x + z) \ + \ \frac{1}{2} ((x + z)^2 - (x - z)^2 ) + z (x + z - x + z)\right] dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (2xz + 2xz + 2x^2)dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (4xz + 2z^2) dxdz\)

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ \frac{4x^2z}{2} + 2z^2x \right]_0^z dx\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ 2x^2z + 2z^2x\right]_0^z dz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 4z^3 dz\)

⇒ \(4 \left[ \frac{z^4}{4 }\right]_{-1}^1\)

⇒ \(\frac{4}{4}[(1)^4 - (-1)^4 ]\)

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy = 0} } \)

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

\(\mathop{\int }_{{{\text{x}}_{1}}}^{{{\text{x}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{y}}_{1}}}^{{{\text{y}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{z}}_{1}}}^{{{\text{z}}_{2}}}\text{f}\left( \text{x},\text{y},\text{z} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dy }\!\!~\!\!\text{ dx}\)

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{\text{1}}\mathop{\int }_{0}^{1-\text{x}}\text{x }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{z} \right|_{0}^{1-\text{x}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left( 1-\text{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathop{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{{\text{x}}^{2}}}{2}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3} \right|_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)-\left( \frac{{{\text{y}}^{4}}}{2}-\frac{{{\text{y}}^{6}}}{3} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\frac{1}{6}-\left| \frac{{{\text{y}}^{5}}}{10}-\frac{{{\text{y}}^{7}}}{21} \right|_{0}^{1}\)

\(=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}\)

व्याख्या:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)dydxdz} } }\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[\int\limits_{x - z}^{x + z} (x + y + z)dy\right]dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[ (x + y)[y] + \frac{y^2}{2}\right]_{x - z}^{x + z}dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left[ \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dx\right]dz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)\;+\;2z^2[x]\right\}_0^zdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^14z^3dz\;\)

\(\frac{4}{4}[z^4]_{-1}^1=0\)

हल -  \(\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x dx dy dz) \) की गणना करने पर,

\( = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2}{2} |_0^1 dy dz \)

\(= \frac{1}{2} \int_0^1 y|_0^1 dz \)

\(= \frac{1}{2}*1 \int_0^1 dz = \frac{1}{2}\)

अतः सही विकल्प विकल्प 2 है।

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

\(\int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \int\limits_{z_1}^{z_2} f(x, y, x)dzdydx\)

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy } }\)

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ xy \ + \ \frac{y^2}{2} \ + zy\right]_{x-z}^{z +z}dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z \left[ x(x + z - x + z) \ + \ \frac{1}{2} ((x + z)^2 - (x - z)^2 ) + z (x + z - x + z)\right] dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (2xz + 2xz + 2x^2)dxdz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \int\limits_0^z (4xz + 2z^2) dxdz\)

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ \frac{4x^2z}{2} + 2z^2x \right]_0^z dx\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 \left[ 2x^2z + 2z^2x\right]_0^z dz\)

⇒ \(\int\limits_{-1}^1 4z^3 dz\)

⇒ \(4 \left[ \frac{z^4}{4 }\right]_{-1}^1\)

⇒ \(\frac{4}{4}[(1)^4 - (-1)^4 ]\)

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ \(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)} dzdxdy = 0} } \)

व्याख्या:

त्रिविमीय ठोस W पर किसी फलन f(x, y, z) का त्रिशः समाकल इस प्रकार लिखा जाता है:

∫∫∫_W f(x, y, z) dV

जहाँ dV = dx dy dz, xyz-निर्देशांक में एक अवकल आयतन अवयव है और समाकल चिह्न ∫∫∫_W, क्षेत्र W के परितः समाकलन को प्रदर्शित करता है। यह समाकलन f(x, y, z) संपूर्ण क्षेत्र W के आयतन-भारित योग की गणना करता है।

अतः सही उत्तर ∫∫∫_w f. dv है।

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

\(\mathop{\int }_{{{\text{x}}_{1}}}^{{{\text{x}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{y}}_{1}}}^{{{\text{y}}_{2}}}\mathop{\int }_{{{\text{z}}_{1}}}^{{{\text{z}}_{2}}}\text{f}\left( \text{x},\text{y},\text{z} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dy }\!\!~\!\!\text{ dx}\)

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

\(\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{\text{1}}\mathop{\int }_{0}^{1-\text{x}}\text{x }\!\!~\!\!\text{ dz }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{z} \right|_{0}^{1-\text{x}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\mathop{\int }_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{x }\!\!~\!\!\text{ }\left( 1-\text{x} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dx }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\mathop{\int }_{0}^{1}\left| \frac{{{\text{x}}^{2}}}{2}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3} \right|_{{{\text{y}}^{2}}}^{1}\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\mathop{\int }_{0}^{1}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)-\left( \frac{{{\text{y}}^{4}}}{2}-\frac{{{\text{y}}^{6}}}{3} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ dy}\)

\(=\frac{1}{6}-\left| \frac{{{\text{y}}^{5}}}{10}-\frac{{{\text{y}}^{7}}}{21} \right|_{0}^{1}\)

\(=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{21}=\frac{10}{60}-\frac{6}{60}+\frac{1}{21}=\frac{1}{15}+\frac{1}{21}\)

व्याख्या:

⇒ \(I = \iiint_R xyzdxdydz \) R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒ \(I =\int_0^1\int_1^2\int_2^3 xyzdzdydx\)

⇒\(I = \int_0^1 xdx \int_1^2 ydy \int_2^3zdz \)

⇒\(I = (\frac{x^2}{2})_0^1(\frac{y^2}{2})_1^2(\frac{z^2}{2})_2^3\)

हल करने के बाद

⇒I = \( \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{3}{2} \right) \times \left( \frac{5}{2} \right) \)

⇒\( \iiint_R xyz \,dx\,dy\,dz = \frac{15}{8} \)

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒\(m\times n = 15\times 8 = 120\)

अतः विकल्प 4 सही है।

व्याख्या:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {\int\limits_0^z {\int\limits_{x - z}^{x + z} {(x + y + z)dydxdz} } }\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[\int\limits_{x - z}^{x + z} (x + y + z)dy\right]dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z \left[ (x + y)[y] + \frac{y^2}{2}\right]_{x - z}^{x + z}dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1 \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dxdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left[ \int\limits_0^z (4xz\;+\;2z^2)dx\right]dz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^1\left\{4z\left(\frac{x^2}{2}\right)\;+\;2z^2[x]\right\}_0^zdz\;\)

\(\int\limits_{ - 1}^14z^3dz\;\)

\(\frac{4}{4}[z^4]_{-1}^1=0\)