Transitive Relations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transitive Relations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 23, 2025
Latest Transitive Relations MCQ Objective Questions
Transitive Relations Question 1:
मान लीजिए R1 और R2 दो संबंध हैं जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं:
R1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∈ Q}
और R2 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∉ Q} है। तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 1 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
मान लीजिए a = 1 + √2, b = 1 - √2 तथा c = 2√2 है। तब,
a2 + b2 = 6, ∈Q, b2 + c2 = 3 ∈ Q लेकिन a2 + c2 = 3 + 4√2 ∉ Q
⇒ (a, b) ∈ R 1 और (b, c) ∈ R 1 लेकिन (a, c) ∉ R 1
∴ R1 संक्रामक नहीं है।
अब, मान लीजिए x = 1 + √2, y = √2 और z = 1 - √2 है। तब,
x2 + y2 = 5 + 2√2 ∉ Q, y2 + z2 = 5 - 2√2 ∉ Q
लेकिन x2 + z2 = 6 ∈ Q
⇒ (x, y) ∈ R2, (y, z) ∈ R2 परंतु (x, z) ∉ R2
∴ R2 संक्रामक नहीं है।
Transitive Relations Question 2:
मान लीजिए R1 और R2 दो संबंध हैं जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं:
R1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∈ Q}
और R2 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∉ Q} है। तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 2 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
मान लीजिए a = 1 + √2, b = 1 - √2 तथा c = 2√2 है। तब,
a2 + b2 = 6, ∈Q, b2 + c2 = 3 ∈ Q लेकिन a2 + c2 = 3 + 4√2 ∉ Q
⇒ (a, b) ∈ R 1 और (b, c) ∈ R 1 लेकिन (a, c) ∉ R 1
∴ R1 संक्रामक नहीं है।
अब, मान लीजिए x = 1 + √2, y = √2 और z = 1 - √2 है। तब,
x2 + y2 = 5 + 2√2 ∉ Q, y2 + z2 = 5 - 2√2 ∉ Q
लेकिन x2 + z2 = 6 ∈ Q
⇒ (x, y) ∈ R2, (y, z) ∈ R2 परंतु (x, z) ∉ R2
∴ R2 संक्रामक नहीं है।
Transitive Relations Question 3:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो A पर संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
अवधारणा:
यदि A एक समुच्चय है और R, A पर परिभाषित एक संबंध है
R स्वतुल्य है: a, a से संबंधित है। ∀ a ∈ A
R सममित है: यदि a, b से संबंधित है, तो b, a से संबंधित है। ∀ a, b ∈ A
R संक्रामक है: यदि a, b से संबंधित है और b, c से संबंधित है तो a, c से संबंधित है। ∀ a, b, c ∈ A
गणना:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
1. स्वतुल्य:
मान लीजिए 1 ∈ A लेकिन (1, 1) ∉ R .
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
2. सममिति:
माना 2, 3 ∈ A और (2, 3) ∈ R लेकिन (3, 2) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।
3. संक्रामक:
मान लीजिए 2 , 3, 4 ∈ A और
(2, 3) और (3, 4) ∈ R फिर (2, 4 ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।
अतः R केवल संक्रामक है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Transitive Relations Question 4:
यदि समुच्चय {1, 2, 3} पर एक संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया जाए, तो R है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
स्पष्टीकरण:
माना A = {1, 2, 3}
संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया गया है।
चूँकि, (1, 1) ∉ R
∴ यह स्वतुल्य नहीं है।
चूँकि, (1, 2) ∈ R लेकिन (2, 1) ∉ R
∴ यह सममित नहीं है।
लेकिन संक्रामक स्थिति को अस्वीकृत करने के लिए कोई प्रति-उदाहरण नहीं है।
∴ यह संक्रामक है।
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यदि समुच्चय {1, 2, 3} पर एक संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया जाए, तो R है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
स्पष्टीकरण:
माना A = {1, 2, 3}
संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया गया है।
चूँकि, (1, 1) ∉ R
∴ यह स्वतुल्य नहीं है।
चूँकि, (1, 2) ∈ R लेकिन (2, 1) ∉ R
∴ यह सममित नहीं है।
लेकिन संक्रामक स्थिति को अस्वीकृत करने के लिए कोई प्रति-उदाहरण नहीं है।
∴ यह संक्रामक है।
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो A पर संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
अवधारणा:
यदि A एक समुच्चय है और R, A पर परिभाषित एक संबंध है
R स्वतुल्य है: a, a से संबंधित है। ∀ a ∈ A
R सममित है: यदि a, b से संबंधित है, तो b, a से संबंधित है। ∀ a, b ∈ A
R संक्रामक है: यदि a, b से संबंधित है और b, c से संबंधित है तो a, c से संबंधित है। ∀ a, b, c ∈ A
गणना:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
1. स्वतुल्य:
मान लीजिए 1 ∈ A लेकिन (1, 1) ∉ R .
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
2. सममिति:
माना 2, 3 ∈ A और (2, 3) ∈ R लेकिन (3, 2) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।
3. संक्रामक:
मान लीजिए 2 , 3, 4 ∈ A और
(2, 3) और (3, 4) ∈ R फिर (2, 4 ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।
अतः R केवल संक्रामक है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Transitive Relations Question 7:
यदि समुच्चय {1, 2, 3} पर एक संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया जाए, तो R है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 7 Detailed Solution
संकल्पना:
स्वतुल्य संबंध: संबंध स्वतुल्य होता है, यदि (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A होता है।
सममित संबंध: संबंध सममित होता है, यदि (a, b) ∈ R, तब (b, a) ∈ R होता है।
संक्रामक संबंध: संबंध संक्रामक होता है, यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तब (a, c) ∈ R होता है।
यदि संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, तो इसे तुल्यता संबंध के रूप में जाना जाता है।
स्पष्टीकरण:
माना A = {1, 2, 3}
संबंध R को R = {(1, 2)} द्वारा परिभाषित किया गया है।
चूँकि, (1, 1) ∉ R
∴ यह स्वतुल्य नहीं है।
चूँकि, (1, 2) ∈ R लेकिन (2, 1) ∉ R
∴ यह सममित नहीं है।
लेकिन संक्रामक स्थिति को अस्वीकृत करने के लिए कोई प्रति-उदाहरण नहीं है।
∴ यह संक्रामक है।
Transitive Relations Question 8:
मान लीजिए R1 और R2 दो संबंध हैं जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं:
R1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∈ Q}
और R2 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∉ Q} है। तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 8 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
मान लीजिए a = 1 + √2, b = 1 - √2 तथा c = 2√2 है। तब,
a2 + b2 = 6, ∈Q, b2 + c2 = 3 ∈ Q लेकिन a2 + c2 = 3 + 4√2 ∉ Q
⇒ (a, b) ∈ R 1 और (b, c) ∈ R 1 लेकिन (a, c) ∉ R 1
∴ R1 संक्रामक नहीं है।
अब, मान लीजिए x = 1 + √2, y = √2 और z = 1 - √2 है। तब,
x2 + y2 = 5 + 2√2 ∉ Q, y2 + z2 = 5 - 2√2 ∉ Q
लेकिन x2 + z2 = 6 ∈ Q
⇒ (x, y) ∈ R2, (y, z) ∈ R2 परंतु (x, z) ∉ R2
∴ R2 संक्रामक नहीं है।
Transitive Relations Question 9:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो A पर संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)} है:
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 9 Detailed Solution
दिया गया है:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
अवधारणा:
यदि A एक समुच्चय है और R, A पर परिभाषित एक संबंध है
R स्वतुल्य है: a, a से संबंधित है। ∀ a ∈ A
R सममित है: यदि a, b से संबंधित है, तो b, a से संबंधित है। ∀ a, b ∈ A
R संक्रामक है: यदि a, b से संबंधित है और b, c से संबंधित है तो a, c से संबंधित है। ∀ a, b, c ∈ A
गणना:
यदि A = {1, 2, 3, 4, 5}, तो संबंध R = {(2, 3), (3, 4), (2, 4)}
1. स्वतुल्य:
मान लीजिए 1 ∈ A लेकिन (1, 1) ∉ R .
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
2. सममिति:
माना 2, 3 ∈ A और (2, 3) ∈ R लेकिन (3, 2) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।
3. संक्रामक:
मान लीजिए 2 , 3, 4 ∈ A और
(2, 3) और (3, 4) ∈ R फिर (2, 4 ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।
अतः R केवल संक्रामक है।
अतः विकल्प (1) सही है।
Transitive Relations Question 10:
मान लीजिए R1 और R2 दो संबंध हैं जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं:
R1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∈ Q}
और R2 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 ∉ Q} है। तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Transitive Relations Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
मान लीजिए a = 1 + √2, b = 1 - √2 तथा c = 2√2 है। तब,
a2 + b2 = 6, ∈Q, b2 + c2 = 3 ∈ Q लेकिन a2 + c2 = 3 + 4√2 ∉ Q
⇒ (a, b) ∈ R 1 और (b, c) ∈ R 1 लेकिन (a, c) ∉ R 1
∴ R1 संक्रामक नहीं है।
अब, मान लीजिए x = 1 + √2, y = √2 और z = 1 - √2 है। तब,
x2 + y2 = 5 + 2√2 ∉ Q, y2 + z2 = 5 - 2√2 ∉ Q
लेकिन x2 + z2 = 6 ∈ Q
⇒ (x, y) ∈ R2, (y, z) ∈ R2 परंतु (x, z) ∉ R2
∴ R2 संक्रामक नहीं है।