Circle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

वृत्त का क्षेत्रफल और आनुपातिक त्रिज्या

• वृत्त का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:

  A = πr²

• यदि एक बड़े वृत्त से एक छोटा वृत्ताकार पिज्जा इस प्रकार काटा जाता है कि उसका क्षेत्रफल आधा हो, तो हम लिखते हैं:

  πr_छोटा² = (1/2) × πr²

  ⇒ r_छोटा² = r² / 2

  ⇒ r_छोटा = r / √2 ≈ 0.707r

• इसलिए, आंतरिक (छोटे) वृत्त की त्रिज्या, मूल त्रिज्या का लगभग 0.707 गुना होनी चाहिए।

व्याख्या:

• विकल्प 2 विकर्ण दिशानिर्देशों का उपयोग करके बनाया गया एक आंतरिक वृत्त दिखाता है, जो r / √2 की त्रिज्या के दृश्य अनुमान में मदद करता है।
• यह विधि r/2 या r/3 जैसे साधारण भिन्नों से अधिक सटीक है, जो आधे से बहुत कम क्षेत्रफल के अनुरूप हैं।
• अन्य विकल्प दिखाते हैं:
  • विकल्प 1: आंतरिक त्रिज्या = r/2 → क्षेत्रफल = (1/4)πr² (केवल 25%, 50% नहीं)
  • विकल्प 3: r/√2 अंकित किया गया है, लेकिन अकेले दृश्य निर्माण में मदद नहीं करता है
  • विकल्प 4: मार्गदर्शिकाओं के बिना आंतरिक वृत्त का आकार मनमाना प्रतीत होता है

इसलिए, सही उत्तर है: विकल्प 2 - यह दृष्टिगत रूप से मार्गदर्शन करता है कि r/√2 त्रिज्या का एक वृत्त कैसे बनाया जाए, जिससे मूल पिज्जा का ठीक आधा क्षेत्रफल प्राप्त हो।

दिया गया है:

एक त्रिभुज ABC एक वृत्त के परिगत है।

AN = 7 सेमी

BN = 8 सेमी

AC = 18 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं।

गणना:

चूँकि एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं:

AN = AM = 7 सेमी (बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ)

BN = BL = 8 सेमी (बिंदु B से स्पर्श रेखाएँ)

CM = CL (बिंदु C से स्पर्श रेखाएँ)

हमें दिया गया है AC = 18 सेमी।

AC = AM + CM

18 = 7 + CM

CM = 18 - 7

CM = 11 सेमी

चूँकि CM = CL, हमारे पास CL = 11 सेमी है।

अब, हम BC की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं।

BC = BL + CL

BC = 8 + 11

BC = 19 सेमी

इसलिए, BC की लंबाई 19 सेमी है।

दिया गया है:

दो वृत्त परस्पर बाह्यतः बिंदु P पर स्पर्श करते हैं।

AB दोनों वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

स्पर्श बिंदु क्रमशः A और B हैं।

∠PAB = 55°

प्रयुक्त सूत्र:

किसी त्रिभुज में, सभी कोणों का योग 180° होता है।

∠PAB + ∠ABP + ∠APB = 180°

गणना:

चूँकि वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं, इसलिए ∠APB = 90° (स्पर्श रेखाओं का गुण)।

⇒ ∠PAB + ∠ABP + 90° = 180°

⇒ 55° + ∠ABP + 90° = 180°

⇒ ∠ABP = 180° - 145°

⇒ ∠ABP = 35°

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

O वृत्त का केंद्र है।

∠AOB = 140°

∠OAC = 50°

प्रयुक्त सूत्र:

केंद्र पर किसी चाप द्वारा बनाया गया कोण, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

किसी त्रिभुज में, समान भुजाओं के विपरीत कोण समान होते हैं।

किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

गणना:

त्रिभुज OAC पर विचार करें। चूँकि OA और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OC है।

इसलिए, ∠OCA = ∠OAC = 50° (समान भुजाओं के विपरीत कोण समान होते हैं)।

त्रिभुज OAC में, ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180° (त्रिभुज के कोणों का योग)।

⇒ ∠AOC + 50° + 50° = 180°

⇒ ∠AOC + 100° = 180°

⇒ ∠AOC = 180° - 100°

⇒ ∠AOC = 80°

केंद्र पर प्रतिवर्ती कोण ∠AOC = 360° - ∠AOC = 360° - 80° = 280° है।

चाप ABC द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण प्रतिवर्ती ∠AOC = 280° है।

परिधि पर चाप ABC द्वारा बनाया गया कोण ∠ABC है।

∠ABC = (1/2) × प्रतिवर्ती ∠AOC = (1/2) × 280° = 140°

त्रिभुज OAB पर विचार करें। चूँकि OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OB।

इसलिए, ∠OBA = ∠OAB

त्रिभुज OAB में, ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°

⇒ 140° + ∠OAB + ∠OAB = 180°

⇒ 140° + 2∠OAB = 180°

⇒ 2∠OAB = 180° - 140°

⇒ 2∠OAB = 40°

⇒ ∠OAB = 20°

∠BAC = ∠OAC - ∠OAB = 50° - 20° = 30°

इसलिए, कोण ∠BAC का मान 30° है।

दिया गया है:

समान्तर जीवा AB = 36 सेमी

समान्तर जीवा CD = 48 सेमी

जीवाओं के बीच की दूरी = 42 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

पाइथागोरस प्रमेय: (त्रिज्या)² = (जीवा की आधी लंबाई)² + (केंद्र से दूरी)²

व्यास = 2 × त्रिज्या

गणना:

माना, वृत्त की त्रिज्या r है।

माना, केंद्र से जीवा AB की दूरी x सेमी है।

तब केंद्र से जीवा CD की दूरी (42 - x) सेमी होगी।

जीवा AB के लिए:

r² = (36/2)² + x²

⇒ r² = 18² + x²

⇒ r² = 324 + x² (समीकरण 1)

जीवा CD के लिए:

r² = (48/2)² + (42 - x)²

⇒ r² = 24² + (42 - x)²

⇒ r² = 576 + (1764 - 84x + x²)

⇒ r² = 576 + 1764 - 84x + x²

⇒ r² = 2340 - 84x + x² (समीकरण 2)

समीकरण 1 और समीकरण 2 को बराबर करने पर:

324 + x² = 2340 - 84x + x²

⇒ 324 = 2340 - 84x

⇒ 84x = 2340 - 324

⇒ 84x = 2016

⇒ x = 2016 / 84

⇒ x = 24 सेमी

समीकरण 1 में x का मान रखने पर:

r² = 324 + (24)²

⇒ r² = 324 + 576

⇒ r² = 900

⇒ r = $\sqrt{900}$

⇒ r = 30 सेमी

व्यास = 2 × त्रिज्या = 2 × 30 = 60 सेमी

इसलिए, वृत्त का व्यास 60 सेमी है।

दिया गया है:

दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से P पर स्पर्श करते हैं।

AB दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है, A और B स्पर्श बिंदु हैं, और ∠PAB = 40° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि दो वृत्त किसी बिंदु पर एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं और दोनों वृत्तों पर एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींची जाती है, तो सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा द्वारा उस बिंदु पर अंतरित कोण जहाँ दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, 90° का होता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार, ∠APB = 90°

ΔAPB को ध्यान में रखते हुए,

∠ABP

⇒ 90° - ∠PAB

⇒ 90° - 40° = 50°

∴ ∠ABP का माप 50° है।

दिया गया है:

28 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 112 cm² है।

गणना:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²θ/360°

112 = π(28)²θ/360°

θ = 360/22

चाप की लंबाई = θ/360°(2πr)

⇒ 360/360 × 22/22 × 28/7 × 2

⇒  8 cm

अतः चाप की अभीष्ट लंबाई 8 cm है।

दिया गया है:

बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 16 सेमी

छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 8 सेमी

केंद्र (D) के बीच की दूरी = 26 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √{D2 - (R - r)2}

गणना:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = √{D2 - (R - r)2}

⇒ √{262 - (16 - 8)2}

⇒ √{676 - 64} = √612 = 2 × √153

∴ सही उत्तर 2 √153 है।

दिया गया है:

ΔPQR एक वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज है।

S, चाप QR पर कोई बिंदु है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण बराबर और 60° का होता है।

गणना:

∠PRQ और ∠PSQ चाप PQ के एक ही तरफ हैं

∠PRQ = ∠PSQ = 60°

∴ सही विकल्प 2 है।

दिया गया है:

एक वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। इस वृत्त के केंद्र पर जीवा AB द्वारा बनाया गया कोण 60 डिग्री है।

प्रयुक्त अवधारणा:

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के विपरीत दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

2. एक समबाहु त्रिभुज में, चूँकि तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए समान भुजाओं के विपरीत तीन कोण माप में बराबर होते हैं।

गणना:

OA = OB = 10 सेमी

ΔOAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

इसलिए, ∠OAB = ∠OBA = $\frac{(180-60{)}^{\circ }}{2}$ = 60° 

चूँकि ∠OAB = ∠OBA = ∠OAB = 60°, ΔOAB एक समबाहु त्रिभुज है।

इसलिए, OA = OB = AB = 10 सेमी

∴ इस जीवा की लंबाई 10 सेमी है।

दिया गया है:

वृत्तों की त्रिज्या 8 सेमी है।

गणना:

आरेख के अनुसार,

AD = DB

O1O2 = 8

पुनः O1A = O2A = 8 [वृत्त की त्रिज्या]

∠ADO1 = 90°

O1D = O2D = 4

AD = √(64 - 16)

⇒ √48 = 4√3

AB = 2 × 4√3 = 8√3

∴ उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 8√3 सेमी है।

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = √ (दोनों केन्द्रों के बीच की दूरी² - (r ₁ - r ₂)²

गणना:

दोनों केन्द्रों के बीच की दूरी = d सेमी

सूत्र के अनुसार,

12 = √ (d2 - ( 8  - 3)2.

⇒ 144 = d2 - 25

⇒ d2 = 169

⇒ d = 13

∴ सही विकल्प 3 है।

दिया गया है:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 10 सेमी 

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 5 सेमी 

प्रयुक्त सूत्र:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = 2 × √(r1 × r2)

गणना:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा = 2 × √(r1 × r2)

⇒  2 × √(10 × 5)

⇒ 10√2 सेमी 

∴ सही उत्तर 10√2 सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर बना कोण समकोण होता है।

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ ∠PAB = 65°

अब ΔAPB में,

⇒ ∠A + ∠B + ∠P = 180°

⇒ 65° + ∠B + 90° = 180°

⇒ ∠B = 180° - 155° = 25°

∴ सही उत्तर 25° है।

दिया गया है:

PT = 8 सेमी 

PA = 6 सेमी

प्रयुक्त सूत्र

PT2 = PA × PB

यहाँ, PT स्पर्शरेखा है

गणना:

माना AB "x" है

PT2 = PA × PB

82 = 6(6 + x)

32/3 = 6 + x

x = 14/3

AB का मान 14/3 सेमी है।