मान लीजिए S सभी पूर्णांकों को दर्शाता है, जो ‘aRb यदि ab ≥ 0 है, जहाँ a, b ∈ S है’ के रूप में S पर एक संबंध R को परिभाषित करता है। तो R निम्न में से क्या है?

संकल्पना:

1. कर्मकर्त्ता: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है। 

• यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R कर्मकर्त्ता होता है। 

2. सममित: यदि कोई भी एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित होता है, तो दूसरा तत्व पहले तत्व से संबंधित होता है। 

• यदि सभी x के लिए y ∈ A है और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित होता है। 

3. संक्रामक: यदि कोई भी एक तत्व दूसरे तत्व से संबंधित होता है और दूसरा तत्व तीसरे तत्व से संबंधित होता है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व के साथ संबंधित होता है। 

• यदि सभी x के लिए z ∈ A है, यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक होता है। 

4. यदि A अरिक्त और R कर्मकर्त्ता, सममित और संक्रामक है, तो R एक समानता संबंध है। 

गणना:

S = सभी पूर्णांकों का समुच्चय और R = {(a, b), a, b ϵ  S और ab \(≥\) 0}

कर्मकर्त्ता के लिए:

aRa = a.a = a² ≥ 0, इसलिए यह कर्मकर्त्ता है। 

सममित के लिए:

aRb = ab ≥ 0 और bRa = ba ≥  0, इसलिए संबंध सममित है। 

संक्रामक के लिए:

सभी पूर्णांकों के लिए, यदि ab ≥ 0, bc ≥ 0, तो सभी स्थितियों के लिए ac ≥ 0 सत्य नहीं है।

उदाहरण के लिए,

अगर a = -1, b = 0, और c = 1

फिर, ab  ≥ 0, bc ≥ 0 लेकिन ac = -1 के लिए जो ac 0 को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए R सकर्मक नहीं है।

सभी पूर्णांकों के लिए a.a ≥ 0. यदि ab ≥ 0, bc ≥  0 है, तो ac ≥ 0 भी है। 

तो, संबंध स्वतुल्य है, सममित है लेकिन सकर्मक नहीं है।

अतः विकल्प (2) सही है।