मान लीजिए कि  V, ℝ में प्रविष्टियों वाले 2 × 2 आव्यूहों का वास्तविक सदिश समष्टि है। मान लीजिए T: V → V सभी B ∈ V के लिए T(B) = AB द्वारा परिभाषित रैखिक रूपांतरण को दर्शाता है, जहाँ \(\rm A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\) है। T का अभिलाक्षणिक बहुपद क्या है?

संप्रत्यय:

रैखिक रूपांतरण और आव्यूह निरूपण:

T एक रैखिक रूपांतरण है जो किसी भी \(2 \times 2\) आव्यूह \(B \in V\) को \(AB\) में मैप करता है, जहाँ \(A\) एक दिया गया \(2 \times 2\) आव्यूह है।

अभिलाक्षणिक बहुपद:

एक आव्यूह A का अभिलाक्षणिक बहुपद \(A - \lambda I\) के सारणिक द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(\lambda\) आइगेन मान है और \(I \) तत्समक आव्यूह है। अभिलाक्षणिक बहुपद \( \text{det}(A - \lambda I)\) है जहाँ \(I \) A के समान आयाम का तत्समक आव्यूह है, और \(\lambda\) आइगेन मानों का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या:
A =\( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

यहाँ, T, \(2 \times 2 \) आव्यूहों पर कार्य कर रहा है। इसलिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि A किसी भी \(B \in V \) पर कैसे कार्य करता है, जहाँ B = \(\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) है।

B पर A की क्रिया है

T(B) = AB = \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 2b_{11} & 2b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \)

यह दर्शाता है कि कैसे रूपांतरण T आव्यूह B की पहली पंक्ति को 2 से मापन करता है और दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

अब, हम T को एक आव्यूह के रूप में निरूपित करते हैं जो \(2 \times 2 \) आव्यूह B के सदिशकरण पर कार्य करता है। यदि हम B की प्रविष्टियों को एक सदिश \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^4\) (B के स्तंभों को ढेर करके) के रूप में लिखते हैं, अर्थात्,

\(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)

तब \(\mathbf{b}\) पर T की क्रिया को \(4 \times 4 \) आव्यूह के रूप में निरूपित किया जा सकता है। T का प्रभाव है:

\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2b_{11} \\ b_{21} \\ 2b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)

इसे आव्यूह गुणन के रूप में लिखा जा सकता है

\(T(\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{12} \\ b_{22} \end{pmatrix}\)

इस प्रकार, T का आव्यूह निरूपण है

\(T = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

एक आव्यूह T का अभिलाक्षणिक बहुपद इस प्रकार दिया गया है:

\(p(\lambda) = \det(T - \lambda I)\)

जहाँ \(I\) \(4 \times 4 \) तत्समक आव्यूह है। इस व्यंजक में T को प्रतिस्थापित करने पर:

\(T - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\)

अब, हम सारणिक की गणना करते हैं

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\det(T - \lambda I) = (2 - \lambda)(1 - \lambda)(2 - \lambda)(1 - \lambda)\)

सरलीकरण करने पर,

\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)

इस प्रकार, T का अभिलाक्षणिक बहुपद है

\(p(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (1 - \lambda)^2\)

अतः सही विकल्प 3) है।