Differential Equations MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Differential Equations - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

వివరణ:

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం అంటే ఆ అవకలన సమీకరణంలో ఉండే అత్యధిక క్రమం యొక్క అవకలజాలను సూచిస్తుంది.

ఇచ్చిన సమీకరణంలో:

$\frac{dy}{dx}+4y=\sin x$

సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$, కాబట్టి ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క క్రమం 1

భావన:

$\frac{dy}{dx}+Py=Q\left(x\right)$ యొక్క సమాకలన సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది,

IF = e∫ Pdx

గణన:

P = 2 / sin x

IF = e∫ 2 / sin x dx = e∫ 2 cosec xdx

IF = e2 log (tan (x / 2))

∴ IF = tan2 (x / 2)

పద్దతి:

మొదటి క్రమాన్ని పరిష్కరించడానికి, మొదటి-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ వేరియబుల్ సెపరేషన్ పద్ధతిలో పరిశీలించాలి.

సాధన:

అవకలన సమీకరణం ప్రకారం,

$\frac{dy}{dx}+7x^{2}y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-7x^{2}y$, separating variables

$\frac{dy}{y}=-7x^{2}dx$, ఇరువైపులా ఏకీకరించగా ;

$\int \frac{dy}{y}=-7\int x^{2}dx;lny=-7\frac{x^3}{3}+lnA$

ఇక్కడ A స్థిరసంఖ్య.

$\ln y-\ln A=-\frac{7x^3}{3}\Rightarrow \ln \left(\frac{y}{A}\right)=-\frac{7x^3}{3}$

$\frac{y}{A}=e^{-\frac{7}{3}{x}^3}\Rightarrow y=A{e}^{-\frac{7}{3}{x}^3}$ …(1)

సమీకరణం(1)  $y\left(0\right)=\frac{3}{7}$ ని ప్రతిక్షేపించిన

$\Rightarrow \frac{3}{7}=Ausein(1)\Rightarrow y=\frac{3}{7}{e}^{-\frac{7x^3}{3}}$

Key Points

మొదటి ఆర్డర్ ఫస్ట్-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే అన్ని పద్ధతులను ప్రాక్టీస్ చేయండి.

ఈ ప్రశ్నలలో, ఎంపికలు చాలా గందరగోళంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి, అన్ని ఎంపికలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయండి.

పద్ధతి:

చలన సమీకరణ క్రమం దానిలో కనిపించే అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం.

చలన సమీకరణ యొక్క డిగ్రీ అనేది ఉత్పన్నాలకు సంబంధించినంతవరకు రాడికల్స్ లేని రూపంలో సమీకరణం వ్యక్తీకరించబడిన తర్వాత, దానిలో సంక్రమించే అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క డిగ్రీ.

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

${\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{3}}$

ఇచ్చిన చలన సమీకరణంలో అత్యధిక ఉత్పన్నం 4

కాబట్టి క్రమం 4.

డిగ్రీలను కనుగొనడానికి, అవకలన సమీకరణాన్ని రాడికల్స్ లేని రూపంలోకి మార్చాలి.

${\left[{\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^6={\left[{\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{3}}\right]}^6$

$\Rightarrow {\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^3={\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^2$

ఇప్పుడు అవకలన సమీకరణం రాడికల్స్ రహితం

అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క డిగ్రీ = 3

∴ ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం మరియు డిగ్రీ వరుసగా = 4 మరియు 3.

పద్దతి:

మొదటి క్రమాన్ని పరిష్కరించడానికి, మొదటి-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ వేరియబుల్ సెపరేషన్ పద్ధతిలో పరిశీలించాలి.

సాధన:

అవకలన సమీకరణం ప్రకారం,

$\frac{dy}{dx}+7x^{2}y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-7x^{2}y$, separating variables

$\frac{dy}{y}=-7x^{2}dx$, ఇరువైపులా ఏకీకరించగా ;

$\int \frac{dy}{y}=-7\int x^{2}dx;lny=-7\frac{x^3}{3}+lnA$

ఇక్కడ A స్థిరసంఖ్య.

$\ln y-\ln A=-\frac{7x^3}{3}\Rightarrow \ln \left(\frac{y}{A}\right)=-\frac{7x^3}{3}$

$\frac{y}{A}=e^{-\frac{7}{3}{x}^3}\Rightarrow y=A{e}^{-\frac{7}{3}{x}^3}$ …(1)

సమీకరణం(1)  $y\left(0\right)=\frac{3}{7}$ ని ప్రతిక్షేపించిన

$\Rightarrow \frac{3}{7}=Ausein(1)\Rightarrow y=\frac{3}{7}{e}^{-\frac{7x^3}{3}}$

Key Points

మొదటి ఆర్డర్ ఫస్ట్-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే అన్ని పద్ధతులను ప్రాక్టీస్ చేయండి.

ఈ ప్రశ్నలలో, ఎంపికలు చాలా గందరగోళంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి, అన్ని ఎంపికలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయండి.

వివరణ:

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం అంటే ఆ అవకలన సమీకరణంలో ఉండే అత్యధిక క్రమం యొక్క అవకలజాలను సూచిస్తుంది.

ఇచ్చిన సమీకరణంలో:

$\frac{dy}{dx}+4y=\sin x$

సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$, కాబట్టి ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క క్రమం 1

పద్దతి:

మొదటి క్రమాన్ని పరిష్కరించడానికి, మొదటి-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ వేరియబుల్ సెపరేషన్ పద్ధతిలో పరిశీలించాలి.

సాధన:

అవకలన సమీకరణం ప్రకారం,

$\frac{dy}{dx}+7x^{2}y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-7x^{2}y$, separating variables

$\frac{dy}{y}=-7x^{2}dx$, ఇరువైపులా ఏకీకరించగా ;

$\int \frac{dy}{y}=-7\int x^{2}dx;lny=-7\frac{x^3}{3}+lnA$

ఇక్కడ A స్థిరసంఖ్య.

$\ln y-\ln A=-\frac{7x^3}{3}\Rightarrow \ln \left(\frac{y}{A}\right)=-\frac{7x^3}{3}$

$\frac{y}{A}=e^{-\frac{7}{3}{x}^3}\Rightarrow y=A{e}^{-\frac{7}{3}{x}^3}$ …(1)

సమీకరణం(1)  $y\left(0\right)=\frac{3}{7}$ ని ప్రతిక్షేపించిన

$\Rightarrow \frac{3}{7}=Ausein(1)\Rightarrow y=\frac{3}{7}{e}^{-\frac{7x^3}{3}}$

Key Points

మొదటి ఆర్డర్ ఫస్ట్-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే అన్ని పద్ధతులను ప్రాక్టీస్ చేయండి.

ఈ ప్రశ్నలలో, ఎంపికలు చాలా గందరగోళంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి, అన్ని ఎంపికలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయండి.

పద్ధతి:

చలన సమీకరణ క్రమం దానిలో కనిపించే అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క క్రమం.

చలన సమీకరణ యొక్క డిగ్రీ అనేది ఉత్పన్నాలకు సంబంధించినంతవరకు రాడికల్స్ లేని రూపంలో సమీకరణం వ్యక్తీకరించబడిన తర్వాత, దానిలో సంక్రమించే అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క డిగ్రీ.

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

${\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{3}}$

ఇచ్చిన చలన సమీకరణంలో అత్యధిక ఉత్పన్నం 4

కాబట్టి క్రమం 4.

డిగ్రీలను కనుగొనడానికి, అవకలన సమీకరణాన్ని రాడికల్స్ లేని రూపంలోకి మార్చాలి.

${\left[{\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^6={\left[{\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{3}}\right]}^6$

$\Rightarrow {\left(\frac{d^{4}y}{d{x}^4}\right)}^3={\left[1+{\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^2\right]}^2$

ఇప్పుడు అవకలన సమీకరణం రాడికల్స్ రహితం

అత్యధిక ఉత్పన్నం యొక్క డిగ్రీ = 3

∴ ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం మరియు డిగ్రీ వరుసగా = 4 మరియు 3.

భావన:

$\frac{dy}{dx}+Py=Q\left(x\right)$ యొక్క సమాకలన సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది,

IF = e∫ Pdx

గణన:

P = 2 / sin x

IF = e∫ 2 / sin x dx = e∫ 2 cosec xdx

IF = e2 log (tan (x / 2))

∴ IF = tan2 (x / 2)

వివరణ:

అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం అంటే ఆ అవకలన సమీకరణంలో ఉండే అత్యధిక క్రమం యొక్క అవకలజాలను సూచిస్తుంది.

ఇచ్చిన సమీకరణంలో:

$\frac{dy}{dx}+4y=\sin x$

సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$, కాబట్టి ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క క్రమం 1