Matrix Representation of Linear Transformations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Matrix Representation of Linear Transformations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक व्युत्क्रमणीय रैखिक रूपांतरण (या व्युत्क्रमणीय रूपांतरण) एक रैखिक रूपांतरण $T:V\to V$ एक सदिश समष्टि V पर है जिसका एक व्युत्क्रम रूपांतरण $T^{-1}$ इस प्रकार है कि

$T(T^{-1}(v))=v\text{और}{T}^{-1}(T(v))=v$

सभी $v\in V$ के लिए।

व्याख्या:

T, S : ${\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^4$ दो शून्येतर, अतत्समक रैखिक रूपांतरण हैं।

$T^2=T$, जिसका अर्थ है कि T एक वर्गसम रूपांतरण है।

विकल्प 1: T आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय है:

चूँकि $T^2=T$ , T वर्गसम है। एक वर्गसम आव्यूह (रूपांतरण) तब तक व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता जब तक कि

यह तत्समक आव्यूह न हो क्योंकि यदि T व्युत्क्रमणीय होता, तो हमारे पास $T^2=T\Rightarrow T=I$ होता, जो दी गई शर्त के साथ विरोधाभासी है कि T अतत्सम है। इसलिए, विकल्प 1 असत्य है।

विकल्प 2: यदि $S^2=S$ और $\text{Rank}(T)=\text{Rank}(S):$ है, तो T और S समरूप हैं:

दो वर्गसम रूपांतरण T और S समरूप होते हैं यदि उनका कोटि समान है, क्योंकि समरूप रूपांतरणों

का जॉर्डन रूप समान होता है, और वर्गसम आव्यूहों के लिए, रूप कोटि द्वारा अभिलक्षित होता है। इसलिए, यदि $S^2=S$ और

$\text{Rank}(T)=\text{Rank}(S)$ , तो T और S समरूप हो सकते हैं। इसलिए, विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3: यदि S के केवल 0 और 1 आइगेनमान हैं, तो T और S समरूप हैं:

जबकि T और S दोनों के आइगेन मान 0 और 1 होंगे (चूँकि वे वर्गसम हैं), समरूपता के लिए न केवल समान आइगेन मान की आवश्यकता होती है, बल्कि समान कोटि की भी आवश्यकता होती है, साथ ही एक समरूपता परिवर्तन जो उनके जॉर्डन रूपों को संबंधित करता है। यह शर्त अकेले (केवल 0 और 1 आइगेनमान के रूप में) समरूपता की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है। इसलिए, विकल्प 3 असत्य है।

विकल्प 4: T आवश्यक रूप से विकर्णनीय है:

एक वर्गसम आव्यूह (केवल 0 और 1 आइगेन मानों के साथ) हमेशा विकर्णनीय होता है, क्योंकि इसे एक ऐसे रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ यह विकर्ण पर 0 और 1 वाले एक विकर्ण आव्यूह के समरूप होता है, जो प्रत्येक आइगेन मान से संबद्ध आइगेन समष्टि पर प्रक्षेपण से मेल खाता है। इसलिए, विकल्प 4 सत्य है।

इसलिए, विकल्प 2) और 4) सही हैं।

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण और आव्यूह निरूपण:

T एक रैखिक रूपांतरण है जो किसी भी $2\times 2$ आव्यूह $B\in V$ को $AB$ में मैप करता है, जहाँ $A$ एक दिया गया $2\times 2$ आव्यूह है।

अभिलाक्षणिक बहुपद:

एक आव्यूह A का अभिलाक्षणिक बहुपद $A-\lambda I$ के सारणिक द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ आइगेन मान है और $I$ तत्समक आव्यूह है। अभिलाक्षणिक बहुपद $\text{det}(A-\lambda I)$ है जहाँ $I$ A के समान आयाम का तत्समक आव्यूह है, और $\lambda$ आइगेन मानों का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या:
A =$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

यहाँ, T, $2\times 2$ आव्यूहों पर कार्य कर रहा है। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि A किसी भी $B\in V$ पर कैसे कार्य करता है, जहाँ B = $\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ है।

B पर A की क्रिया है

T(B) = AB = $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc}2b_{11}& 2b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$

यह दर्शाता है कि कैसे रूपांतरण T आव्यूह B की पहली पंक्ति को 2 से मापन करता है और दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

अब, हम T को एक आव्यूह के रूप में निरूपित करते हैं जो $2\times 2$ आव्यूह B के सदिशकरण पर कार्य करता है। यदि हम B की प्रविष्टियों को एक सदिश $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^4$ (B के स्तंभों को ढेर करके) के रूप में लिखते हैं, अर्थात्,

$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

तब $\mathbf{b}$ पर T की क्रिया को $4\times 4$ आव्यूह के रूप में निरूपित किया जा सकता है। T का प्रभाव है:

$T(\mathbf{b})=\left(\begin{array}{c}2b_{11}\\ b_{21}\\ 2b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

इसे आव्यूह गुणन के रूप में लिखा जा सकता है

$T(\mathbf{b})=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

इस प्रकार, T का आव्यूह निरूपण है

$T=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

एक आव्यूह T का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:

$p(\lambda )=det(T-\lambda I)$

जहाँ $I$ $4\times 4$ तत्समक आव्यूह है। इस व्यंजक में T को प्रतिस्थापित करने पर:

$T-\lambda I=\left(\begin{array}{cccc}2-\lambda & 0& 0& 0\\ 0& 1-\lambda & 0& 0\\ 0& 0& 2-\lambda & 0\\ 0& 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right)$

अब, हम सारणिक की गणना करते हैं

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}det(T-\lambda I)=(2-\lambda )(1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda )$

सरलीकरण करने पर,

$p(\lambda )=(2-\lambda {)}^2(1-\lambda {)}^2$

इस प्रकार, T का अभिलाक्षणिक बहुपद है

$p(\lambda )=(2-\lambda {)}^2(1-\lambda {)}^2$

अतः सही विकल्प 3) है।

स्पष्टीकरण:

आव्यूह A से संबद्ध रैखिक रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

⇒ $T(x,y)=A\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x+3y\\ 4x-y\end{array}\right]$

चरण 1: T(1,3) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें:

⇒ $T(1,3)=\left[\begin{array}{c}2(1)+3(3)\\ 4(1)-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2+9\\ 4-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right]$

हम (11,1) को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं:

⇒ $\left[\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right]$

इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है:

 ⇒ a + 2b = 11

⇒ 3a + 5b = 1

a और b के लिए हल:

पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,

⇒ 3a + 6b = 33

दूसरे समीकरण से घटाना

⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 1 - 33

$-b=-32\Rightarrow b=32$

a + 2b = 11 में b = 32 प्रतिस्थापित करने पर:

⇒ a + 2(32) = 11

⇒ a + 64 = 11

⇒ a = -53

इस प्रकार, आधार S में T(1,3) का निर्देशांक सदिश है,

⇒ $\left[\begin{array}{c}-53\\ 32\end{array}\right]$

T(2,5) की गणना करें और इसे आधार S के रूप में व्यक्त करें,

⇒ $T(2,5)=\left[\begin{array}{c}2(2)+3(5)\\ 4(2)-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4+15\\ 8-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}19\\ 3\end{array}\right]$

हम (19,3) को इस प्रकार व्यक्त करते हैं:

⇒ $\left[\begin{array}{c}19\\ 3\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right]$

इससे निम्न निकाय प्राप्त होता है, 

⇒ a + 2b = 19

⇒ 3a + 5b = 3

a और b के लिए हल:

पहले समीकरण को 3 से गुणा करने पर,

⇒ 3a + 6b = 57

दूसरे समीकरण से घटाना

⇒ (3a + 5b) - (3a + 6b) = 3 - 57

$-b=-54\Rightarrow b=54$

a + 2b = 19 में b = 54 प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ a + 2(54) = 19

⇒ a + 108 = 19

⇒ a = -89 

इस प्रकार, आधार S में T(2,5) का निर्देशांक सदिश है,

⇒ $\left[\begin{array}{c}-89\\ 54\end{array}\right]$

आधार S में रूपांतरण आव्यूह है:

⇒ $B=[T{]}_S=\left[\begin{array}{cc}-53& -89\\ 32& 54\end{array}\right]$

अतः विकल्प 2 सही है। 

संप्रत्यय -

(1) माना कि W, V का एक T अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

T : V → V और T|_W = $\hat{T}$ : W → W

माना कि B_W , W के लिए एक आधार है और BV , B_W द्वारा विस्तारित V के लिए एक आधार है

T' = T/W : V/W → V/W और

$C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T^{\prime }}(x)$

$[T{]}_{B_V\to B_V}=\left(\begin{array}{cc}[\hat{T}{]}_{B_W\to B_W}& C\\ 0& [T^{\prime }{]}_{B_{V/W}\to B_{V/W}}\end{array}\right)$

(2) शून्य और पूर्ण स्थान हमेशा अपरिवर्तनशील उप-स्थान होते हैं।

व्याख्या -

विकल्प(1) के लिए -

माना कि Tv = λv, v ≠ 0

= { αv : α ∈ $\mathbb{C}$ }

अब T(α v) = α Tv = α λv = (α λ)v ∈

अतः एक 1 - आयामी T - अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

क्योंकि ℂn($\mathbb{C}$) एक सदिश स्थान है, इसलिए इसका एक आइगेन मान होना चाहिए, (माना कि λ और क्षेत्र = $\mathbb{C}$ )

और माना कि v, आइगेन मान λ के संगत एक शून्येतर आइगेन सदिश है।

अतः एक 1 - आयामी T - अपरिवर्तनशील उप-स्थान है जो शून्येतर भी है।

अतः विकल्प(1) असत्य है।

विकल्प (3) के लिए -

माना कि आव्यूह $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

अब आव्यूह A के लिए अभिलक्षणिक बहुपद C_A(x) = x²(x²+1)

स्पष्ट रूप से आव्यूह A के लिए आइगेन मान 0,0, ± i हैं

अतः विकल्प(3) असत्य है।

विकल्प (2) & (4) के लिए -

हम जानते हैं कि अपरिवर्तनशील से $C_T(x)=C_{\hat{T}}(x).C_{T^{\prime }}(x)$

डिग्री C_T(x) = n ≥ 4

क्योंकि F (क्षेत्र) = $\mathbb{C}$ ⇒ CT(x) $\mathbb{C}[x]$ में पूर्ण रूप से विभाजित होता है

किसी भी n - 3 डिग्री गुणज को CT(x) का लें

$C_{\hat{T}}(x)$ = (x - λ1)(x - λ2)(x - λ3)(x - λ4)............(x - λn-3)

W = 1, v₂ , ..... v_n-3> चुनें जहाँ Tv_i = λ_iv_i , 1 ≤ i ≤ n - 3 जहाँ v1, v2 , ..... vn-3 रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं

अब माना कि W ℂn में n - 3 आयाम का एक अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

माना कि w ∈ W = 1, v2 , ..... vn-3>

w = α₁v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3

Tw = T(α1v1 + α2v2 + α3v3 ........ + αn-3vn-3 )

= α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 ........ + αn-3Tvn-3

= α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 ........ + αn-3λ_n-3vn-3 ∈ 1, v2 , ..... vn-3>

यह हमारी धारणा का पालन करता है।

अतः विकल्प(2) सही है।

इसी प्रकार A2 का ℂn में n - 1 आयाम का अपरिवर्तनशील उप-स्थान है।

इसलिए विकल्प(4) सही नहीं है।

अवधारणा:

विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए

व्याख्या:

A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।

इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।

(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।

(1) सत्य है

(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।

(2) सत्य है

(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।

यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।

इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α² + β²) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।

इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।

(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।

व्याख्या:

ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।

(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)

चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)

यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x² - 4

इसलिए g(T) = T² - 4I

अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं

इसलिए g(T) ≠ 0

(a) असत्य है।

(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।

इसलिए 0 के लिए GM = 2 

हम जानते हैं कि AM ≥ GM

इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए

मामले के लिए AM = 2

मान लीजिए T = $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$ λ ≠ 0

इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x²(x - λ)

इसलिए g(x) = x(x - λ) = x² - λx

इसलिए g(T) = T² - λT

अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है

T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ² - λ² = 0, 0, 0 है

इसलिए g(T) = 0

यदि λ = 0 तो f(x) = x³ इसलिए g(x) = x² इसलिए g(T) = 0

(b) सही है।

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण और आव्यूह निरूपण:

T एक रैखिक रूपांतरण है जो किसी भी $2\times 2$ आव्यूह $B\in V$ को $AB$ में मैप करता है, जहाँ $A$ एक दिया गया $2\times 2$ आव्यूह है।

अभिलाक्षणिक बहुपद:

एक आव्यूह A का अभिलाक्षणिक बहुपद $A-\lambda I$ के सारणिक द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\lambda$ आइगेन मान है और $I$ तत्समक आव्यूह है। अभिलाक्षणिक बहुपद $\text{det}(A-\lambda I)$ है जहाँ $I$ A के समान आयाम का तत्समक आव्यूह है, और $\lambda$ आइगेन मानों का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या:
A =$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

यहाँ, T, $2\times 2$ आव्यूहों पर कार्य कर रहा है। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि A किसी भी $B\in V$ पर कैसे कार्य करता है, जहाँ B = $\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ है।

B पर A की क्रिया है

T(B) = AB = $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc}2b_{11}& 2b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$

यह दर्शाता है कि कैसे रूपांतरण T आव्यूह B की पहली पंक्ति को 2 से मापन करता है और दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

अब, हम T को एक आव्यूह के रूप में निरूपित करते हैं जो $2\times 2$ आव्यूह B के सदिशकरण पर कार्य करता है। यदि हम B की प्रविष्टियों को एक सदिश $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^4$ (B के स्तंभों को ढेर करके) के रूप में लिखते हैं, अर्थात्,

$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

तब $\mathbf{b}$ पर T की क्रिया को $4\times 4$ आव्यूह के रूप में निरूपित किया जा सकता है। T का प्रभाव है:

$T(\mathbf{b})=\left(\begin{array}{c}2b_{11}\\ b_{21}\\ 2b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

इसे आव्यूह गुणन के रूप में लिखा जा सकता है

$T(\mathbf{b})=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{11}\\ b_{21}\\ b_{12}\\ b_{22}\end{array}\right)$

इस प्रकार, T का आव्यूह निरूपण है

$T=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

एक आव्यूह T का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:

$p(\lambda )=det(T-\lambda I)$

जहाँ $I$ $4\times 4$ तत्समक आव्यूह है। इस व्यंजक में T को प्रतिस्थापित करने पर:

$T-\lambda I=\left(\begin{array}{cccc}2-\lambda & 0& 0& 0\\ 0& 1-\lambda & 0& 0\\ 0& 0& 2-\lambda & 0\\ 0& 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right)$

अब, हम सारणिक की गणना करते हैं

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}det(T-\lambda I)=(2-\lambda )(1-\lambda )(2-\lambda )(1-\lambda )$

सरलीकरण करने पर,

$p(\lambda )=(2-\lambda {)}^2(1-\lambda {)}^2$

इस प्रकार, T का अभिलाक्षणिक बहुपद है

$p(\lambda )=(2-\lambda {)}^2(1-\lambda {)}^2$

अतः सही विकल्प 3) है।

अवधारणा:

आइगेन मान:

1. माना A कोटि ‘n’ का एक वर्ग आव्यूह है और ‘λ’ एक अदिश है। |A−λI| = 0 को आव्यूह A का अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

2. अभिलाक्षणिक समीकरण के मूलों को आइगेन मान कहा जाता है।

3. प्रत्येक आइगेन मान ‘λ’ के संगत एक शून्येतर सदिश ‘v’ विद्यमान है, जिससे कि Av = λv या (A -λI)v = 0

आव्यूह का अनुरेख:

मान लीजिए A कोटि n × n का एक आव्यूह है। माना ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,...,{\lambda }_n$ M के आइगेन मान हैं। तब:

1. आव्यूह का अनुरेख उसके विकर्ण तत्वों के योग के बराबर होता है। इसे tr(A) द्वारा दर्शाया जाता है।

2. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

3. tr(A) = $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$

4. tr(A^k) = $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^k$, जहाँ ${\lambda }_i$ i^th आइगेन मान है। 

अवधारणा:

हमारे पास, A एक 4 × 4 आव्यूह है, जिसके आइगेन मान -1, 1, 1, -2 हैं।

∴ tr(A) = (-1) + 1 + 1 + (-2)

⇒ tr(A) = -1

दिया गया है, B = A4 - 5A2 + 5I

⇒ tr(B) = tr(A⁴) - 5tr(A²) + 5tr(I)

tr(A⁴) = (- 1)⁴ + 1⁴ + 1⁴ + (-2)⁴ = 1 + 1 + 1 + 16 = 19

tr(A2) = (- 1)² + 1² + 1² + (- 2)² = 1 + 1 + 1 + 4 = 7

tr(I) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

⇒ tr(B) = 19 - 5 × 7 + 5 × 4

⇒ tr(B) = 19 - 35 + 20 = 39 - 35

⇒ tr(B) = 4

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

= (-1) + 4

∴ tr(A + B) = 3

Alternate Method
A के आइगेन मान -1, 1, 1, -2 हैं। 

इसलिए tr(A) = -1 + 1 + 1 - 2 = -1

हम जानते हैं कि यदि λ A का एक आइगेन मान है, तो λ^m A^m का एक आइगेन मान है।

B = A4 - 5A2 + 5I
इसलिए B के आइगेन मान हैं

1 - 5 + 5 = 1, 1 - 5 + 5 = 1, 1 - 5 + 5 = 1 और 16 - 20 + 5 = 1

इसलिए tr(B) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

इसलिए tr(A + B) = -1 + 4 = 3
अतः (3) सही है। 

संप्रत्यय:

आइगेनमान (Eigenvalues):

1. मान लीजिए A कोटि ‘n’ का एक वर्ग आव्यूह है और ‘λ’ एक अदिश है।

|A−λI|=0 को आव्यूह A का अभिलाक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

2. अभिलाक्षणिक समीकरण के मूलों को आइगेनमान कहा जाता है।

3. प्रत्येक आइगेनमान ‘λ’ के संगत, एक शून्येतर सदिश ‘v’ मौजूद है जिससे कि Av = λv या (A -λI)v = 0

मान लीजिए A, n x n कोटि का एक आव्यूह है। मान लीजिए ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,...,{\lambda }_n$ M के आइगेनमान हैं। तब:

1. det(A) = ${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3\cdot ...\cdot {\lambda }_n$ अर्थात, A का सारणिक आइगेनमानों के गुणनफल के बराबर है।

2. tr(A) = ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+...+{\lambda }_n$ अर्थात, A का अनुरेख (ट्रेस) आइगेनमानों के योग के बराबर है। [A का अनुरेख A के विकर्ण तत्वों का योग है]

गणना:

$M=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]$

⇒ |M| = 0 + 1(3 + 1) + 0

⇒ |M| = 4

मान लीजिए ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ आइगेनमान हैं।

∴ ${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3$ = 4...(i)

और, ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$ = 5...(ii)

प्रश्न के अनुसार, 1, M का एक आइगेनमान है।

मान लीजिए ${\lambda }_1$ = 1

∴ (i) ⇒ ${\lambda }_2{\lambda }_3$ = 4...(iii)

और, (ii) ⇒ $1+{\lambda }_2+{\lambda }_3$ = 5

⇒ ${\lambda }_2+{\lambda }_3$ = 4...(iv)

(iii) और (iv) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

${\lambda }_2$ = 2 और ${\lambda }_2$ = 2

∴ M के आइगेनमान 1, 2 और 2 हैं।

विकल्प 1 और 2 गलत हैं।

(i) (λ) के आइगेनस्पेस की विमा = G.M.(λ)

(ii) G.M.(λ) = n - rank(A - λI), A, n x n आव्यूह है।

अब, M - 2I = $\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 3\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

M - 2I = $\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& 0\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर, R₁ → R₁ + 2R₂

और R₃ → R₃ - R₂

= $\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$

R₃ → R₃ + R₁

= $\left[\begin{array}{ccc}0& -1& -2\\ 1& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

∴ Rank (M - 2I) = 2

⇒ G.M.(2) = n - rank (A - 2I) = 3 - 2 = 1 = Eigenspace(2)

∵ A.M. ≥ G.M. और A.M.( λ = 1) = 1

⇒ G.M. (1) = 1 = Eigenspace (1)

इसके अलावा, A.M.(2) ≠ G.M.(2) ⇒ M विकर्णनीय नहीं है।

∴ विकल्प 4 गलत है।

चूँकि सभी आइगेनमानों का G. M. 1 है, इसलिए प्रत्येक आइगेनमान के आइगेनस्पेस की विमा 1 है विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए

व्याख्या:

A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।

इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।

(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।

(1) सत्य है

(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।

(2) सत्य है

(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।

यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।

इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α² + β²) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।

इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।

(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।

व्याख्या:

ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।

(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)

चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)

यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x² - 4

इसलिए g(T) = T² - 4I

अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं

इसलिए g(T) ≠ 0

(a) असत्य है।

(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।

इसलिए 0 के लिए GM = 2 

हम जानते हैं कि AM ≥ GM

इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए

मामले के लिए AM = 2

मान लीजिए T = $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$ λ ≠ 0

इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x²(x - λ)

इसलिए g(x) = x(x - λ) = x² - λx

इसलिए g(T) = T² - λT

अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है

T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ² - λ² = 0, 0, 0 है

इसलिए g(T) = 0

यदि λ = 0 तो f(x) = x³ इसलिए g(x) = x² इसलिए g(T) = 0

(b) सही है।

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

यदि दोनों आव्यूहों का पंक्ति सोपानक रूप समान है, तो दोनों आव्यूहों की पंक्ति समष्टि समान होती है।

स्पष्टीकरण:

$\left(\begin{array}{lll}4& 8& 4\\ 3& 6& 1\\ 2& 4& 0\end{array}\right)$

 ∼$\left(\begin{array}{lll}2& 4& 0\\ 3& 6& 1\\ 4& 8& 4\end{array}\right)$ ($R_1\leftrightarrow R_3$)

 ∼$\left(\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 3& 6& 1\\ 4& 8& 4\end{array}\right)$ ($R_1\to \frac{1}{2}{R}_1$)

∼$\left(\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$ ($R_2\to R_2-3R_1$, $R_3\to R_3-4R_1$)

∼$\left(\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ($R_3\to R_3-4R_2$,

इसलिए, दिए गए आव्यूह का समान पंक्ति समष्टि $\left(\begin{array}{lll}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ है।

अतः विकल्प (1) सही है। 

स्पष्टीकरण:

हम जानते है यदि A = $\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& a\end{array}\right]$ है, तब Aⁿ = $\left[\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}\\ 0& a^n\end{array}\right]$ है

दिया गया है: $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$

उपरोक्त परिणाम का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है

A10 = $\left[\begin{array}{ll}{2}^{10}& 10\cdot 2^9\\ 0& 2^{10}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}{4}^5& 20\cdot 4^4\\ 0& 4^5\end{array}\right]$

(3) सही है