Latus Rectum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Latus Rectum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है

$(\pm c,0)$ पर नाभि के साथ, जहाँ c² = a² + b²

P (4, 2√3) के लिए नाभियों की दूरियाँ हैं

⇒ $D_1=\surd (4-c{)}^2+(2\surd 3{)}^2,D_2=\surd (4+c{)}^2+(2\surd 3{)}^2$

साथ ही D₁ D₂ = 32

⇒ ( 4 - )2 + (2√3)2. ( 4 + c)2 + (2√3)2 = 322 = 1024

⇒ (c2− 8c + 28) (c2+8c+28) = 1024

⇒ (c2 + 28)2 − (8c)2 = 1024 

⇒ c4 − 8c2 + 784 = 1024

⇒ c4 − 8c2 − 240 = 0.

मान लीजिए u = c²

⇒ u2 - 8u -240 = 0

⟹ $u=\frac{8\pm \surd 64-960}{2}=\frac{8\pm 32}{2}$

इसलिए,  u=20" id="MathJax-Element-128-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> u=20" id="MathJax-Element-185-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> u=20" id="MathJax-Element-111-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> u=20" id="MathJax-Element-1259-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$u=20$ $u=20$ $u=20$ $u=20$$u=20$ $u=20$ या $-12\; है।$ ऋणात्मक को छोड़कर,

⇒ c2 = u = 20 ⟹ a2 + b2 = 20.

⇒ $\frac{4^2}{a^2}-\frac{(2\surd 3{)}^2}{b^2}=1⟹\frac{16}{a^2}-\frac{12}{b^2}=1$

b² = 20 −a² का उपयोग करें, प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ 16 (20 − a2) − 12a2 = a2(20−a2)

⇒ 320 − 16a2 − 12a2 = 20a2 − a4,

⇒ a4 − 48a2 + 320 = 0.

मान लीजिए कि v =  a2

⇒ v² − 48 v + 320 = 0 $⟹v=\frac{48\pm \surd 2304-1280}{2}=\frac{48\pm 32}{2}$

यदि a2 = 40 है, तो b^2=20-40=-20" id="MathJax-Element-186-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> b^2=20-40=-20" id="MathJax-Element-112-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> b^2=20-40=-20" id="MathJax-Element-1260-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$b^2=20-40=-20$ $b^2=20-40=-20$ $b^2=20-40=-20$ $b^2=20-40=-20$ (असंभव) है। इसलिए, a2 = 8 , b2 = 12

संयुग्मी अक्ष की लंबाई p = 2b = 2√12 = 4√3

⇒ p2 = 48

और q2 = 72 

तब, p2 + q2 = 48 +  72 = 120

अतः सही उत्तर 120 है।

संप्रत्यय:

अतिपरवलय प्राचल:

• दिया गया है कि परवलय $H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का एक नाभि $(\sqrt{10},0)$ पर है।
• संगत नियता $x=\frac{9}{\sqrt{10}}$ है।
• निम्न संबंधों को स्मरण रखें: $ae=c$ (मूल बिंदु से नाभि की दूरी), $\frac{a}{e}$ नियता है, और $c^2=a^2+b^2$.
• नाभिलंब जीवा की लंबाई $l=\frac{2b^2}{a}$ है।

गणना:

दिया गया है:

$ae=\sqrt{10}$ और $\frac{a}{e}=\frac{9}{\sqrt{10}}$

तब,

$a^2=9$ और $e=\frac{\sqrt{10}}{3}$

अब,

$(ae{)}^2=a^2+b^2⟹10=9+b^2⟹b^2=1$

$l=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 1}{3}=\frac{2}{3}$

इसलिए,

$9(e^2+l)=9({\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)}^2+\frac{2}{3})=9(\frac{10}{9}+\frac{2}{3})=10+6=16$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

be = 13, b = 5

a² = b² (e² - 1)

= b² e² - b²

= 169 - 25 = 144

$\ell (\mathrm{LR})=\frac{2{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{b}}=\frac{2\times 144}{5}=\frac{288}{5}$

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

LR केंद्र पर 60º अन्तरित करता है

$\Rightarrow \tan {30}^{\circ }=\frac{{\mathrm{b}}^2/\mathrm{a}}{\mathrm{ae}}=\frac{{\mathrm{b}}^2}{{\mathrm{a}}^2\mathrm{e}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}{\mathrm{b}}^2}{9}$

साथ ही, ${\mathrm{e}}^2=1+\frac{{\mathrm{b}}^2}{9}\Rightarrow 1+\frac{{\mathrm{b}}^2}{9}=\frac{3{\mathrm{b}}^4}{81}$

⇒ b4 = 3b2 + 27 

⇒ b4 - 3b2 – 27 = 0 

$\Rightarrow {\mathrm{b}}^2=\frac{3}{2}(1+\sqrt{13})$

⇒ ℓ = 3 m = 2, n = 13

⇒ ℓ2 + m2 + n2 = 182 

अवधारणा:

अतिपरवलय में $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$, a> b:

नाभिलंब की लंबाई $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ बराबर है।

गणना:

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

9x2 - 16y2 = 144

दोनों पक्षों में 144 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{16}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{4^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{3^2}=1$

यहाँ, b = 3 और a = 4

नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2\times 3^2}{4}$ = $\frac{9}{2}$

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

• लैटस रेक्टम की लम्बाई = $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$

गणना:

दिया गया है: $\frac{{\mathrm{x}}^2}{100}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{75}=1$

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1$

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$= $\frac{2\times 75}{10}=15$

संकल्पना:

अतिपरवलय का समीकरण, $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$  

नाभिलंब की लम्बाई, L.R = $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ 

अतिपरवलय का समीकरण, $-\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$ 

नाभिलंब की लम्बाई, L.R = $\frac{2{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{b}}$  

गणना:

दिया गया समीकरण,  25y2 - 24x2 = 600 है। 

⇒ $-\frac{{\mathrm{x}}^2}{25}+\frac{{\mathrm{y}}^2}{24}=1$ 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a = 5 और b = $2\sqrt{6}$ 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लम्बाई

L.R = $\frac{2{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{b}}$ = $\frac{2\times 25}{2\sqrt{6}}$ 

⇒ L.R = $\frac{25}{\sqrt{6}}$ इकाई

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

अतिपरवलय $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$ में, a > b:

लैटस रेक्टम की लम्बाई $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ के बराबर है। 

गणना:

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है:

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{2^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=1$

यहाँ, b² = 2 और a = 2

लैटस रेक्टम की लम्बाई = $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ = 2

अवधारणा :

एक आयताकार अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: $\frac{2b^2}{a}$

गणना :

दिया हुआ: अतिपरवलय का समीकरण 24x2 - 25y2 = 600

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1$

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ द्वारा दिया जाता है

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ से करके हम प्राप्त करते हैं,

⇒ a2 = 25 और b2 = 24

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा दिया जाता है

अतः b2 = 24 और a = 5 को $\frac{2b^2}{a}$ में प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करें

⇒ $\frac{2\cdot 24}{5}=\frac{48}{5}units$

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

अवधारणा:

अतिपरवलय में, $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$ , a> b:

नाभिलंब की लंबाई $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ बराबर है।

गणना:

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{2^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{2^2}=1$

यहाँ, b = 2 और a = 2

नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2\times 2^2}{2}$ = 4

संकल्पना:

अतिपरवलय:

गणना:

दिया गया समीकरण, 9x2 - 25y2 = 225 है। 

⇒ $\frac{{\mathrm{x}}^2}{25}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$ 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a = 5 और b = 3  

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लम्बाई 

L.R = $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ = $\frac{2\times 9}{5}$ 

L.R = $\frac{18}{5}$ इकाई

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, 0)
• इसका केंद्र बिंदु निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, - ae) और (0, ae)
• इसके शीर्ष को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, - a) और (0, a)
• इसकी उत्केंद्रता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
• अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a और इसका समीकरण x = 0 है। 
• संयुग्म अक्ष की लम्बाई = 2b और इसका समीकरण y = 0 है। 
• इसके लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\frac{2b^2}{a}$

गणना:

दिया गया है: अतिपरवलय का समीकरण 5y2 - 9x2 = 36 है। 

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: $\frac{y^2}{\frac{36}{5}}-\frac{x^2}{4}=1$

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया अतिपरवलय एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है। 

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ a² = 36/5 और b² = 4

चूँकि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

इसलिए, दिए गए अतिपरवलय के लिए लैटस रेक्टम की लम्बाई 4√5/3 इकाई है। 

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

अवधारणा:

अतिपरवलय में $\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{b}}^2}=1$, a> b:

नाभिलंब की लंबाई $\frac{2{\mathrm{b}}^2}{\mathrm{a}}$ बराबर है।

गणना:

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

9x2 - 16y2 = 144

दोनों पक्षों में 144 से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{16}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{9}=1$

$\frac{{\mathrm{x}}^2}{4^2}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{3^2}=1$

यहाँ, b = 3 और a = 4

नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2\times 3^2}{4}$ = $\frac{9}{2}$

अवधारणा :

एक आयताकार अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: $\frac{2b^2}{a}$

गणना :

यह देखते हुए: अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ द्वारा दिया जाता है

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ से करके हम प्राप्त करते हैं,

⇒ a2 = 36 और b2 = 64

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा दिया जाता है

अतः b2 = 64 और a = 6 को $\frac{2b^2}{a}$ में प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करें

⇒ $\frac{2\cdot 64}{6}=\frac{64}{3}units$

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना:

एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, 0)
• इसका केंद्र बिंदु निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, - ae) और (0, ae)
• इसके शीर्ष को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, - a) और (0, a)
• इसकी उत्केंद्रता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
• अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a और इसका समीकरण x = 0 है। 
• संयुग्म अक्ष की लम्बाई = 2b और इसका समीकरण y = 0 है। 
• इसके लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\frac{2b^2}{a}$

गणना:

दिया गया है: अतिपरवलय का समीकरण 5y2 - 9x2 = 36 है। 

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: $\frac{y^2}{\frac{36}{5}}-\frac{x^2}{4}=1$

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया अतिपरवलय एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है। 

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ a² = 36/5 और b² = 4

चूँकि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को $\frac{2b^2}{a}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

इसलिए, दिए गए अतिपरवलय के लिए लैटस रेक्टम की लम्बाई 4√5/3 इकाई है। 

अतः विकल्प A सही उत्तर है।