Ellipse MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Ellipse - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(2 { b}=\frac{1}{4}(2{ae}) \)

\(\Rightarrow 4 {b}= {ae} \)

\(\Rightarrow 16 {b}^{2}={a}^{2} {e}^{2} \)

\(\Rightarrow 16 {a}^{2}\left(1- {e}^{2}\right)={a}^{2} {e}^{2} \)

\(\Rightarrow 16-16 {e}^{2}= {e}^{2} \)

\(\Rightarrow {e}^{2}=\frac{16}{17} \)

\(\Rightarrow {e}=\frac{4}{\sqrt{17}} \)

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है

संप्रत्यय:

दीर्घवृत्त समीकरण:

• दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ a अर्ध-दीर्घ अक्ष है और b अर्ध-लघु अक्ष है।
• वृत्त का समीकरण दीर्घवृत्त का एक विशेष स्थिति है जहाँ a = b।
• दीर्घवृत्त पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी दूरी सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा:

• दो बिंदुओं \( P(x_1, y_1) \) और \( Q(x_2, y_2) \) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ढलान-अंतःखंड रूप द्वारा दिया जाता है:
• \( y - y_1 = m(x - x_1) \), जहाँ m रेखा का ढलान है।

गणना:

मान लीजिये कि \( P(x_1, y_1) \) और \( Q(x_2, y_2) \) दीर्घवृत्त पर दो अलग-अलग बिंदु हैं:

\( P\left(\frac{3}{9}, 1\right) \) और \( Q\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right) \).

P और Q को मिलाने वाली रेखा का समीकरण है:

\( y - 1 = \frac{-\sqrt{3}}{2} \left(x - \frac{3}{2}\right) \)

x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन के लिए हल करना:

\( N_2(x_2, 0) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) \)

P और Q को मिलाने वाली रेखा का समीकरण है:

\( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3}{2} \)

उत्तर विकल्प:

A) P और Q को मिलाने वाली रेखा का समीकरण \( y = 2x + 3y - 3(1 + \sqrt{3}) \) है, जो सत्य है।

B) P और Q को मिलाने वाली रेखा का समीकरण \( y = 2x + 3y - 3(1 + \sqrt{3}) \) है, जो असत्य है।

C) \( N_2(x_2, 0) = \left( \frac{3}{2}, 0 \right) \) सत्य है।

D) \( N_2(x_2, 0) = \left( 9 \times \frac{1}{2} \right) \) असत्य है।

निष्कर्ष:

सही उत्तर है: विकल्प A और विकल्प C सत्य हैं, उपरोक्त गणनाओं के अनुसार।

इसलिए, \( |XY| = 3 \times \sqrt{3} \) का अंतिम मान सही है।

गणना:

दिया गया है कि दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1\) है। 

रेखा AB पर किसी भी बिंदु को मान लें

⇒ \(Q\bigl(\sqrt{5}+r\cosθ,\;\sqrt{5}+r\sinθ\bigr).\)

दीर्घवृत्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ \(25\bigl(\sqrt{5}+r\cosθ\bigr)^2\;+\;36\bigl(\sqrt{5}+r\sinθ\bigr)^2 =900.\)

सरल करने पर,

⇒ \(r^2\bigl(25\cos^2θ + 36\sin^2θ\bigr)\;+\;2\sqrt{5}\,r\,(25\cosθ + 36\sinθ)-595=0.\)

इसके मूल \(r = \pm PA,\pm PB\) हैं

\(PA\cdot PB=\frac{|-595|}{25\cos^2θ + 36\sin^2θ}=\frac{595}{25\cos^2θ + 36\sin^2θ}. \)

⇒ \(PA\cdot PB = \frac{595}{25( 1- sin^2θ )+ 36 sin^2θ}= \frac{595}{25+11\sin^2θ}.\)

यह अधिकतम होता है जब sin²θ = 0 है,

इसका अर्थ है कि रेखा AB x-अक्ष के समांतर होनी चाहिए

⇒ \(y_A=y_B=\sqrt5.\)

दीर्घवृत्त के समीकरण में \(y=\sqrt5\) रखने पर

\(\frac{x^2}{36} + \frac{(\sqrt5)^2}{25} = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{36} + \frac{5}{25}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{36}=\frac{4}{5}\)

\(\;\Longrightarrow\; x^2=\frac{36\cdot4}{5} \;\Longrightarrow\; x=\pm\frac{12}{\sqrt5}. \)

इसलिए,

\(A\!\bigl(-\tfrac{12}{\sqrt5},\sqrt5\bigr),\quad B\!\bigl(\tfrac{12}{\sqrt5},\sqrt5\bigr),\quad P\!\bigl(\sqrt5,\sqrt5\bigr).\)

⇒\(PA^2 =\Bigl(-\tfrac{12}{\sqrt5}-\sqrt5\Bigr)^2 +(\sqrt5-\sqrt5)^2 =\Bigl(\tfrac{-17}{\sqrt5}\Bigr)^2 =\frac{289}{5}, \)

⇒ \(PB^2 =\Bigl(\tfrac{12}{\sqrt5}-\sqrt5\Bigr)^2 +(\sqrt5-\sqrt5)^2 =\Bigl(\tfrac{7}{\sqrt5}\Bigr)^2 =\frac{49}{5}. \)

⇒ \(PA^2 + PB^2 = \frac{289}{5}+\frac{49}{5} = \frac{338}{5}\)

⇒ \(5\bigl(PA^2+PB^2\bigr) = 338.\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

PS + PS' = 2 × 3 √2

⇒ b² = a² (1 - e²) ⇒ 9 = 18( 1 - e²)

⇒ e = \(\frac{1}{\sqrt2}\)

नियता x = \(\frac{a}{e} = \frac{3\sqrt2}{\frac{1}{\sqrt2}{}} = 6\)

⇒ PS.PS' = \(PS.PS' = | \frac{1}{\sqrt{2}} (3\sqrt{2} \cos \theta - 6)|\)

= \(\frac{1}{2}| 18 cos^2\theta - 36|\)

⇒ (PS. PS')_{अधिकतम}  = 18 और (PS .PS')_{न्यूनतम}  = 9

योग = 27

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

4x2 + 9y2 = 1

यहाँ a = 1/2 और b = 1/3

अब

e = \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt5}{3}\)

नाभियाँ = (±ae, 0)

= ( ± \((\frac{1}{2}\frac{\sqrt5}{3},0)\)

= (± \(\frac{\sqrt5}{6},0\))

इस प्रकार, P(x, y) दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है

⇒ PQ + PR = 2a = 2 x 1/2 = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का समीकरण: \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)​

उत्केंद्रता​ (e) = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{a^2}}\)

जहाँ, शीर्ष = (± a, 0) और केंद्र-बिंदु = (± ae, 0)

गणना:

यहाँ, दीर्घवृत्त का शीर्ष (± 5, 0) और केंद्र-बिंदु (±4, 0) है। 

इसलिए, a = ±5 ⇒ \(a^2=25\) और 

ae = 4 ⇒ e = 4/5

अब, 4/5 = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{5^2}}\)

\(⇒ \rm\frac{16}{25}=\rm\frac{25-b^2}{25}\\⇒ 16=25-b^2 \\⇒ b^2=9 \)

∴ दीर्घवृत्त का समीकरण = \(\rm \frac {x^2}{25} + \frac {y^2}{9} = 1\)

 अतः विकल्प (1) सही है।  

अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) है

नाभिलंब की लंबाई , L.R = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) , यदि  b > a

गणना:

\(\rm\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{49}= 1\) ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) है

⇒ L.R = \(\rm\frac{2\times5^{2}}{7}\) =  \(\rm\frac{50}{7}\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा:

बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को \(\rm \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

x = 3 पर, हमारे पास निम्न होगा:

\(\rm \frac{3^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{y^2}{16}={16\over25}\)

⇒ y = ± \(16\over5\)

उपरोक्त सूत्र से, हम कह सकते हैं कि \(\left(3,{16\over5}\right)\) और \(\left(3,{-16\over5}\right)\) पर दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) के लिए स्पर्श रेखा का आवश्यक समीकरण (क्रमशः) निम्न है

\(\rm \frac{x(3)}{25}+\frac{y\left({16\over5}\right)}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{3x}{25}+\frac{y}{5}=1\)

⇒ 3x + 5y = 25

या

\(\rm \frac{x(3)}{25}+\frac{y\left({-16\over5}\right)}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{3x}{25}-\frac{y}{5}=1\)

⇒ 3x - 5y = 25

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:

\(\rm {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\), a > b

जहाँ 2a और 2b क्रमशः दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लम्बाई है और केंद्र (0, 0) है। 

उत्केंद्रता = \(\rm \sqrt{(a^2-b^2)}\over a\)

लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm 2b^2 \over a\)

केंद्र से केंद्र-बिंदु की दूरी = \(\rm \sqrt{a^2-b^2}\)

गणना:

दिया गया दीर्घवृत्त \(\rm {x^2\over100}+{y^2\over64} = 1\)  है। 

a2 = 100 ⇒ a = 10

और b2 = 64 ⇒ b = 8

उत्केंद्रता (e)

⇒ e = \(\rm \sqrt{100-64}\over 10\)

⇒ e = \(\rm \sqrt{36}\over 10\)

⇒ e = \(\rm 6\over 10\)

⇒ e = 0.6

अब नाभियों के बीच की दूरी = 2ae

= 2 × 10 × 0.6

∴ नाभियों के बीच की दूरी  = 12

संकल्पना:

गणना:

25x² + 16y² = 400

\( \Rightarrow \frac{{25{{\rm{x}}^2}}}{{400}} + \frac{{16{{\rm{y}}^2}}}{{400}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{16}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{25}} = 1\)

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: a = 4 ; b = 5

चूँकि ( a < b )

संकल्पना:

दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) के नाभिलंब की लम्बाई \(\rm \frac{2a^2}{b}\) के बराबर है (a < b)। 

गणना:

दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) में लिखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt3)^2}=1\)

∴ a = 2 और b = 2√3

यहाँ a < b

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2a^2}{b}\) = \(\rm \frac{2(2^2)}{2\sqrt3}\) = \(\rm \frac{4}{\sqrt3}\)

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

यहाँ, फोकस के निर्देशांक (±ae, 0) हैं।

साथ ही, हमारे पास b2 = a2(1 - e2) है, जहां e उत्केन्द्रता है।

गणना:

चूँकि फोकस के निर्देशांक (±3, 0) हैं।

⇒ ae = 3

⇒ a × (1/3) = 3      (∵ e = 1/3)

⇒ a = 9

अब, b2 = a2(1 - e2)

\(⇒ b^{2}=81\left ( 1-\frac{1}{9} \right )\)

⇒ b2 = 72

एक दीर्घवृत्त के सामान्य समीकरण में a2 और b² का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)

इसलिए, दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\) है।

धारणा:

1. वृत्त का समीकरण x2 + y2 = r2

2. दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\; + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

3. परवलय का समीकरण y2 = 4ax, x2 = 4ay

4. अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \;\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

5. यदि a2 = b2 तब अतिपरवलय को आयताकार अतिपरवलय कहा जाता है और x2 − y2 = a2 आयताकार अतिपरवलय का सामान्य रूप है|

गणना:

दिया हुआ:

x = 3(cost + sint)

y = 4(cost - sint) 

\({\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 1 + sin2t\) ----(1)

\({\left( {\frac{y}{4}} \right)^2} = 1 - sin2t\) ----(2)

समीकरण 1 और 2 जोड़कर;

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 2\)  

इसलिए, दिया गया वक्र एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 – b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{75} = 1\)

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a² = 100 और b² = 75

∴ a = 10

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण को:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

एक दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु के केंद्रबिंदु की दूरी का योग स्थिरांक होता है और यह दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लम्बाई के बराबर होता है। 

यदि a > b है, तो PS + PS' = 2a = प्रमुख अक्ष है। 

यदि b > a है, तो PS + PS' = 2b = प्रमुख अक्ष है। 

गणना:

दिया गया है:

दीर्घवृत्त का समीकरण \(\rm \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) है। 

यहाँ a² = 4 और b² = 9

⇒ a = 2 और b = 3

इसलिए प्रमुख अक्ष लम्बाई 2b वाले y - अक्ष पर है। 

अब, केंद्रबिंदु की दूरी का योग = 2b = 2 × 3 = 6 इकाई