Forced Vibration MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Forced Vibration - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

प्रणाली गतिशीलता के संदर्भ में, यांत्रिक और विद्युत दोनों प्रणालियों को मॉडलिंग किया जा सकता है ताकि यह समझा जा सके कि वे समय के साथ इनपुट के जवाब में कैसे व्यवहार करते हैं। इन मॉडलों में अक्सर ऐसे तत्व शामिल होते हैं जिनके दोनों डोमेन में अनुरूप गुण होते हैं, जिससे इंजीनियर उनके बीच समानताएँ स्थापित कर सकते हैं। कंपन प्रणालियों के लिए, यांत्रिक और विद्युत प्रणालियों के बीच समकक्षता विश्लेषण और डिज़ाइन के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं।

यांत्रिक प्रणाली घटक:

• द्रव्यमान (m): प्रणाली के जड़त्व का प्रतिनिधित्व करता है, जब बल लगाया जाता है तो त्वरण का विरोध करता है।
• स्प्रिंग कठोरता (k): वह प्रत्यावर्तन बल का प्रतिनिधित्व करता है जो प्रणाली को उसकी संतुलन स्थिति में वापस लाने का काम करता है।
• अवमंदन गुणांक (c): प्रतिरोधी बल का प्रतिनिधित्व करता है जो ऊर्जा को नष्ट करता है, दोलनों के आयाम को कम करता है।
• बल (F): प्रणाली पर लगाया गया बाहरी इनपुट या उत्तेजना।

विद्युत प्रणाली घटक:

• प्रेरकत्व (L): विद्युत प्रणाली के जड़त्व का प्रतिनिधित्व करता है, धारा में परिवर्तन का विरोध करता है।
• धारिता (C): विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत करने की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है, यांत्रिक प्रणाली में स्प्रिंग के अनुरूप।
• प्रतिरोध (R): प्रतिरोधी तत्व का प्रतिनिधित्व करता है जो ऊर्जा को नष्ट करता है, यांत्रिक प्रणाली में अवमंदन गुणांक के अनुरूप।
• वोल्टेज (V): प्रणाली पर लगाया गया बाहरी इनपुट या उत्तेजना।

अवमंदन गुणांक (c) और प्रतिरोध (R):

• यांत्रिक प्रणाली में अवमंदन गुणांक प्रतिरोधी बल का एक माप है जो गति का विरोध करता है और ऊर्जा को नष्ट करता है। यह विद्युत प्रणाली में प्रतिरोध के अनुरूप है, जो धारा के प्रवाह का विरोध करता है और विद्युत ऊर्जा को गर्मी के रूप में नष्ट करता है। दोनों तत्व अपनी-अपनी प्रणालियों में दोलनों के आयाम को कम करने का काम करते हैं, जिससे प्रणाली की स्थिरता और प्रतिक्रिया नियंत्रित होती है।

संप्रत्यय:

एक कंपन प्रणाली की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति निम्न द्वारा दी जाती है

\( \omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} \), जहाँ \( \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} \) प्राकृतिक आवृत्ति है और \( \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}} \) अवमंदन अनुपात है।

दिया गया है:

द्रव्यमान, m = 200 kg

स्प्रिंग कठोरता, k = 80 N/mm = 80000 N/m

अवमंदन गुणांक, c = 800 Ns/m

परिकलन:

अनावमंदित प्राकृतिक आवृत्ति, \( \omega_n = \sqrt{\frac{80000}{200}} = \sqrt{400} = 20~\text{rad/s} \)

अवमंदन अनुपात, \( \zeta = \frac{800}{2\sqrt{80000 \cdot 200}} = \frac{800}{2 \cdot 4000} = 0.1 \)

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति, \( \omega_d = 20 \cdot \sqrt{1 - 0.1^2} = 20 \cdot \sqrt{0.99} = 19.8998~\text{rad/s} \)

Hz में अवमंदित आवृत्ति, \( f_d = \frac{\omega_d}{2\pi} = \frac{19.8998}{6.283} \approx 3.17~\text{Hz} \)

अब, \( \frac{3\sqrt{11}}{\pi} = \frac{3 \times 3.3166}{3.14} \approx \frac{9.9498}{3.14} \approx 3.17~\text{Hz} \)

व्याख्या:

सबसे पहले, आइए संचालन गति को rpm से रेडियन प्रति सेकंड में बदलते हैं:

संचालन गति (ω) रेडियन प्रति सेकंड में = 2π x (rpm / 60)

यह दिया गया है कि rpm 450 है, हमारे पास है:

ω = 2 x π x (450 / 60)

ω = 2 x π x 7.5

ω = 15π rad/s

यह दिया गया है कि π² = 10, हम 10 का वर्गमूल लेकर π ज्ञात कर सकते हैं:

π = √10

अब, ω = 15 x √10 rad/s

अगला, आइए सूत्र का उपयोग करके सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति (ωₙ) की गणना करें:

ωₙ = √(k/m)

जहाँ m रेफ्रिजरेटर इकाई का द्रव्यमान (44 kg) है और k प्रत्येक स्प्रिंग की कठोरता है। चूँकि समान कठोरता के 3 स्प्रिंग हैं, प्रभावी कठोरता (kₑ) है:

kₑ = 3k

इसलिए, प्राकृतिक आवृत्ति का सूत्र बन जाता है:

ωₙ = √(3k / 44)

अनुमत कठोरता निर्धारित करने के लिए, हम दी गई शर्त का उपयोग करते हैं कि केवल 10% कंपन बल को सहायक संरचना में संचारित करने की अनुमति है। यह 0.1 के संचारण अनुपात (T) से मेल खाता है।

संचारण अनुपात (T) दिया गया है:

\( T_r = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}} \)

जहाँ ζ अवमंदन अनुपात है और r आवृत्ति अनुपात (ω/ωₙ) है।

नगण्य अवमंदन वाले सिस्टम के लिए (ζ ≈ 0), संचारण अनुपात सरल हो जाता है:

T = 1 / √[1 + r²]

दिया गया T = 0.1, हमारे पास है:

0.1 = 1 / √[1 + r²]

दोनों पक्षों का वर्ग:

(0.1)² = 1 / (1 + r²)

0.01 = 1 / (1 + r²)

1 + r² = 100

r² = 99

r = √99

r = ω/ωₙ प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

√99 = (15 x √10) / ωₙ

ωₙ = (15 x √10) / √99

ωₙ ≈ 4.77 rad/s

प्राकृतिक आवृत्ति के सूत्र का उपयोग करते हुए:

ωₙ = √(3k / 44)

4.77 = √(3k / 44)

दोनों पक्षों का वर्ग:

(4.77)² = 3k / 44

22.7529 = 3k / 44

3k = 22.7529 x 44

3k = 1001.1276

k = 1001.1276 / 3

k ≈ 333.71 N/m

N/mm में परिवर्तित करना:

k ≈ 333.71 / 1000 N/mm

k ≈ 0.334 N/mm

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ω_n = 0 ⇒ TR = 1 है, तो TR = 1 होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ω_n = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरते हैं। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से अधिक होता है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ω_n > √2 की सीमा में संभव है। यहाँ नींव में प्रसारित बल अवमंदन के बढ़ने पर बढ़ता है। 
• यदि ω/ωn > √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता बढ़ जाती है यदि ω/ωn < √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता घट जाती है 

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\zeta = \frac{C}{{{C_c}}}=\frac{C}{2 \sqrt{km}}\)

साथ ही, \(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

• अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1
• अधःअवमंदित: ζ < 1
• क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1: विस्थापन सबसे छोटे संभव समय में शून्य तक बढ़ेगा। प्रणाली कंपायमान गति से नहीं गुजरता है। 

गणना:

दिया गया है:

C = 10 Ns/m, m = 5 kg, ω_n =  240 rad/min = 4 rad/sec

इसलिए, अवमंदन अनुपात के लिए,

\(2 ξ ω_n=\frac Cm\)

\(\Rightarrow 2 ξ \times 4=\frac {10}{5}\)

ξ = 0.25

स्पष्टकीरण:

अनुनाद (ω = ω_n) पर फेज कोण ϕ ,90° है।

जब ω/ω_n ≫ 1 है; तो फेज कोण 180° के बहुत करीब होगा। यहाँ जड़त्व बल में बहुत तेजी से वृद्धि होती है और इसका परिमाण बहुत अधिक होता है।

संकल्पना:

कंपन प्रणाली में प्रसार्यता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

जहाँ F_T = भूमि में संचारित अधिकतम बल

\(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{\omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi \omega }{{{\omega }_{n}}} \right)}^{2}}}}\)

प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

K = स्प्रिंग कठोरता, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है, आवर्त्त उद्दीपन बल: F(t) = F₀cos(ωt)

F_T = F_O

\(\epsilon =\frac{{{F}_{T}}}{{{F}_{O}}}\)

∴ प्रसार्यता, ϵ = 1

साथ ही, \(\epsilon =\frac{\sqrt{1+{{\left( 2\xi \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( 1-{{\left( \frac{w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\xi w}{{{w}_{n}}} \right)}^{2}}}}=1\)

माना कि \(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=x\)

इसलिए, 1 + (2ξ x)² = (1 – x²)² + (2ξ x)²

(1 – x²)² = 1

1 – x² = ± 1

धनात्मक चिन्ह लेने पर x² = 0

∴ ऋणात्मक चिन्ह लेने पर

x² = 2

x का मान रखने पर:

(ω/ω_n)² = 2

\(\frac{\omega }{{{\omega }_{n}}}=\sqrt{2}\)

∴ ω = √2ω_n

∵ प्राकृतिक आवृत्ति \({{\omega }_{n}}=\sqrt{\frac{K}{m}}\)

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ωn = 0 ⇒ है, तो TR = 1 है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ωn = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरती है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव में संचारित बल लागू बल से अधिक होती है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ωn > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ωn > √2 की सीमा में संभव होता है। यहाँ नींव में संचारित बल इसलिए बढ़ता है क्योंकि अवमंदन भी बढ़ती है। 

संकल्पना:

कंपन अलगाव प्रणाली में प्रसारित बल और लागू बल के अनुपात को अलगाव कारक या प्रसार्यता अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(T = \frac{{{F_T}}}{{{F_O}}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {\left[ {\left\{1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2} \right\}^2+ {{\left( {2\zeta \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]} }}\)

• जब ω/ω_n = 0 ⇒ TR = 1 है, तो TR = 1 होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब ω/ω_n = 1 और ξ = 0 ⇒ है, तो TR = ∞ होता है, (ζ से स्वतंत्र)
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n = √2 है, तो सभी वक्र अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए बिंदु TR =1 से होकर गुजरते हैं। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n < √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR > 1 है। इसका अर्थ है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से अधिक होता है। 
• जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n > √2 है, तो अवमंदन कारक ξ के सभी मानों के लिए TR < 1 है। यह दर्शाता है कि प्रत्यास्थ समर्थन के माध्यम से नींव तक संचारित बल लागू बल से कम होता है। इसलिए कंपन अलगाव केवल ω/ω_n > √2 की सीमा में संभव है। यहाँ नींव में प्रसारित बल अवमंदन के बढ़ने पर बढ़ता है। 
• यदि ω/ωn > √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता बढ़ जाती है यदि ω/ωn < √2 हो तो अवमंदन में वृद्धि के साथ प्रसार्यता घट जाती है 

संकल्पना:

\({\rm{Damping\;factor\;}} = \zeta = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}\)

जहाँ,

ζ = अवमंदक कारक, c = अवमंदन का गुणांक, k = स्प्रिंग स्थिरांक, m = द्रव्यमान 

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + 3\frac{{dx}}{{dt}} + 9x = 10\sin \left( {5t} \right)\)

इस समीकरण की तुलना  \(m\ddot x + c\dot x + kx = F(t)\) के साथ करने पर

m = 1 kg, c = 3 N s/m, k = 9 N/m,

\({\rm{\zeta }} = \frac{3}{{2\;\sqrt {9 \times 1} \;}}\)

\({\rm{\zeta \;}} = \frac{3}{6}\)

अवधारणा:

कंपन अलगाव:

• कंपन अलगाव का उद्देश्य कंपन के संचरण को उस आधार तक नियंत्रित करना है जिस पर मशीनें स्थापित हैं।
• यह स्प्रिंग, अवमन्दक, या अन्य कंपन अलगाव सामग्री पर मशीनों को आरोपित करके किया जाता है।
  • बल प्रसार्यता को बल संचारित से आधारित बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रणाली पर प्रभावित होता है।
  • प्रभावित बल F0 और संचारित बल FT के साथ एक श्यान अवमन्दक प्रणाली के लिए, प्रसार्यता को निम्न रूप में दिया जाता है

\(\frac{{{F_T}}}{{{F_0}}} = {\rm{\;Transmissibility\;}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\xi r} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {1 - {r^2}} \right)}^2} + {{\left( {2\xi r} \right)}^2}} }}\)

जहां, ω = उत्तेजक स्रोत की गति, rad/s, ωn = प्रणाली की वास्तविक आवृत्ति, rad/s, ζ = अवमन्दन अनुपात

अवमन्दन अनुपात के विभिन्न मानों के लिए प्रसार्यता वक्र नीचे दिखाया गया है

निष्कर्ष:

• अवमन्दक अनुपात के स्वतंत्र मान के लिए, यांत्रिक प्रणाली की प्रसार्यता शून्य हो जाती है क्योंकि आवृत्ति अनुपात का मान √2 से ऊपर होता है। आवृत्ति अनुपात √2 से परे अनुभाग को प्रसार्यता वक्र के अलगाव भाग के रूप में जाना जाता है। अर्थात, प्रभावी कंपन अलगाव के लिए आवृत्ति अनुपात \(\frac{\omega_n}{\omega}\) \(\frac{1}{\sqrt2}\) से कम होना चाहिए
• यदि आवृत्ति अनुपात (ω/ωn), √2 से कम है तो संचारित बल हमेशा उत्तेजक बल से अधिक होता है।
• यदि आवृत्ति अनुपात (ω/ωn), √2 के बराबर है तो संचरित बल उत्तेजक बल के बराबर है।

वर्णन:

अवमंदन अनुपात:

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। 

\(\xi = \frac{c}{{{c_c}}} = \frac{c}{{2\sqrt {km} }} = \frac{c}{{2m{\omega _n}}}\)

प्रसार्यता:

कंपन विलगन प्रणाली में संचारित बल और लागू बल के अनुपात को विलगन कारक या प्रसार्यता के रूप में जाना जाता है। 

\(\varepsilon = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{2c\omega }}{{{c_c}.{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{2c\omega }}{{{c_c}.{\omega _n}}}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \;\frac{{{\omega ^2}}}{{{\omega _n}^2}}} \right)}^2}\;} }}\)

यदि \(\frac{\omega}{{{\omega_n}}} = \sqrt 2 \;\) है, तो अवमंदन कारक c/cc के सभी मानों के लिए ϵ = 1 है। 

आवर्धन कारक:

हार्मोनिक बल Focos(ωt) द्वारा बलात् कंपन का आयाम और बल Fo द्वारा उत्पादित स्थैतिक विक्षेपण को आवर्धन कारक के रूप में जाना जाता है। 

\(MF=\frac{A}{{{X_s}}} = \frac{1}{{\sqrt {{{\left[ {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right]}^2} + {{\left( {2\xi \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

संकल्पना:

कंपन पृथक्करण: कंपन पृथक्करण का उद्देश्य कंपन के संचरण को नियंत्रित करना होता है जिसके आधार पर मशीन स्थापित किये जाते हैं। यह स्प्रिंग, अवमंदक, या अन्य कंपन पृथक्करण पदार्थ पर मशीनों को आलंबित करके पूरा किया जाता है।

• बल प्रसार्यता को प्रसारित बल और प्रणाली पर चिन्हित नींव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• चिन्हित बल F0 और प्रसारित बल FT वाले एक श्यान अवमंदित प्रणाली के लिए प्रसार्यता को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है

\(\frac{{{F_T}}}{{{F_0}}} = {\rm{\;Transmissibility\;}} = \frac{{\sqrt {1 + {{\left( {2\xi r} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {1 - {r^2}} \right)}^2} + {{\left( {2\xi r} \right)}^2}} }}\)

जहाँ, ω = उत्तेजित स्रोत की गति, rad/s, ω_n = प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति, rad/s, ζ = अवमंदन अनुपात

अवमंदन अनुपात के अलग-अलग मानों के लिए प्रसार्यता वक्र को नीचे दर्शाया गया है।

निष्कर्ष:

अवमंदन अनुपात के मान से स्वतंत्र यांत्रिक प्रणाली की प्रसार्यता शून्य तक होती है क्योंकि आवृत्ति अनुपात का मान √2 से ऊपर होता है। आवृत्ति अनुपात √2 से आगे के भाग को प्रसार्यता वक्र के पृथक्करण भाग के रूप में जाना जाता है।

यदि आवृत्ति अनुपात (ω/ωn), √2 से कम है, तो प्रसारित बल सदैव उत्तेजित बल से अधिक होता है।

यदि आवृत्ति अनुपात (ω/ωn), √2 के बराबर है, तो संचारित बल उत्तेजित बल के बराबर होता है।

संकल्पना:

आवेग (I) = संवेग में परिवर्तन (ΔP)

गणना

दिया गया है

द्रव्यमान, m = 5 kg

स्प्रिंग की कठोरता, k = 10 kN/m

t = 0 पर द्रव्यमान u = 0 पर विरामावस्था पर है। 

बल F = 5 kN को समय, t = 10^-4 सेकेंड के लिए लगाया जाता है। 

आवेग संवेग प्रमेय का प्रयोग करने पर 

आवेग (I) = संवेग में परिवर्तन (ΔP)

F × t = m × (v – u)

5 × 10³ × 10^-4  = 1 × (v – 0)

\(v = 0.5~\frac{m}{{sec}}\)

ऊर्जा संतुलन का प्रयोग करने पर 

\(\frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}k{X^2}\)

\(1 \times {0.5^2} = 10 \times {10^3} \times {X^2}\)

X = 5 × 10^-3 = 5 mm

व्याख्या:

अतिअवमंदित और क्रांतिक अवमंदित प्रणाली बिना किसी दोलन के अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं। क्रांतिक अवमंदित प्रणाली तेजी से अतिअवमंदित प्रणालियों की तुलना में लौट आते हैं।

क्रांतिक अवमंदित ( ζ = 1):

\(x(t) = (A + Bt){e^{ - {\omega _n}t}}\)

कम से कम संभव समय के साथ विस्थापन शून्य के करीब पहुंच जाएगा। इस कारण से, बड़े सैन्य क्षेत्र की गन गंभीर रूप से नम हो जाती हैं।

अतिअवमंदित प्रणाली (ζ > 1) :

\(x(t) = A{e^{( - \xi + \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}} + B{e^{( - \xi - \sqrt {{\xi ^2} - 1} ){ω _n}t}}\)

यह एपेरियोडिक गति का समीकरण है अर्थात प्राणलै अतिअवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकता है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य हो जाता है।

अधोअवमंदित प्रणली दोलन के साथ अपनी संतुलन स्थिति में लौट आते हैं।

यदि प्रणली को कम किया जाता है तो यह स्विंग के घटते आकार के साथ आगे और पीछे तब तक स्विंग करेगा जब तक कि यह रुक न जाए। इसका आयाम तेजी से घटेगा।

\(x\left( t \right) = {e^{ - \xi {ω _n}t}}\left( {A{e^{i{ω _d}t}} + B{e^{ - i{ω _d}t}}} \right)\)