Distance between parallel lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Distance between parallel lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

दो रेखाओं $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{p}$ और $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}+\mu \overrightarrow{q}$ के बीच न्यूनतम दूरी निम्न द्वारा दी गई है

$d=\left|\frac{(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|}\right|$

गणना:

दी गई रेखाएँ L₁ : $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$

L1 को सदिश रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है $\overrightarrow{r}=(2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k})+\lambda (3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$

साथ ही, L₂ : $\frac{x-6}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+8}{0}$

L₂ को सदिश रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है $\overrightarrow{r}=(6\hat{i}+\hat{j}-8\hat{k})+\mu (3\hat{i}-2\hat{j})$

यहाँ, $\overrightarrow{a}=2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}$ ,

$\overrightarrow{b}=6\hat{i}+\hat{j}-8\hat{k}$ ,

$\overrightarrow{p}=3\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ ,

$\overrightarrow{q}=3\hat{i}-2\hat{j}$

अब, $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 3& 2& 2\\ 3& -2& 0\end{array}\right|$

⇒ $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}=4\hat{i}+6\hat{j}-12\hat{k}=2(2\hat{i}+3\hat{j}-6\hat{k})$

अब, $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=4\hat{i}+2\hat{j}-14\hat{k}=2(2\hat{i}+\hat{j}-7\hat{k})$

तो, $(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q})$ = 4[4 + 3 + 42] = 196

और $|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}|=2\sqrt{4+9+36}=14$

∴ दी गई रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है

$d=\left|\frac{196}{14}\right|$

= 14

∴ सबसे छोटी दूरी 14 है।

दिया गया है:

समांनातर रेखाएं y - 8 = 0 और y + 1 = 0 हैं। 

प्रयुक्त सूत्र:

रेखा 1: ax + by = c₁

रेखा 2: ax + by = c2

जहां रेखा 1 और रेखा 2 एक दूसरे के समानांतर हैं।

d = $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

d, दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी है।

गणना:

रेखा 1: 0x + y = 8

रेखा 2: 0x + y = -1

अब, रेखाओं के समीकरण की उसके मानक रूप से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

a = 0, b = 1, c₁ = 8, c₂ = -1

जहां रेखा 1 और रेखा 2 एक दूसरे के समानांतर हैं।

इसलिए,

⇒d = $\frac{|8-(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2}}$

⇒ d = $\frac{9}{\sqrt{1}}$

⇒ d = 9

∴ दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 9 है।

अवधारणा:

रेखा $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a_1}+\lambda \overrightarrow{b_1}$ और  $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a_2}+\mu \overrightarrow{b_2}$ के बीच की दूरी d = $\left|\frac{(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})}{|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|}\right|$ के द्वारा दी गई है।

गणना:

दी गई रेखा है, $\frac{x-2}{1}$ = $\frac{y-1}{2}$ = $\frac{z+1}{2}$ 

$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x1 = 2, y1 = 1, z1 = -1 और a1 = 1, b1 = 2, c1 = 2

∴ $\overrightarrow{a_1}=x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{a_1}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

और, $\overrightarrow{b_1}=a_1\hat{i}+b_1\hat{j}+c_1\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{b_1}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$

अब, z-अक्ष के समीकरण $\frac{x}{0}$ = $\frac{y}{0}$ = $\frac{z}{1}$ की  

$\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 

x₂ = 0, y₂ = 0, z₂ = 0 और a₂ = 0, b₂ = 0, c₂ = 1

∴ $\overrightarrow{a_2}=x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{a_2}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}$

और, $\overrightarrow{b_2}=a_2\hat{i}+b_2\hat{j}+c_2\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{b_1}=\hat{k}$

अब, $\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}=-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}$ = $\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 2& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$ = $2\hat{i}-\hat{j}$

 $\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}$ = $|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|$ का माप = $\sqrt{2^2+(-1{)}^2}$ = $\sqrt{5}$

साथ ही, $(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})$ = $(2\hat{i}-\hat{j})\cdot (-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ = -4 + 1 = -3

∴ दूरी, d = $\left|\frac{(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})}{|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|}\right|$

= $\left|\frac{-3}{\sqrt{5}}\right|$

= $\frac{3}{\sqrt{5}}$

∴ z-अक्ष और रेखा $\frac{x-2}{1}$ = $\frac{y-1}{2}$ = $\frac{z+1}{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3}{\sqrt{5}}$ है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त: यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके समीकरणों के सामान्य रूप केवल स्थिर पदों में भिन्न होंगे और उनके पास x और y के समान गुणांक होंगे।

अर्थात्,

ax + by + c1 = 0      ----(a)

ax + by + c2 = 0      ----(b)

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी: दो समानांतर रेखाओं ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी d निम्न द्वारा दी गई है,

$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ -- --(ए)

गणना:

हमारे पास है,

 x + 2y = 5      ----(1)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, हम प्राप्त करते हैं

a1 = 1, b1 = 2, c1 = -5

और, 2x + 4y = 11

⇒ x + 2y = 11/2      ----(2)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, ,हम प्राप्त करते हैं

a2 = 1, b2 = 2, c2 = -11/2

इस प्रकार, समीकरण (1) और (2) में x और y के गुणांक समान हैं।

अर्थात्, (a1 = a2) और (b1 = b2)

अत: ये समांतर रेखाएँ हैं।

अब, हमारे पास  a = 1, b = 2, c1 = -5, और c2 = -11/2 है

$\Rightarrow d=\frac{|-5-(-11/2)|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ [(A) का उपयोग करना)]

$\Rightarrow d=\frac{|-5+11/2|}{\sqrt{1+4}}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

इसलिए, सीधी रेखाओं x + 2y = 5 और 2x + 4y = 11 के बीच की दूरी ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}}$ है।

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c1 और ax + by + c2 के बीच की दूरी को $|\frac{{\mathrm{c}}_2-{\mathrm{c}}_1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}|$ द्वारा ज्ञात किया गया है 

गणना:

यहाँ, दी गयी सीधी रेखाएं 6x - 4y = 5 और 3x - 2y = 4 हैं। 

3x - 2y = 4 को 2 से गुणा करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

6x - 4y = 8 

⇒ 6x - 4y - 8 = 0

इसलिए, 6x - 4y - 5 = 0 और 6x - 4y - 8 = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

d = $|\frac{-8+5}{\sqrt{6^2+4^2}}|=\frac{3}{\sqrt{52}}$

$=\frac{3}{2\sqrt{13}}$

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c1 और ax + by + c2 के बीच की दूरी को $|\frac{{\mathrm{c}}_2-{\mathrm{c}}_1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}|$ द्वारा ज्ञात किया गया है 

गणना:

यहाँ, दी गयी सीधी रेखाएं 6x - 4y = 5 और 3x - 2y = 4 हैं। 

3x - 2y = 4 को 2 से गुणा करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

6x - 4y = 8 

⇒ 6x - 4y - 8 = 0

इसलिए, 6x - 4y - 5 = 0 और 6x - 4y - 8 = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

d = $|\frac{-8+5}{\sqrt{6^2+4^2}}|=\frac{3}{\sqrt{52}}$

$=\frac{3}{2\sqrt{13}}$

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$d=\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

गणना:

यहाँ, हमें समानांतर रेखा 4x - 3y + 5 = 0 और 4x - 3y + 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

x + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के साथ दी गयी रेखा के समीकरण की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ a = 4, b = - 3, c1 = 5 औरc2 = 7.

चूँकि हम जानते हैं कि, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$d=\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

⇒ $d=\left|\frac{5-7}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}\right|=\frac{2}{5}$

इसलिए, दिए गए समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 2/5 है। 

अतः विकल्प C सही उत्तर है।           

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त: यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके समीकरणों के सामान्य रूप केवल स्थिर पदों में भिन्न होंगे और उनके पास x और y के समान गुणांक होंगे।

अर्थात्,

ax + by + c1 = 0      ----(a)

ax + by + c2 = 0      ----(b)

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी: दो समानांतर रेखाओं ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी d निम्न द्वारा दी गई है,

$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ -- --(ए)

गणना:

हमारे पास है,

 x + 2y = 5      ----(1)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, हम प्राप्त करते हैं

a1 = 1, b1 = 2, c1 = -5

और, 2x + 4y = 11

⇒ x + 2y = 11/2      ----(2)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, ,हम प्राप्त करते हैं

a2 = 1, b2 = 2, c2 = -11/2

इस प्रकार, समीकरण (1) और (2) में x और y के गुणांक समान हैं।

अर्थात्, (a1 = a2) और (b1 = b2)

अत: ये समांतर रेखाएँ हैं।

अब, हमारे पास  a = 1, b = 2, c1 = -5, और c2 = -11/2 है

$\Rightarrow d=\frac{|-5-(-11/2)|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ [(A) का उपयोग करना)]

$\Rightarrow d=\frac{|-5+11/2|}{\sqrt{1+4}}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

इसलिए, सीधी रेखाओं x + 2y = 5 और 2x + 4y = 11 के बीच की दूरी ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}}$ है।

संकल्पना:

दो समानांतर रेखा ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी $\frac{|{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2|}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}$ है। 

गणना:

हमारे पास 3x – 4y + 12 = 0 और 3x – 4y = 6⇒ 3x – 4y - 6 = 0 हैं। 

∴ उनके बीच की दूरी = $\frac{|12-(-6)|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

= 18/5

माना कि, दी गयी रेखाओं के बीच में रेखा का समीकरण 3x - 4y + c = 0 है। 

चूँकि यह मध्य में है, तो रेखा 3x – 4y + 12 = 0 से दूरी $\frac{\frac{18}{5}}{2}=\frac{9}{5}$होगी। 

अब, 9/5 = $\frac{|12-\mathrm{c}|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

⇒ 12 - c = 9

⇒ c = 3

अतः विकल्प (4) सही है।  

दिया गया है:

समांनातर रेखाएं y - 8 = 0 और y + 1 = 0 हैं। 

प्रयुक्त सूत्र:

रेखा 1: ax + by = c₁

रेखा 2: ax + by = c2

जहां रेखा 1 और रेखा 2 एक दूसरे के समानांतर हैं।

d = $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

d, दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी है।

गणना:

रेखा 1: 0x + y = 8

रेखा 2: 0x + y = -1

अब, रेखाओं के समीकरण की उसके मानक रूप से तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

a = 0, b = 1, c₁ = 8, c₂ = -1

जहां रेखा 1 और रेखा 2 एक दूसरे के समानांतर हैं।

इसलिए,

⇒d = $\frac{|8-(-1)|}{\sqrt{0^2+1^2}}$

⇒ d = $\frac{9}{\sqrt{1}}$

⇒ d = 9

∴ दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 9 है।

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c1 और ax + by + c2 के बीच की दूरी को $|\frac{{\mathrm{c}}_2-{\mathrm{c}}_1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}|$ द्वारा ज्ञात किया गया है 

गणना:

यहाँ, दी गयी सीधी रेखाएं 6x - 4y = 5 और 3x - 2y = 4 हैं। 

3x - 2y = 4 को 2 से गुणा करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

6x - 4y = 8 

⇒ 6x - 4y - 8 = 0

इसलिए, 6x - 4y - 5 = 0 और 6x - 4y - 8 = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

d = $|\frac{-8+5}{\sqrt{6^2+4^2}}|=\frac{3}{\sqrt{52}}$

$=\frac{3}{2\sqrt{13}}$

संकल्पना:

समानांतर रेखा ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$d=\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

गणना:

यहाँ, हमें समानांतर रेखा 4x - 3y + 5 = 0 और 4x - 3y + 7 = 0 के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।

x + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के साथ दी गयी रेखा के समीकरण की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ a = 4, b = - 3, c1 = 5 औरc2 = 7.

चूँकि हम जानते हैं कि, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:$d=\left|\frac{c_1-c_2}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$

⇒ $d=\left|\frac{5-7}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}\right|=\frac{2}{5}$

इसलिए, दिए गए समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी 2/5 है। 

अतः विकल्प C सही उत्तर है।           

संकल्पना:

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त: यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके समीकरणों के सामान्य रूप केवल स्थिर पदों में भिन्न होंगे और उनके पास x और y के समान गुणांक होंगे।

अर्थात्,

ax + by + c1 = 0      ----(a)

ax + by + c2 = 0      ----(b)

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी: दो समानांतर रेखाओं ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी d निम्न द्वारा दी गई है,

$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ -- --(ए)

गणना:

हमारे पास है,

 x + 2y = 5      ----(1)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, हम प्राप्त करते हैं

a1 = 1, b1 = 2, c1 = -5

और, 2x + 4y = 11

⇒ x + 2y = 11/2      ----(2)

इसकी तुलना एक सीधी रेखा अर्थात ax + by + c = 0 के मानक समीकरण से की जाती है, ,हम प्राप्त करते हैं

a2 = 1, b2 = 2, c2 = -11/2

इस प्रकार, समीकरण (1) और (2) में x और y के गुणांक समान हैं।

अर्थात्, (a1 = a2) और (b1 = b2)

अत: ये समांतर रेखाएँ हैं।

अब, हमारे पास  a = 1, b = 2, c1 = -5, और c2 = -11/2 है

$\Rightarrow d=\frac{|-5-(-11/2)|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ [(A) का उपयोग करना)]

$\Rightarrow d=\frac{|-5+11/2|}{\sqrt{1+4}}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{2\sqrt{5}}$

इसलिए, सीधी रेखाओं x + 2y = 5 और 2x + 4y = 11 के बीच की दूरी ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{5}}}$ है।

अवधारणा:

रेखा $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a_1}+\lambda \overrightarrow{b_1}$ और  $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a_2}+\mu \overrightarrow{b_2}$ के बीच की दूरी d = $\left|\frac{(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})}{|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|}\right|$ के द्वारा दी गई है।

गणना:

दी गई रेखा है, $\frac{x-2}{1}$ = $\frac{y-1}{2}$ = $\frac{z+1}{2}$ 

$\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x1 = 2, y1 = 1, z1 = -1 और a1 = 1, b1 = 2, c1 = 2

∴ $\overrightarrow{a_1}=x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{a_1}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$

और, $\overrightarrow{b_1}=a_1\hat{i}+b_1\hat{j}+c_1\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{b_1}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$

अब, z-अक्ष के समीकरण $\frac{x}{0}$ = $\frac{y}{0}$ = $\frac{z}{1}$ की  

$\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 

x₂ = 0, y₂ = 0, z₂ = 0 और a₂ = 0, b₂ = 0, c₂ = 1

∴ $\overrightarrow{a_2}=x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{a_2}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}$

और, $\overrightarrow{b_2}=a_2\hat{i}+b_2\hat{j}+c_2\hat{k}$ ⇔ $\overrightarrow{b_1}=\hat{k}$

अब, $\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}=-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$

$\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}$ = $\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& 2& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$ = $2\hat{i}-\hat{j}$

 $\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}$ = $|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|$ का माप = $\sqrt{2^2+(-1{)}^2}$ = $\sqrt{5}$

साथ ही, $(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})$ = $(2\hat{i}-\hat{j})\cdot (-2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ = -4 + 1 = -3

∴ दूरी, d = $\left|\frac{(\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2})\cdot (\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1})}{|\overrightarrow{b_1}\times \overrightarrow{b_2}|}\right|$

= $\left|\frac{-3}{\sqrt{5}}\right|$

= $\frac{3}{\sqrt{5}}$

∴ z-अक्ष और रेखा $\frac{x-2}{1}$ = $\frac{y-1}{2}$ = $\frac{z+1}{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3}{\sqrt{5}}$ है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

दो समानांतर रेखा ax + by + c1 = 0 और ax + by + c2 = 0 के बीच की दूरी $\frac{|{\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2|}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}$ है। 

गणना:

हमारे पास 3x – 4y + 12 = 0 और 3x – 4y = 6⇒ 3x – 4y - 6 = 0 हैं। 

∴ उनके बीच की दूरी = $\frac{|12-(-6)|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

= 18/5

माना कि, दी गयी रेखाओं के बीच में रेखा का समीकरण 3x - 4y + c = 0 है। 

चूँकि यह मध्य में है, तो रेखा 3x – 4y + 12 = 0 से दूरी $\frac{\frac{18}{5}}{2}=\frac{9}{5}$होगी। 

अब, 9/5 = $\frac{|12-\mathrm{c}|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}$

⇒ 12 - c = 9

⇒ c = 3

अतः विकल्प (4) सही है।