Euler's Theory of Buckling MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Euler's Theory of Buckling - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक सिरे पर स्थिर और दूसरे सिरे पर कब्ज़ा वाले स्ट्रट के लिए क्रिपलिंग लोड की गणना ऑयलर के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: \( P = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2} \)

जहाँ, \( L_e = \frac{L}{\sqrt{2}} \) इस सिरे की स्थिति के लिए।

दिया गया है:

L = 4 m = 4000 mm, d = 80 mm, E = 2 x 10⁵ N/mm², π³ = 31

गणना:

प्रभावी लंबाई, \( L_e = \frac{4000}{\sqrt{2}} = 2828.4 \, \text{mm} \)

जड़त्व आघूर्ण, \( I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{3.14 \times 80^4}{64} = 2010613 \, \text{mm}^4 \)

क्रिपलिंग लोड, \( P = \frac{\pi^2 \times 2 \times 10^5 \times 2010613}{(2828.4)^2} = 495142.4 \, \text{N} \approx 496 \, \text{kN} \)

व्याख्या:

बकलिंग के लिए ऑयलर समीकरण

• बकलिंग के लिए ऑयलर समीकरण एक पतले, सीधे स्तंभ को अक्षीय संपीड़न के तहत बकलिंग करने वाले क्रांतिक भार का वर्णन करता है।
• यह समीकरण आदर्श स्तंभों पर लागू होता है जो लंबे और पतले होते हैं, जिनके सिरे पिन किए गए (हिंज किए गए) या स्थिर होते हैं, और यह मानता है कि स्तंभ पूरी तरह से सीधा और समरूप है।
• बकलिंग एक विफलता मोड है जो अक्षीय भार के तहत स्तंभ के अचानक पार्श्व विक्षेपण की विशेषता है। ऑयलर का सूत्र क्रांतिक भार (P_cr) की भविष्यवाणी करता है जिस पर एक स्तंभ बकलिंग करेगा। क्रांतिक भार इस प्रकार दिया गया है:

सूत्र:

\(P_{cr} = \frac{{{n^2}{\pi ^2}EI}}{{{L^2}}}\)

जहाँ:

• P_cr = क्रांतिक भार जिस पर बकलिंग होता है
• E = सामग्री की लोच का मापांक
• I = बकलिंग के अक्ष के बारे में क्रॉस-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण
• K = स्तंभ प्रभावी लंबाई कारक (अंत स्थितियों पर निर्भर करता है, उदाहरण के लिए, पिन-पिन के लिए 1, निश्चित-निश्चित के लिए 0.5)
• L = स्तंभ की वास्तविक लंबाई

लागूकरण:

• ऑयलर समीकरण लंबे, पतले स्तंभों पर सबसे अधिक लागू होता है जहाँ सामग्री के उपज से पहले बकलिंग होता है। इन स्तंभों को उच्च स्लेंडरनेस अनुपात (जड़त्व की त्रिज्या के लिए लंबाई) होने की विशेषता है। सूत्र इस धारणा के आधार पर व्युत्पन्न किया गया है कि स्तंभ सामग्री के कुचलने या उपज के बजाय बकलिंग के कारण विफल हो जाएगा।

लाभ:

• पतले स्तंभों के लिए बकलिंग भार की भविष्यवाणी करने के लिए एक सरल और विश्वसनीय विधि प्रदान करता है।
• अपेक्षित भार के तहत स्तंभों को बकलिंग से रोकने के लिए संरचनाओं के डिजाइन में मदद करता है।

नुकसान:

• लघु, स्टॉकी स्तंभों के लिए लागू नहीं होता है जहाँ बकलिंग से पहले उपज हो सकती है।
• आदर्श परिस्थितियों (पूरी तरह से सीधी, समरूप सामग्री) को मानता है, जो वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में सही नहीं हो सकता है।

अनुप्रयोग:

• ऑयलर बकलिंग सिद्धांत का व्यापक रूप से इमारतों, पुलों, टावरों और अन्य संरचनाओं में संरचनात्मक तत्वों के डिजाइन में उपयोग किया जाता है जहाँ लंबे, पतले स्तंभों का उपयोग किया जाता है। यह बकलिंग विफलता से बचने के लिए सुरक्षित भार सीमा निर्धारित करने में मदद करता है।

संप्रत्यय:

दोनों सिरों पर टिका हुआ स्ट्रट के लिए ऑयलर का क्रिपलिंग लोड इस प्रकार दिया गया है:

\( P = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{L^2} \)

• \( L = 4 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm} \)
• \( d = 64 \, \text{mm} \)
• \( E = 2 \times 10^5 \, \text{N/mm}^2 \)
• \( I = \frac{\pi d^4}{64} \)

मानों को प्रतिस्थापित करने और हल करने पर प्राप्त होता है:

\( P \approx 101601.6 \, \text{N} \)

व्याख्या:

वह अधिकतम भार जिस पर स्तंभ पार्श्व विस्थापन करने या बकल करने की प्रवृत्ति रखता है, उसे आकुंचन या क्षय-भार के रूप में जाना जाता है। भार स्तंभ का विश्लेषण यूलर के स्तंभ सूत्रों से किया जा सकता है जिसे इस प्रकार दिया जा सकता है:

\(P = \frac{{{n^2}{\pi ^2}EI}}{{{L^2}}}\)

• दोनों सिरे हिंजित के लिए, n=1
• एक सिरा स्थिर और दूसरा मुक्त के लिए, n=1I2
• दोनों सिरे स्थिर के लिए, n = 2
• एक सिरा स्थिर और दूसरा हिंजित के लिए, n=√2

प्रभावी लंबाई:

\(L_{eq}=\frac{L}{n}\)

दोनों सिरे स्थिर स्तंभ सबसे कम प्रभावी लंबाई में परिणाम देते हैं और इसलिए दोनों सिरे स्थिर/क्लैम्प्ड के लिए व्‍याकुंचन-भार अधिकतम होगा।

अवधारणा:

• प्रभावी लंबाई को शून्य बंकन आघूर्ण या प्रति-बंक के दो आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।

प्रभावी लंबाई का मान समर्थन की स्थिति के अनुसार बदलता रहता है।

यूलर के स्तंभ सिद्धांत के अनुसार, L लंबाई के स्तंभ के लिए क्षय भार,

\({P_{cr}}= \;\frac{{{\pi ^2}EI}}{{{{\left( {L_e} \right)}^2}}}\)

जहां Leq स्तंभ की प्रभावी लंबाई है।

व्याख्या:

• यूलर के सिद्धांत के अनुसार एक स्तंभ की समतुल्य लंबाई, जिसकी प्रभावी लंबाई सबसे लंबी होती है जब स्तंभ का एक सिरा स्थिर होता है और दूसरा सिरा मुक्त होता है।

अवधारणा :

प्रभावी लंबाई को शून्य बंकन आघूर्ण या प्रतिवंकन के दो आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है।

क्लैम्प्ड मुक्त स्तंभ का मतलब है एक सिरा नियत और दूसरा सिरा मुक्त है।

प्रभावी लंबाई का मान आलम्बन परिस्थितियों के अनुसार परिवर्तित होता है।

वर्णन:

यूलर के स्तंभ सिद्धांत के अनुसार छोर स्थितियों के अलग-अलग प्रकारों के लिए स्तंभ पर क्रांतिक भार (P) निम्न है:

\({{\rm{P}}_{\rm{e}}} = \frac{{{\rm{\pi E}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}} = \frac{{{\rm{n}}{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{{{\rm{L}}^2}}}\)

जहाँ Pe = व्याकुंचन भार, Imin = [Ixx और Iyy] का न्यूनतम, L = स्तंभ की वास्तविक लम्बाई, α = लम्बाई स्थिरता गुणांक, n = छोर स्थिरता गुणांक

Le = αL और \({\bf{n}} = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\)

यूलर का सूत्र केवल लंबे स्तंभों के लिए अच्छा होता है।

दिए गए छोर स्थितियों के लिए लम्बाई स्थिरता गुणांक और छोर स्थिरता गुणांक निम्नलिखित तालिका में दिया गया है:

स्पष्टीकरण:

किसी दी गई सामग्री का व्याकुंचन भार क्षीणता अनुपात, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और प्रत्यास्थता का मापांक पर निर्भर करता है।

व्याकुंचन भार:

लंबे स्तंभ का विश्लेषण यूलर के सूत्र का उपयोग करके किया जाता है:

प्रत्यास्थ क्रांतिक प्रतिबल (fcr)

\({{\rm{f}}_{{\rm{cr}}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E}}}}{{{{\rm{\lambda }}^2}}}\)

जहां E = सामग्री की प्रत्यास्थता के मापांक, और λ = क्षीणता अनुपात

\({\rm{\lambda \;}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{l}}{{\rm{e}}_{{\rm{ff}}}}}}{{{{\rm{r}}_{{\rm{min}}}}}}\) और Imin = A × rmin2

जहाँ rmin = खंड के परिभ्रमण की न्यूनतम त्रिज्या, Imin = लघु सिद्धांत जड़त्व आघूर्ण, A = अनुप्रस्थ काट क्षेत्र, और Leff­ = यह स्तंभ खंड की अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है।

यूलर भार निम्न रूप में दिया जाता है

\({\rm{P\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E}}}}{{{\rm{l}}_{{\rm{eff}}}^2}}{\rm{r}}_{{\rm{min}}}^2 \times {\rm{A\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E\;Imin}}}}{{{\rm{l}}_{{\rm{eff}}}^2}}\)

इस प्रकार यूलर के भार सूत्र द्वारा,

\({\rm{Load\;}} \propto {\rm{\;}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}{\rm{\;and\;Load}} \propto \frac{1}{{{{\left( {{{\rm{l}}_{{\rm{eff}}}}} \right)}^2}}}\)

वह भार जिस पर स्तंभ व्याकुंचन को व्याकुंचन भार कहा जाता है व्याकुंचन भार निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({P_b} = \frac{{{\pi ^2}E{I_{}}}}{{L_e^2}}\)

जहां E = प्रत्यास्थता का यंग मापांक, Imin = न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण, और Le = प्रभावी लंबाई

हम जानते हैं कि एक वृत्ताकार खंड के लिए MOI \(I = \frac{\pi d^4}{64}\)

वर्णन:

एक स्तंभ के लिए यूलर बकलिंग भार को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}}\)

जहाँ, Le = स्तंभ का प्रभावी लाभ है जो छोर समर्थन स्थितियों पर निर्भर करता है और EI स्तंभ की आनमनी रुक्षता है। 

अब, वास्तविक लम्बाई (L) के संदर्भ में अलग-अलग छोर स्थितियों के लिए प्रभावी लम्बाई (Le) को निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध किया गया है:

Putting the values of Le we will get:

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{}} = {\rm{}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{}}^2}}\)   [दोनों छोर कब्जेदार/पिन किये हुए है]

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{}} = {\rm{}}\frac{{{{\rm{2\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{}}^2}}\)  [एक छोर कब्जेदार दूसरा छोर निर्दिष्ट है]

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{}} = {\rm{}}\frac{{{{\rm{4\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{}}^2}}\)  [दोनों छोर निर्दिष्ट है]

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{}} = {\rm{}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{4L}}_{\rm{}}^2}}\)  [एक छोर निर्दिष्ट है और दूसरा छोर मुक्त है]

Thus the maximum value we get is for both ends fixed.

Additional Informationसंपीडन सदस्य:

संपीडन सदस्य एक संरचनात्मक सदस्य है जो सीधा और इसके छोर पर लागू दो बराबर और विपरीत संपीडक बलों के अधीन है। वे दो प्रकार के हैं:

1. स्तंभ
2. आलंबन स्तंभ

स्तंभ:

• संरचनात्मक सदस्य अक्षीय भार का वहन करता है और यह ऊर्ध्वाधर होता है और दोनों छोर निर्दिष्ट होते हैं। 

आलंबन स्तंभ:

• वह संरचनात्मक सदस्य जो अक्षीय भार का वहन करता है और यह ऊर्ध्वाधर हो सकता है या नहीं भी हो सकता है, एक छोर मुक्त और दूसरा छोर निर्दिष्ट हो सकता है, एक छोर कब्जेदार और दूसरा निर्दिष्ट हो सकता है।

व्याख्या:

यूलर के स्तंभ के सिद्धांत के अनुसार, लम्बाई L के एक स्तंभ के लिए क्रिपप्लिंग भार, 

\({P_{cr}} = \frac{{{\pi ^2}EA}}{{{{\left( {\frac{{{L_{eq}}}}{r}} \right)}^2}}}\)

जहाँ Leq स्तंभ की प्रभावी लम्बाई है।

यूलर के स्तंभ सिद्धांत में निम्नलिखित अवधारणाएँ प्रस्तावित की गई:

• स्तंभ प्रारंभ में सीधा होता है और भार अक्षीय रूप से लागू होता है।
• स्तंभ का अनुप्रस्थ-अनुभाग इसकी पूर्ण लम्बाई में एकसमान होता है।
• कॉलम सामग्री पूरी तरह से प्रत्यास्थ, सजातीय और समस्थानिक होती है एवं हुक के नियम का पालन करती है।
• स्तंभ की लम्बाई इसके पार्श्व आयामों की तुलना में बहुत अधिक होती है।
• प्रत्यक्ष प्रतिबल वंकन प्रतिबल की तुलना में बहुत निम्न होता है।
• स्तंभ केवल व्याकुंचन द्वारा विफल होता है।
• स्तंभ का खुद का वजन नगण्य होता है।

स्पष्टीकरण:

काॅलम:

• यदि एक बीम तत्व एक संपीड़क भार के अंतर्गत है और इसकी लंबाई इसके अन्य विमाओं से अधिक परिमाण का एक क्रम है, तो ऐसे बीम को एक काॅलम कहा जाता है।
• इसके आकार के कारण, इसका अक्षीय विस्थापन इसके पार्श्व विक्षेपण की तुलना में बहुत छोटा होगा,जिसे बकलिंग कहा जाता है।

यूलर का बकलिंग भार:

\( {P_{cr}} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}E{I_{\min }}}}{{l_e^2}}\)

जहाँ, P_cr = बकलिंग के लिए क्रांतिक भार; E = यंग मापांक (GPa); I_min = जड़त्व  आघूर्ण का क्षेत्रफल, l_e = प्रभावी लंबाई; k_min  = घूर्णन की न्यूनतम त्रिज्या

स्लैंडरनेस अनुपात (S): 

यह लंबाई और घूर्णन की न्यूनतम त्रिज्या का अनुपात होता है।

\(S = \frac{{{l_e}}}{{{k_{\min }}}}\)

इसलिए, बकलिंग भार अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।

Additional Information

विभिन्न अंतिम स्थितियों का बकलिंग भार नीचे तालिका में दिया गया है। 

संकल्पना:

व्याकुंचन भार:

वह भार जिस पर स्तंभ व्याकुंचन करता है उसे व्याकुंचन भार कहा जाता है। व्याकुंचन भार निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({P_b} = \frac{{{\pi ^2}E{I_{}}}}{{L_e^2}}\)

जहां E = यंग का प्रत्यास्थता मापांक, Imin = न्यूनतम जड़त्वाघूर्ण और L_e = प्रभावी लंबाई

गणना:

दिया हुआ:

दोनों सिरों पर निश्चित स्तंभ के लिए क्रांतिक व्याकुंचन भार (Pcr₁) \(= \frac{{4{\pi ^2}EI}}{{\begin{array}{*{20}{c}} {{L^2}} \end{array}}}\)

दोनों सिरों पर हिन्जित स्तंभ के लिए क्रांतिक व्याकुंचन भार (Pcr₂) = \(\frac{{{\pi ^2}EI}}{{{L^2}}}\)

\(\therefore\frac{(P_{cr})_1}{(P_{cr})_2}=4\)

अवधारणा:

वह अधिकतम भार जिस पर किसी स्तंभ के पार्श्व विस्थापन होने की या झुकने की प्रवृत्ति होती है, वह प्राकुंचन या क्रिप्लिंग भार के नाम से जाना जाता है।

भार स्तम्भ का विश्लेषण यूलर के स्तम्भ सूत्रों के प्रयोग द्वारा किया जा सकता है और यह इस प्रकार है:

\(P = \frac{{{n^2}{\pi ^2}EI}}{{{L^2}}}\)

• दोनों कब्जेदार सिरों के लिए, n = 1
• एक नियत सिरे और दुसरे मुक्त सिरे के लिए, n = 1/2
• दोनों नियत सिरों के लिए, n = 2
• एक नियत सिरे और एक कब्जेदार सिरे के लिए, n = √2

प्रभावी लम्बाई:

\(L_{eq}=\frac{L}{n}\)

गणना:

\({P_{fixed - fixed}} > {P_{fixed - hinged}} > {P_{hinged - hinged}} > {P_{fixed - free}}\)

p₂ > p₄ > p₁ > p₃

वर्णन:

बकलिंग भार:

उस भार को बकलिंग भार के रूप में संदर्भित किया जाता है जिसपर स्तंभ झुका होता है। बकलिंग भार को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({P_b} = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{L_e^2}}\)
जहाँ E = यंग के प्रत्यास्थता का मापांक, Imin = न्यूनतम जड़त्वाघूर्ण, और Le = प्रभावी लम्बाई 

\({P_{b1}} = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{L_e^2}}\)------------(1)

\({P_{b2}} = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{4L_e^2}}\)------------(2)

समीकरण (2) को (1) से विभाजित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\frac{{{P_{b2}}}}{{{P_{b1}}}} = \frac{1}{4}\)

अतः क्रांतिक भार वास्तविक भार का एक-चौथाई होगा। 

संकल्पना:

स्ट्रट:

यह एक संयोजन में लंबे और पतले संरचनात्मक सदस्य हैं जो केवल अक्षीय संपीड़न बल के अधीन हैं।

ये मुख्य रूप से बकलिंग द्वारा विफल हो जाते हैं लेकिन कुछ समय में बकलिंग से पहले संपीडन में सुनम्य विफलता प्राप्त होती है।

ये सदस्य संरचनात्मक रूप से काॅलम के अनुरूप होते हैं।

इसलिए, स्ट्रट की बकलिंग क्षमता काॅलम के समान है और इसे इस प्रकार लिया जा सकता है,

\({{\rm{P}}_{{\rm{buck}}}} = {\rm{K}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}},{\rm{\;K\;}}\)एक कारक है जो अतिम परिस्थितियों और कोडल प्रावधानों पर निर्भर करता है 

\(\therefore {\rm{\;}}{{\rm{P}}_{{\rm{buck}}}} \propto \frac{{{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}} \propto \frac{{{\rm{EA}}{{\rm{r}}^2}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}} \propto \frac{{{\rm{EA}}}}{{{{\left( {\frac{{{{\rm{L}}_{\rm{e}}}}}{{\rm{r}}}} \right)}^2}}} \propto \frac{{{\rm{EA}}}}{{{{\left( {\rm{\lambda }} \right)}^2}}}{\rm{\;\;}}\;\;\)

\(\therefore {{\rm{P}}_{{\rm{buck}}}} \propto \frac{1}{{{{\left( {\rm{\lambda }} \right)}^2}}}\;\) where λ is slenderness ratio.

जहाँ,

Pbuck स्ट्रट की बकलिंग क्षमता है,

E स्ट्रट की प्रत्यास्थता का मापांक है,

I, A और क्रमशः जड़त्व आघूर्ण,अनुप्रस्थ काट और प्रभावी लंबाई है ।

टिप्पणी: स्ट्रट का शुद्ध क्षेत्रफल मुख्य रुप से सुनम्य विफलता के मामले में निर्णायक कारक है लेकिन बकलिंग क्षमता विफलता के लिए नहीं है।