Matrix Representation of Linear Transformations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrix Representation of Linear Transformations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

आव्यूह A से संबद्ध रैखिक रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

⇒ \(T(x, y) = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x + 3y \\ 4x - y \end{bmatrix}\)

चरण 1: T(1,3) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें:

⇒ \(T(1,3) = \begin{bmatrix} 2(1) + 3(3) \\ 4(1) - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 + 9 \\ 4 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 1 \end{bmatrix}\)

हम (11,1) को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं:

⇒ \( \begin{bmatrix} 11 \\ 1 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है:

 ⇒ a + 2b = 11

⇒ 3a + 5b = 1

a और b के लिए हल:

पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,

⇒ 3a + 6b = 33

दूसरे समीकरण से घटाना

⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 1 - 33

\(-b = -32 \Rightarrow b = 32\)

a + 2b = 11 में b = 32 प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ a + 2(32) = 11

⇒ a + 64 = 11

⇒ a = -53

इस प्रकार, आधार S में T(1,3) का निर्देशांक सदिश है,

⇒ \(\begin{bmatrix} -53 \\ 32 \end{bmatrix}\)

T(2,5) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें,

⇒ \(T(2,5) = \begin{bmatrix} 2(2) + 3(5) \\ 4(2) - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 15 \\ 8 - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ 3 \end{bmatrix}\)

हम (19,3) को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:

⇒ \( \begin{bmatrix} 19 \\ 3 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)

इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है, 

⇒ a + 2b = 19

⇒ 3a + 5b = 3

a और b के लिए हल:

पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,

⇒ 3a + 6b = 57

दूसरे समीकरण से घटाना

⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 3 - 57

\(-b = -54 \Rightarrow b = 54\)

a + 2b = 19 में b = 54 प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ a + 2(54) = 19

⇒ a + 108 = 19

⇒ a = -89 

इस प्रकार, आधार S में T(2,5) का निर्देशांक सदिश है,

⇒ \(\begin{bmatrix} -89 \\ 54 \end{bmatrix}\)

आधार S में रूपांतरण आव्यूह है:

⇒ \(B=[T]_S = \begin{bmatrix} -53 & -89 \\ 32 & 54 \end{bmatrix}\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

संप्रत्यय -

(1) माना कि W, V का एक T अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

T : V → V और T|_W = \(\hat {T}\) : W → W

माना कि B_W , W के लिए एक आधार है और BV , B_W द्वारा विस्तारित V के लिए एक आधार है

T' = T/W : V/W → V/W और

\(C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T'}(x)\)

\([T]_{B_V \to B_V}= \begin{pmatrix} [\hat{T}]_{B_W \to B_W} & C \\ 0 & [T']_{B_{V/W} \to B_{V/W}} \end{pmatrix}\)

(2) शून्य और पूर्ण स्थान हमेशा अपरिवर्तनशील उप-स्थान होते हैं।

व्याख्या -

विकल्प(1) के लिए -

माना कि Tv = λv, v ≠ 0

= { αv : α ∈ \(\mathbb{C}\) }

अब T(α v) = α Tv = α λv = (α λ)v ∈

अतः एक 1 - आयामी T - अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

क्योंकि ℂn(\(\mathbb{C}\)) एक सदिश स्थान है, इसलिए इसका एक आइगेन मान होना चाहिए, (माना कि λ और क्षेत्र = \(\mathbb{C}\) )

और माना कि v, आइगेन मान λ के संगत एक शून्येतर आइगेन सदिश है।

अतः एक 1 - आयामी T - अपरिवर्तनशील उप-स्थान है जो शून्येतर भी है।

अतः विकल्प(1) असत्य है।

विकल्प (3) के लिए -

माना कि आव्यूह \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

अब आव्यूह A के लिए अभिलक्षणिक बहुपद C_A(x) = x²(x²+1)

स्पष्ट रूप से आव्यूह A के लिए आइगेन मान 0,0, ± i हैं

अतः विकल्प(3) असत्य है।

विकल्प (2) & (4) के लिए -

हम जानते हैं कि अपरिवर्तनशील से \(C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T'}(x)\)

डिग्री C_T(x) = n ≥ 4

क्योंकि F (क्षेत्र) = \(\mathbb{C}\) ⇒ CT(x) \(\mathbb{C}[x]\) में पूर्ण रूप से विभाजित होता है

किसी भी n - 3 डिग्री गुणज को CT(x) का लें

\(C_{\hat{T}}(x)\) = (x - λ1)(x - λ2)(x - λ3)(x - λ4)............(x - λn-3)

W = 1, v₂ , ..... v_n-3> चुनें जहाँ Tv_i = λ_iv_i , 1 ≤ i ≤ n - 3 जहाँ v1, v2 , ..... vn-3 रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं

अब माना कि W ℂn में n - 3 आयाम का एक अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

माना कि w ∈ W = 1, v2 , ..... vn-3>

w = α₁v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3

Tw = T(α1v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3 )

= α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 ........ + αn-3Tvn-3

= α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 ........ + αn-3λ_n-3vn-3 ∈ 1, v2 , ..... vn-3>

यह हमारी धारणा का पालन करता है।

अतः विकल्प(2) सही है।

इसी प्रकार A2 का ℂn में n - 1 आयाम का अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

इसलिए विकल्प(4) सही नहीं है।

अवधारणा:

यदि दोनों आव्यूहों का पंक्ति सोपानक रूप समान है, तो दोनों आव्यूहों की पंक्ति समष्टि समान होती है।

स्पष्टीकरण:

\(\left(\begin{array}{lll} 4 & 8 & 4 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right)\)

 ∼\(\left(\begin{array}{lll} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\leftrightarrow R_3\))

 ∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\rightarrow \frac12R_1\))

∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_2\rightarrow R_2-3R_1\), \(R_3\rightarrow R_3-4R_1\))

∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) (\(R_3\rightarrow R_3-4R_2\),

इसलिए, दिए गए आव्यूह का समान पंक्ति समष्टि \(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\) है।

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए

व्याख्या:

A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।

इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।

(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।

(1) सत्य है

(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।

(2) सत्य है

(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।

यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।

इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α² + β²) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।

इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।

(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।

व्याख्या:

ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।

(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)

चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)

यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x² - 4

इसलिए g(T) = T² - 4I

अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं

इसलिए g(T) ≠ 0

(a) असत्य है।

(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।

इसलिए 0 के लिए GM = 2 

हम जानते हैं कि AM ≥ GM

इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए

मामले के लिए AM = 2

मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0

इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x²(x - λ)

इसलिए g(x) = x(x - λ) = x² - λx

इसलिए g(T) = T² - λT

अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है

T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ² - λ² = 0, 0, 0 है

इसलिए g(T) = 0

यदि λ = 0 तो f(x) = x³ इसलिए g(x) = x² इसलिए g(T) = 0

(b) सही है।

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

यदि दोनों आव्यूहों का पंक्ति सोपानक रूप समान है, तो दोनों आव्यूहों की पंक्ति समष्टि समान होती है।

स्पष्टीकरण:

\(\left(\begin{array}{lll} 4 & 8 & 4 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{array}\right)\)

 ∼\(\left(\begin{array}{lll} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\leftrightarrow R_3\))

 ∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & 1 \\ 4 & 8 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_1\rightarrow \frac12R_1\))

∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)\) (\(R_2\rightarrow R_2-3R_1\), \(R_3\rightarrow R_3-4R_1\))

∼\(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) (\(R_3\rightarrow R_3-4R_2\),

इसलिए, दिए गए आव्यूह का समान पंक्ति समष्टि \(\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\) है।

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए

व्याख्या:

A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।

इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।

(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।

(1) सत्य है

(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।

(2) सत्य है

(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।

यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।

इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α² + β²) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।

इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।

(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।

स्पष्टीकरण:

हम जानते है यदि A = \(\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}\) है, तब Aⁿ = \(\begin{bmatrix}a^n&na^{n-1}\\0&a^n\end{bmatrix}\) है

दिया गया है: \(\rm A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \)

उपरोक्त परिणाम का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

A10 = \(\left[\begin{array}{ll}2^{10} & 10\cdot2^9 \\ 0 & 2^{10}\end{array}\right] \) = \(\left[\begin{array}{cc}4^5 & 20 \cdot 4^4 \\ 0 & 4^5\end{array}\right]\)

(3) सही है

व्याख्या:

ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।

(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)

चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)

यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x² - 4

इसलिए g(T) = T² - 4I

अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं

इसलिए g(T) ≠ 0

(a) असत्य है।

(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।

इसलिए 0 के लिए GM = 2 

हम जानते हैं कि AM ≥ GM

इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए

मामले के लिए AM = 2

मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0

इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x²(x - λ)

इसलिए g(x) = x(x - λ) = x² - λx

इसलिए g(T) = T² - λT

अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है

T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ² - λ² = 0, 0, 0 है

इसलिए g(T) = 0

यदि λ = 0 तो f(x) = x³ इसलिए g(x) = x² इसलिए g(T) = 0

(b) सही है।

विकल्प (4) सही है।