Equivalence of Relations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Equivalence of Relations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 7, 2025
Latest Equivalence of Relations MCQ Objective Questions
Equivalence of Relations Question 1:
संबंध R = {(x, y) : x, y ∈ Z और x + y सम है} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 1 Detailed Solution
गणना
R = {(x, y), x + y सम है x, y ∈ Z}
स्वतुल्य, x + x = 2x सम है।
सममित, यदि x + y सम है, तो (y + x) भी सम है।
संक्रामक यदि x + y सम है और y + z सम है तो x + z भी सम है।
इसलिए, संबंध एक तुल्यता संबंध है।
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
Equivalence of Relations Question 2:
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर निम्नलिखित में से कौन सा संबंध एक तुल्यता संबंध है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
तुल्यता संबंध: स्वतुल्य, सममित, संक्रामक।
- स्वतुल्य: सभी a के लिए aRa है।
- सममित: यदि aRb है, तो bRa है।
- संक्रामक: यदि aRb और bRc, तो aRc है।
गणना:
1. aR₁b ⇔ |a| = |b|
⇒ स्वतुल्य: |a| = |a|, इसलिए aR₁a है। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: यदि |a| = |b|, तो |b| = |a| है, इसलिए यदि aR₁b, तो bR₁a है। (सममित)
⇒ संक्रामक: यदि |a| = |b| और |b| = |c| है, तो |a| = |c|, इसलिए यदि aR₁b और bR₁c है, तो aR₁c है। (संक्रामक)
⇒ aR₁b एक तुल्यता संबंध है।
2. aR₃b ⇔ a, b को विभाजित करता है
⇒ स्वतुल्य: a, a को विभाजित करता है, इसलिए aR₃a। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: 2, 4 को विभाजित करता है, लेकिन 4, 2 को विभाजित नहीं करता है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a, b को विभाजित करता है और b, c को विभाजित करता है, तो a, c को विभाजित करता है। (संक्रामक)
⇒ aR₃b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
3. aR₂b ⇔ a ≥ b
⇒ स्वतुल्य: a ≥ a, इसलिए aR₂a है। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: 5 ≥ 3, लेकिन 3 < 5 है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a ≥ b और b ≥ c है, तो a ≥ c है। (संक्रामक)
⇒ aR₂b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
4. aR₄b ⇔ a < b
⇒ स्वतुल्य: a < a असत्य है। (स्वतुल्य नहीं है )
⇒ सममित: यदि a < b है, तो b < a असत्य है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a < b और b < c है, तो a < c है। (संक्रामक)
⇒ aR₄b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
इसलिए विकल्प 1 सही है।
Equivalence of Relations Question 3:
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर निम्नलिखित में से कौन सा संबंध एक तुल्यता संबंध है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
तुल्यता संबंध: स्वतुल्य, सममित, संक्रामक।
- स्वतुल्य: सभी a के लिए aRa है।
- सममित: यदि aRb है, तो bRa है।
- संक्रामक: यदि aRb और bRc, तो aRc है।
गणना:
1. aR₁b ⇔ |a| = |b|
⇒ स्वतुल्य: |a| = |a|, इसलिए aR₁a है। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: यदि |a| = |b|, तो |b| = |a| है, इसलिए यदि aR₁b, तो bR₁a है। (सममित)
⇒ संक्रामक: यदि |a| = |b| और |b| = |c| है, तो |a| = |c|, इसलिए यदि aR₁b और bR₁c है, तो aR₁c है। (संक्रामक)
⇒ aR₁b एक तुल्यता संबंध है।
2. aR₃b ⇔ a, b को विभाजित करता है
⇒ स्वतुल्य: a, a को विभाजित करता है, इसलिए aR₃a। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: 2, 4 को विभाजित करता है, लेकिन 4, 2 को विभाजित नहीं करता है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a, b को विभाजित करता है और b, c को विभाजित करता है, तो a, c को विभाजित करता है। (संक्रामक)
⇒ aR₃b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
3. aR₂b ⇔ a ≥ b
⇒ स्वतुल्य: a ≥ a, इसलिए aR₂a है। (स्वतुल्य)
⇒ सममित: 5 ≥ 3, लेकिन 3 < 5 है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a ≥ b और b ≥ c है, तो a ≥ c है। (संक्रामक)
⇒ aR₂b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
4. aR₄b ⇔ a < b
⇒ स्वतुल्य: a < a असत्य है। (स्वतुल्य नहीं है )
⇒ सममित: यदि a < b है, तो b < a असत्य है। (सममित नहीं है)
⇒ संक्रामक: यदि a < b और b < c है, तो a < c है। (संक्रामक)
⇒ aR₄b एक तुल्यता संबंध नहीं है।
इसलिए विकल्प 1 सही है।
Equivalence of Relations Question 4:
संबंध R = {(x, y) : x, y ∈ Z और x + y सम है} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 4 Detailed Solution
गणना
R = {(x, y), x + y सम है x, y ∈ Z}
स्वतुल्य, x + x = 2x सम है।
सममित, यदि x + y सम है, तो (y + x) भी सम है।
संक्रामक यदि x + y सम है और y + z सम है तो x + z भी सम है।
इसलिए, संबंध एक तुल्यता संबंध है।
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
Equivalence of Relations Question 5:
माना कि R = {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} समुच्चय {1, 2, 3, 4} पर परिभाषित एक संबंध है। तब R को तुल्यता संबंध बनाने के लिए, R में जोड़े जाने वाले न्यूनतम अवयवों की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 5 Detailed Solution
गणना
A = {1, 2, 3, 4}
संबंध को तुल्यता संबंध बनाने के लिए,
R = {(1,2), (2, 3), (3,3)}
जोड़े जाने वाले न्यूनतम अवयव होंगे
(1,1), (2,2), (4,4), (2,1), (3,2), (1,3)
∴ न्यूनतम अवयवों की संख्या = 7
अतः विकल्प 4 सही है।
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मान लीजिए R = {(a, b): a, b ϵ N और a2 = b} है, तो संबंध R क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 6 Detailed Solution
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कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता है।
सममित: यदि कोई भी एक तत्व अन्य किसी तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है, तो R सममित होता है और यदि xRy है, तो yRx है।
संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
- यदि x, y के लिए, z ∈ A है, तो R संक्रामक होता है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है।
R को समतुल्य संबंध तब कहा जाता है यदि A गैर-रिक्त होता है और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है।
गणना:
यहाँ, R = {(a, b): a, b ϵ N और a2 = b}
1. चूँकि 2 ≠ 22 है, तो संबंध R को कर्मकर्त्ता नहीं है।
2. चूँकि, 22 = 4 है, इसलिए (2, 4), R से संबंधित है।
लेकिन 4 ≠ 2 और इसलिए, R सममित नहीं है।
3. चूँकि, 42 = 16 है, इसलिए (4, 16), R से संबंधित है।
साथ ही, 162 = 256, इसलिए (16, 256), R से संबंधित है।
लेकिन, 42 ≠ 256 है इसलिए R संक्रामक नहीं है।
इसलिए, R स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामिता में से किसी को भी संतुष्ट नहीं करता है।
अतः विकल्प (4) सही है।
मान लीजिए कि एक शहर में रहने वाले सभी व्यक्तियों का समुच्चय X है। X के व्यक्ति x, y सम्बन्ध x < y द्वारा सम्बन्धित कहे जाते हैं, यदि y, x से कम-से-कम 5 वर्ष बड़ा है। निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 7 Detailed Solution
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माना कि R समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।
1. प्रतिक्षेपी: प्रत्येक संबंध स्वयं से संबंधित है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए, xRx है, तो R प्रतिक्षेपी है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है, तो R सममित है, यदि xRy है, तो yRx है।
3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित है और वह दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए z ∈ A है, तो R संक्रामक है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है।
4. यदि A गैर-रिक्त है और R प्रतिक्षेपी, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानक संबंध है।
गणना:
दिया गया है: यदि y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है, तो x < y है।
⇒ y ≥ x + 5
प्रतिक्षेपी के लिए: (x, x) को सभी x ∈ X के लिए ∈R होना चाहिए।
अब, x स्वयं से 5 वर्ष वयस्क नहीं हो सकता है। इसलिए संबंध प्रतिक्षेपी नहीं है।
सममित के लिए: यदि (x, y) ∈ R ⇒(y, x) ∈ R है।
(x, y) ∈ R ⇒ y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
(y, x) ∈ R ⇒ x, y से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है। यह उपरोक्त कथन का खंडन करता है। इसलिए संबंध सममित नहीं है।
संक्रामक के लिए: यदि (x, y) ∈ R और (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R है।
(x, y) ∈ R ⇒ y, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
(y, z) ∈ R ⇒ z, y से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
तो, (x, z) ∈ R ⇒ z, x से कम से कम 5 वर्ष वयस्क है।
चूँकि, z, x से कम से कम 10 वर्ष वयस्क है। संबंध संक्रामक है।
मान लीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय Z है और aRb, जहाँ a, b ∈ Z, यदि और केवल यदि (a-b), 5 से विभाज्य है।
निम्नलिखित कथनो पर विचार कीजिए:
1. सम्बन्ध R, Z को पाँच तुल्य वर्गों में विभाजित करता है।
2. कोई दो तुल्य वर्ग या तो बराबर हैं या असंयुक्त हैं।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 8 Detailed Solution
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माना कि R समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।
1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक संबंध स्वयं से संबंधित है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए, xRx है, तो R कर्मकर्त्ता है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है, तो R सममित है, यदि xRy है, तो yRx है।
3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित है और वह दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए z ∈ A है, तो R संक्रामक है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है।
4. यदि A गैर-रिक्त है और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है, तो R एक समतुल्यता संबंध है।
गणना:
एक संबंध Z पर इस प्रकार परिभाषित है जिससे aRb ⇒ (a − b), 5 से विभाज्य है,
कर्मकर्त्ता के लिए: (a, a) ∈ R.
चूँकि, (a − a) = 0, 5 से विभाज्य है।
इसलिए संबंध कर्मकर्त्ता है।
सममित के लिए: यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R है।
(a, b)∈ R ⇒ (a − b), 5 से विभाज्य है।
अब, (b − a) = − (a − b) भी 5 से विभाज्य है।
इसलिए, (b, a) ∈ R है।
इसलिए संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए: यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R है।
(a, b) ∈ R ⇒ (a − b), 5 से विभाज्य है।
(b, c) ∈ R ⇒ (b − c), 5 से विभाज्य है।
तो,
(a − c) = (a – b + b −c)
(a − c) = (a − b) + (b − c)
हम जानते हैं कि (a − b), 5 से विभाज्य है और (b − c), 5 से विभाज्य है तो (a − c) भी 5 से विभाज्य है। इसलिए, (a, c) ∈ R है।
इसलिए, संबंध संक्रामक है।
∴ संबंध समकक्ष नहीं है।
अब, प्राप्त शेषफल के आधार पर जब (a−b) को 5 से विभाजित किया जाता है, तो हम समुच्चय Z को 5 समकक्ष कक्षाओं में विभाजित कर सकते हैं और वे असंयुक्त हैं अर्थात् किसी भी दो कक्षाओं के बीच कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं हैं।
एक संबंध R को पूर्णांकों के समुच्चय Z पर निम्न रूप से परिभाषित किया जाता है:
mRn ⇔ m - n विषम है। निम्नलिखित में से कौन-सा/कौन-से कथन R के लिए सत्य है/हैं?
1. R कर्मकर्त्ता है।
2. R सममित है।
3. R संक्रामक है।
सही उत्तर का चयन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 9 Detailed Solution
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माना कि R समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।
1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता होता है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित होता है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
यदि सभी x, y ∈ A है और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित होता है।
3. संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित होता है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
यदि सभी x, y, z ∈ A है और यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक होता है।
गणना:
कर्मकर्त्ता के लिए:
mRm = m – m = 0 और nRn = n – n = 0 है जो विषम नहीं है।
इसलिए, यह कर्मकर्त्ता नहीं है।
सममित के लिए:
mRn = m – n विषम है, तो nRm = n – m भी विषम है।
∴ यह संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए:
माना कि m = 5, n = 2 है और तीसरी संख्या (p) = 1
mRn = 5 – 2 = 3 (विषम), nRp = 2 -1 = 1 (विषम) और mRp = 5 – 1 = 4 (सम)
अर्थात् mRn और nRp ≠ mRp
∴ संबंध संक्रामक नहीं है।
अतः विकल्प (1) सही है।
समुच्चय A = {1, 2, 3} पर तुल्यता संबंधों की अधिकतम संख्या कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 10 Detailed Solution
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स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है कि, A= {1, 2, 3}
∴ संभावित तुल्यता संबंध:
- R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
- R2= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
- R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}
- R4= ((1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}
- R5 = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3),(2,1),(2,3) (3,1),(3,2)}
∴ तुल्यता संबंध की अधिकतम संख्या '5' है।
R = {(a, b) : a – b, 3 से विभाज्य है} द्वारा दिए गए पूर्णांकों के समूह में संबंध R क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 11 Detailed Solution
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1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
यदि सभी x ∈ A, xRx के लिए R स्वतुल्य है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित होता है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
यदि सभी x के लिए y ∈ A है और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित होता है।
3. संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित होता है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व के साथ संबंधित होता है।
यदि सभी x के लिए z ∈ A है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक होता है।
4. यदि A अरिक्त और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानता संबंध है।
गणना:
कर्मकर्त्ता के लिए:
(a, a) = a – a = 0, 3 से विभाज्य है।
सममित के लिए:
यदि (a - b), 3 से विभाज्य है, तो (b – a) = - (a - b) भी 3 से विभाज्य है।
इसलिए संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए:
यदि (a - b) और (b - c), 3 से विभाज्य है।
तो (a - c) भी 3 से विभाज्य है।
इसलिए संबंध संक्रामक है।
∴ R एक समानता संबंध है।
अतः विकल्प (4) सही है।
मान लीजिए R = {(a, b): a,b ϵ Z और (a + b) सम है} है, तो R क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता है।
सममित: यदि कोई भी एक तत्व अन्य किसी तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है, तो R सममित होता है और यदि xRy है, तो yRx है।
संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है।
- यदि x, y के लिए, z ∈ A है, तो R संक्रामक होता है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है।
R को समतुल्य संबंध तब कहा जाता है यदि A गैर-रिक्त होता है और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है।
गणना:
यहाँ, R = {(a, b): a,b ϵ Z और (a + b) सम है}
1. चूँकि a + a = 2a है, जो सम है, इसलिए R कर्मकर्त्ता है।
2. यदि a + b सम है, तो b + a भी सम होगा। इसलिए, R सममित है।
3. माना कि, a = 3, b = 5, और c = 7 है।
a + b = 3 + 5 = 8 (जो सम है), b + c = 5 + 7 = 12 (जो सम भी है) और a + c = 3 + 7 = 10 (जो सम भी है)
अतः विकल्प (2) सही है।
किसी संबंध R को एक तुल्यता संबंध कहा जाता है यदि ______।
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
तुल्यता संबंध: यदि संबंध R स्वतुल्य, सममित और सकर्मक होता है तो समुच्चय A पर संबंध R को तुल्यता संबंध कहा जाता है ।
उदाहरण- समुच्चय {1, 2, 3} में संबंध R को निम्न के द्वारा दिया गया है-
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} तुल्य (तुल्य्ता) हैं।
स्वतुल्य: यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R, हो तो इस संबंध को स्वतुल्य कहा जा सकता है।
उदाहरण- समुच्चय {1, 2, 3} में संबंध R को निम्न के द्वारा दिया गया है।
R = {(1,1), (2,2), (3,3)} स्वतुल्य है।
सम्मित: यदि (a, b) ∈ R, बाद में (b, a) ∈ R हो जाये तब सम्बन्ध को सम्मित कहा जा सकता है।
उदाहरण- समुच्चय {a, b, c} में संबंध R को निम्न के द्वारा दिया गया है।
R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} सम्मित हैं।
संक्रामक: यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, उसके बाद (a, c) ∈ R हो तब इस सम्बन्ध को संक्रामक कहा जा सकता है।
उदाहरण- समुच्चय {1, 2, 3} में संबंध R को निम्न के द्वारा दिया गया है।
R = {(1,2), (2,3), (1,3)}
मान लीजिए X भारत के सभी नागरिकों का समुच्चय है। X में तत्व x, y को तब संबंधित कहा गया हैं यदि उनके उम्रों का अंतर 5 वर्ष है। तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता होता है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित होता है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
यदि सभी x, y ∈ A है और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित होता है।
3. संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित होता है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व के साथ संबंधित होता है।
यदि सभी x,y, z ∈ A है और यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक होता है।
4. यदि A अरिक्त और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानता संबंध है।
गणना:
यहाँ, xRy → x - y = 5 वर्ष जहाँ x,y ∈ X (भारत के नागरिक)
कर्मकर्त्ता के लिए:
xRx → x - x ≠ 5, इसलिए यह कर्मकर्त्ता नहीं है।
सममित के लिए:
xRy → x - y = 5 और yRx → y - x = 5, अंतर केवल 5 वर्ष होगा।
इसलिए यह सममित है।
संक्रामक के लिए:
माना कि, x = 25, y = 20, और z = 15 है।
x - y = 5, y - z = 5, लेकिन x - z ≠ 5
यदि xRy और yRz है, तो यह आवश्यक रूप से xRz नहीं है।
इसलिए, यह संक्रामक नहीं है।
अतः विकल्प (2) सही है।
मान लीजिए S सभी पूर्णांकों को दर्शाता है, जो ‘aRb यदि ab ≥ 0 है, जहाँ a, b ∈ S है’ के रूप में S पर एक संबंध R को परिभाषित करता है। तो R निम्न में से क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Equivalence of Relations Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है।
- यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता होता है।
2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित होता है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए y ∈ A है और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित होता है।
3. संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित होता है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व के साथ संबंधित होता है।
- यदि सभी x के लिए z ∈ A है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक होता है।
4. यदि A अरिक्त और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानता संबंध है।
गणना:
S = सभी पूर्णांकों का समुच्चय और R = {(a, b), a, b ϵ S और ab \(≥\) 0}
कर्मकर्त्ता के लिए:
aRa = a.a = a2 ≥ 0, इसलिए यह कर्मकर्त्ता है।
सममित के लिए:
aRb = ab ≥ 0 और bRa = ba ≥ 0, इसलिए संबंध सममित है।
संक्रामक के लिए:
सभी पूर्णांकों के लिए, यदि ab ≥ 0, bc ≥ 0, तो सभी स्थितियों के लिए ac ≥ 0 सत्य नहीं है।
उदाहरण के लिए,
अगर a = -1, b = 0, और c = 1
फिर, ab ≥ 0, bc ≥ 0 लेकिन ac = -1 के लिए जो ac 0 को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए R सकर्मक नहीं है।
सभी पूर्णांकों के लिए a.a ≥ 0. यदि ab ≥ 0, bc ≥ 0 है, तो ac ≥ 0 भी है।
तो, संबंध स्वतुल्य है, सममित है लेकिन सकर्मक नहीं है।
अतः विकल्प (2) सही है।