Algebra of Linear Transformations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra of Linear Transformations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

आइए प्रत्येक प्रश्न को एक-एक करके देखें।

मान लीजिए T : ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ एक रैखिक रूपांतरण है जो निम्न द्वारा परिभाषित है

T(x, y) = (x, x + y, y) .

T का रैंक ज्ञात करने के लिए,

आइए T के लिए रूपांतरण आव्यूह लिखें।

चूँकि T(x, y) = (x, x + y, y) ,

हम इसे आव्यूह रूप में इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं:

T(x, y) = $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

T का मैट्रिक्स है:

A = $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

T का रैंक निर्धारित करने के लिए, हम आव्यूह A का रैंक ज्ञात करते हैं।

A को देखते हुए,

स्तंभ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (कोई भी स्तंभ अन्य का रैखिक संयोजन नहीं है)।

इस प्रकार, A का रैंक 2 है।

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

चूँकि T एक रैखिक रूपांतरण है,

हम R² में किसी भी सदिश को आधार सदिशों (1, 0) और (0, 1) के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

(1, 0) को रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने पर:

(1, 0) = a(1, 2) + b(3, 4)

हमें ऐसे अदिश a और b इस प्रकार ज्ञात करने की आवश्यकता है:

a + 3b = 1

2a + 4b = 0

इस निकाय को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a = -2

b = 1

चूँकि T रैखिक है, हमारे पास है:

T(1, 0) = T(-2(1, 2) - 1 (3, 4))

रैखिकता गुण ( $T(c_1{v}_1+c_2{v}_2)=c_{1}T(v_1)+c_{2}T(v_2)$ )का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

T(1, 0) = -2T(1, 2) + 1 T(3, 4)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

T(1, 0) = -2(3, 2, 1) + 1 (6, 5, 4)

T(1, 0) = (-6, -4, -2) + (6, 5, 4)

T(1, 0) = (0 , 1 , 2)

इसलिए, सही उत्तर (0 , 1 , 2) है।

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या -

एक रैखिक रूपांतरण $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ को 2 x 2 आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है (यह मानते हुए कि हम मानक आधार का उपयोग कर रहे हैं)।

यह रूपांतरण डोमेन से सदिश लेता है और उन्हें कोडोमेन में मैप करता है, और रूपांतरण के गुण आव्यूह के गुणों द्वारा निर्धारित होते हैं।

${\mathbb{R}}^2$ में इकाई वर्ग को बिंदुओं (x, y) के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है जहाँ $0\le x\le 1$ और $0\le y\le 1$.

जब इकाई वर्ग पर एक रैखिक रूपांतरण लागू किया जाता है, तो वर्ग के शीर्षों के प्रतिबिम्ब परिणामी आकृति के आकार को निर्धारित करेंगे।

यह देखते हुए कि रूपांतरण व्युत्क्रमणीय है, हम जानते हैं कि T का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूह का एक गैर-शून्य सारणिक है और रैंक 2 है क्योंकि शून्यता 0 है।

T के अंतर्गत इकाई वर्ग का प्रतिबिम्ब एक समांतर चतुर्भुज होगा क्योंकि:

- रैखिक रूपांतरण रेखाओं को रेखाओं में मैप करते हैं।

- मूल वर्ग के समानांतर भुजाओं के प्रतिबिम्ब समानांतर रहेंगे क्योंकि रैखिक रूपांतरण समानांतरता को संरक्षित करते हैं।

- मूलबिंदु, जो इकाई वर्ग का एक शीर्ष है, स्थिर रहेगा यदि T एक रैखिक रूपांतरण है (क्योंकि किसी भी रैखिक रूपांतरण के लिए T(0) = 0)।

T के अंतर्गत इकाई वर्ग के चार कोनों के प्रतिबिम्ब एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बनाएंगे। समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ वर्ग की भुजाओं के प्रतिबिम्ब हैं, और क्योंकि एक वर्ग की आसन्न भुजाएँ लंबकोणीय होती हैं और रैखिक रूपांतरण रैखिकता और समानांतरता की अवधारणाओं को संरक्षित करते हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि कोण और लंबाई), प्रतिबिम्ब में ऐसी भुजाएँ होंगी जो इकाई वर्ग की भुजाओं के रैखिक संयोजन हैं, इस प्रकार एक समांतर चतुर्भुज बनता है।

इसलिए, सही उत्तर (4) है।

संकल्पना:

(i) माना f: A → B और g:B → C दो फलन इस प्रकार हैं कि g∘ f ऐकैकी और आच्छादक है अर्थात ऐकैकी आच्छादी है, तो f ऐकैकी है और g आच्छादक है।

(ii) रैंक-शून्यता प्रमेय: माना T: V → W एक रैखिक रूपांतरण है तो रैंक (T) + शून्यता (T) = dim V

स्पष्टीकरण:

T1 : ℝn → ℝm और T2 : ℝm → ℝn दो रैखिक रूपांतरण इस प्रकार है कि T1T2 is ऐकैकी आच्छादी है।

तब T2 ऐकैकी है और T1 आच्छादक है

तब शून्यता(T2) = 0

इसलिए, रैंक-शून्यता प्रमेय द्वारा, रैंक(T) = m

इसके अतिरिक्त, T1 आच्छादक है और T1, ℝn से ℝm तक एक रैखिक रूपांतरण है।

फिर रैंक (T1) = m और रैंक (T2​) = m

विकल्प (4) सत्य है

स्पष्टीकरण:

S = {T : ℝ3 → ℝ3; T एक रैखिक रूपांतरण है जहाँ T(1, 0, 1) = (1, 2, 3) और T(1 ,2, 3) = (1, 0, 1)}

(1, 0, 1) और (1, 2, 3) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

माना T का आधार B = {(1, 0, 1), (1, 2, 3), (a, b, c)}  है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं

तब T(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(1, 2, 3) + γ(a, b, c)

(a, b, c) के भिन्न-भिन्न युग्म के लिए हमें अलग-अलग T प्राप्त होगा।

(a, b, c) का विकल्प अगणनीय है।

अतः, S एक अगणनीय समुच्चय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right]$ यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right]$ के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि $\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

व्याख्या:

दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि $\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

अब, $\frac{\partial Q}{\partial p}$ = q(a+1), $\frac{\partial Q}{\partial q}$ = (a+1)pqa, $\frac{\partial P}{\partial p}$ = 0, $\frac{\partial P}{\partial q}$ = bqb-1

$\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

⇒ $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial P}{\partial p}& \frac{\partial P}{\partial q}\\ \frac{\partial Q}{\partial p}& \frac{\partial Q}{\partial q}\end{array}\right|$ = 1

⇒ $\left|\begin{array}{cc}0& b{q}^{b-1}\\ q^{a+1}& (a+1)p{q}^a\end{array}\right|$ = 1

⇒ - bq^a+b = 1

केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right]$ यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& a\end{array}\right]$ के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संकल्पना:

एक रैखिक परिवर्तन : रैखिक परिवर्तन T : V → W यह है कि V में किसी भी सदिश v1 और v2 और अंतर्निहित क्षेत्र के अदिश a और b के लिए यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है:

T(av1 + bv2) = a T(v1) + b T(v2)

गणना:

यहाँ, रैखिक परिवर्तन T : R4 → R4, T3 + 3T2 = 4I को संतुष्ट करता है, जहाँ I सर्वसमिका परिवर्तन है

यानी T बहुपद λ3 + 3λ2 = 4 का लोप करके संतुष्ट होता है।

जो λ = 1 से संतुष्ट है

अब, S = T4 + 3T3 – 4I = T(T3 + 3T2) - 4I = 4(T - I) = 0

यानी λ = 1, | T - λI | = 0 को संतुष्ट करता है

यानी S = 0 यानी λ = 0, | S - λI | = 0 संतुष्ट करता है

या λ = 0, S के अभिलाक्षणिक मान का मूल है।

इसलिए, S गैर व्युत्क्रमणीय है।

इसलिए सही उत्तर विकल्प 4) है

अवधारणा:

(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि $\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

व्याख्या:

दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि $\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

अब, $\frac{\partial Q}{\partial p}$ = q(a+1), $\frac{\partial Q}{\partial q}$ = (a+1)pqa, $\frac{\partial P}{\partial p}$ = 0, $\frac{\partial P}{\partial q}$ = bqb-1

$\frac{\partial (P,Q)}{\partial (p,q)}$ = 1

⇒ $\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial P}{\partial p}& \frac{\partial P}{\partial q}\\ \frac{\partial Q}{\partial p}& \frac{\partial Q}{\partial q}\end{array}\right|$ = 1

⇒ $\left|\begin{array}{cc}0& b{q}^{b-1}\\ q^{a+1}& (a+1)p{q}^a\end{array}\right|$ = 1

⇒ - bq^a+b = 1

केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

स्पष्टीकरण:

S = {T : ℝ3 → ℝ3; T एक रैखिक रूपांतरण है जहाँ T(1, 0, 1) = (1, 2, 3) और T(1 ,2, 3) = (1, 0, 1)}

(1, 0, 1) और (1, 2, 3) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

माना T का आधार B = {(1, 0, 1), (1, 2, 3), (a, b, c)}  है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं

तब T(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(1, 2, 3) + γ(a, b, c)

(a, b, c) के भिन्न-भिन्न युग्म के लिए हमें अलग-अलग T प्राप्त होगा।

(a, b, c) का विकल्प अगणनीय है।

अतः, S एक अगणनीय समुच्चय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है