Distance between points MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance between points - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

मान लीजिए \( \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{7-2}{12}=t \)

रेखा पर कोई भी बिंदु प्राचलिक रूप में \( (3t+2, 4t-1 , 12t+2) \) लिखा जा सकता है।

प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, आइए बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

\( \Rightarrow 3t+2 -4t+1+12t+2 = 16 \)

\( \Rightarrow 11t = 11 \)

\( \Rightarrow t =1 \)

इसलिए, प्रतिच्छेद बिंदु \( (5,3,14) \) है।

\( (5,3,14) \) से \( (1,0,2) \) की दूरी \( = \sqrt { 16+9+144 } = 13 \)

अतः विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:

• रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन:
  • 3D में एक रेखा को सममित रूप में लिखा जा सकता है: (x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c
  • 3D में एक समतल का सामान्य रूप है: Ax + By + Cz + D = 0
  • प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, रेखा के प्राचलिक समीकरणों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

गणना:

दी गई रेखा: (x + 1) = (y + 3)/3 = (−z + 2)/2

मान लीजिए कि उभयनिष्ठ मान = t

⇒ x = t − 1

⇒ y = 3t − 3

⇒ z = 2 − 2t

दिया गया समतल: 3x + 4y + 5z = 10

x, y, z के मानों को समतल में प्रतिस्थापित करें:

⇒ 3(t − 1) + 4(3t − 3) + 5(2 − 2t) = 10

⇒ 3t − 3 + 12t − 12 + 10 − 10t = 10

⇒ (3t + 12t − 10t) + (−3 −12 + 10) = 10

⇒ 5t − 5 = 10

⇒ 5t = 15

⇒ t = 3

अब, निर्देशांक ज्ञात करें:

⇒ x = 3 − 1 = 2

⇒ y = 3x3 − 3 = 6

⇒ z = 2 − 2x3 = −4

∴ प्रतिच्छेदन बिंदु (2, 6, −4) है

गणना

रेखा AB का समीकरण:

\( \frac{x-4}{12}=\frac{x+6}{4}=\frac{z+2}{6} \)

P से A की दूरी 21 है। 

⇒ \( \frac{x-4}{\frac{6}{7}}=\frac{y+6}{\frac{2}{7}}=\frac{z+2}{\frac{3}{7}}=21\)

⇒ \(\left(21 \times \frac{6}{7}+4, \frac{2}{7} \times 21-6, \frac{3}{7} \times 21-2\right)\)

⇒ (22, 0, 7) = (a, b, c)

बिंदुओं P( 22, 0, 7 ) और Q(4, –12, 3) के बीच की दूरी

\(\Rightarrow \sqrt{324+144+16}=\) 22

प्रयुक्त अवधारणा:

कार्तीय निर्देशांक पद्धति में दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी जानने के लिए, आप दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

दूरी (d) = \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

व्याख्या:

आपके मामले में, बिंदु (2, 3) और (4, 1) हैं, इसलिए आप दूरी सूत्र में इन निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं:

⇒ दूरी (d) = \(\sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2}\)

⇒ दूरी (d) = \(\sqrt{(2)^2 + (-2)^2}\)

⇒ दूरी (d) = √(4 + 4)

⇒ दूरी (d) = √8

⇒ दूरी (d) = 2√2

अतः बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी 2√2 इकाई है।​

प्रयुक्त अवधारणा:

कार्तीय तल में किसी भी बिंदु के लिए, इसके निर्देशांक (x, y) हैं जहां x-निर्देशांक आपको क्षैतिज स्थिति (y-अक्ष से दूरी) बताता है, और y-निर्देशांक आपको ऊर्ध्वाधर स्थिति (x- अक्ष से दूरी) बताता है)।

व्याख्या:

x-निर्देशांक को भुज और y-निर्देशांक को कोटि कहा जाता है।

अतः x-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को कोटि कहा जाता है।

संकल्पना:

यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\( \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया गया है: A (2, 0, 3) और B (- 4, a, - 1) एक 3D स्थान में दो बिंदु इस प्रकार हैं जिससे उनके बीच की दूरी 8 इकाई है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\( \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

संकल्पना:

यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2)  है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया गया है: P (6, 4, - 3) और Q (2, - 8, 3) एक 3D अंतराल में दो बिंदु हैं। 

यहाँ, हमें दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2)  है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

⇒ \(d = \sqrt {(-4)^2+(-12)^2+(6)^2}\)

संकल्पना:

बिंदुओं (x1, y1, z1) और (x2, y2, z2) के बीच की दूरी का सूत्र है,

= \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \)

व्याख्या:

हमें बिंदु P (2m, 3m, 4m) और x-अक्ष के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

अब,

x-अक्ष में सामान्य बिंदु को (x, 0, 0) के रूप में दर्शाया जा सकता है, (चूंकि बिंदु x-अक्ष पर है, इसके y और z निर्देशांक 0 होंगे।)

⇒ हमें बिंदु P (2m, 3m, 4m) और (2m, 0, 0) के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

इस प्रकार,

बिंदु P (2m, 3m, 4m) और x-अक्ष के बीच की दूरी =

बिंदु P (2m, 3m, 4m) और (2m, 0, 0) के बीच की दूरी 

\(\Rightarrow \sqrt{(2m-2m)^2+(3m-0)^2+(4m-0)^2} \)

\(⇒ \sqrt{9m^2+16m^2} \)

\(⇒ \sqrt{25m^2}\)

⇒ 5m

अवधारणा :

• बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

गणना :

मान लीजिए P(x, y, z) वह बिंदु है जो बिंदुओं A(3, 4, -5) और B(-2, 1, 4) से समदूरस्थ है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

पहले बिंदु P और A के बीच की दूरी ज्ञात करें

⇒ \(PA = \sqrt {(3- x)^2 + (4 - y)^2 + (-5 - z)^2}\)

इसी तरह बिंदु P और B के बीच की दूरी ज्ञात करें

⇒ \(PB = \sqrt {(-2- x)^2 + (1 - y)^2 + (4 - z)^2}\)

∵ PA = PB

⇒ \(\sqrt {(3- x)^2 + (4 - y)^2 + (-5 - z)^2} = \sqrt {(-2- x)^2 + (1 - y)^2 + (4 - z)^2}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (3 - x)2 + (4 - y)2 + (-5 - z)2 = (-2 - x)2 + (1 - y)2 + (4 - z)2

⇒ x2 + y2 + z2 - 6x - 8y + 10z + 50 = x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 8z + 21

⇒ 10x + 6y - 18z - 29 = 0

अतः, बिंदुओं का समुच्चय जो बिंदु A(3, 4, -5) और B(-2, 1, 4) से समदूरस्थ है इसके द्वारा दिया गया है: 10x + 6y - 18z - 29 = 0

अत: सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

• बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

गणना:

दिया गया है: A(2, - 1, 3) और B(-2, 1, 3) एक 3D तल में दो बिंदु हैं।

मान लीजिए d दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी को दर्शाता है।

जैसा कि हम जानते हैं कि बिंदु A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:\(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

यहाँ, x1 = 2, y1 = - 1, z1 = 3, x2 = - 2, y2 = 1 और z2 = 3.

⇒ \(d = \sqrt {(-2 - 2)^2 + (1 + 1)^2 + (3 - 3)^2}\)

⇒ \(d = 2\sqrt 5\)

अत: सही विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:
• \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

गणना:

दिया गया है: बिंदुओं A(- 1, 3, - 4) और B(1, - 3, a) के बीच की दूरी \(2\sqrt{26}\) है।

मान लीजिए d दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी को दर्शाता है।

जैसा कि हम जानते हैं कि बिंदु A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:

\(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

यहाँ, x1 = -1, y1 = 3, z1 = -4, x2 = 1, y2 = - 3, z2 = a और \(d = 2\sqrt{26}\)

⇒ \(2\sqrt {26} = \sqrt {(1+1)^2 + (-3 - 3)^2 + (a + 4)^2}\)

⇒ \(2\sqrt {26} = \sqrt {4 + 36 + (a + 4)^2}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ 104 = 40 + a2 + 8a + 16

⇒ a2 + 8a - 48 = 0

⇒ a = 4, - 12

अत: सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया गया है: P (6, 4, - 3) और Q (2, - 8, 3) एक 3D अंतराल में दो बिंदु हैं। 

यहाँ, हमें दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

दिया गया:

बिंदु 1 = (2, -1, 3)

बिंदु 2 = (-5, 2, 1)

सूत्र:

निर्देशांक (x1, y1, z1) और (x2, y2 , z2) वाले दो बिंदुओं के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:

\(d = \sqrt{[(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2]}\)

हल:

d = √[(2 - (-5))2 + ((-1) - 2)2 + (3 - 1)2]

= √(49 + 9 + 4)

= 62 इकाइयां

नोट: आधिकारिक पेपर में दिए गए विकल्प गलत थे। हमने विकल्प को सही कर दिया है।

संकल्पना:

यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2)  है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

गणना:

दिया गया है: A (1, 2, 5) और B (3, - 5, 0) एक 3D अंतराल में दो बिंदु हैं। 

यहाँ, हमें दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) है, तो बिंदु A और B के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: by: \(\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \)

दिया गया है:

दो बिंदु (0, 5, 5) और (5, 8, 6) हैं।

अवधारणा:

दो बिंदुओं \(\rm (x_1,y_2,z_3) and(x_2,y_2,z_3)\) बीच की दूरी है,

\(\rm \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)

गणना:

मूलबिंदु (0, 0, 0) से बिंदु (0, 5, 5) की दूरी है,

\(\rm d_1=\sqrt{(0)^2+(5)^2+(5)^2}\)

\(\rm d_1=5\sqrt{2}\)

मूलबिंदु (0, 0, 0) से बिंदु (5, 8, 6) की दूरी है,

\(\rm d_2=\sqrt{(5)^2+(8)^2+(6)^2}\)

\(\rm d_2=5\sqrt5\)

अब मूलबिंदु से बिंदु (0, 5, 5) और बिंदु (5, 8, 6) की दूरियों का योग है,

\(\rm d=d_1+d_2\)

\(\rm d=5\sqrt{2}+5\sqrt{5}\)

\(\rm d=5(\sqrt{2}+\sqrt{5})\)

अतः विकल्प (4) सही है।