Properties of Complex Numbers MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Properties of Complex Numbers - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

z = e^iθ

⇒ $\frac{Z}{\bar{Z}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\theta }$

⇒ $|\frac{\mathrm{z}}{\bar{\mathrm{z}}}+\frac{\bar{\mathrm{z}}}{\mathrm{z}}|=1\Rightarrow |{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\theta }+{\mathrm{e}}^{-12\theta }|=1\Rightarrow |\cos 2\theta |=\frac{1}{2}$

⇒ 8 টি সমাধান

অতএব বিকল্প 4 সঠিক

হিসাব:

একটি সমান্তরিক বিবেচনা করুন যার শীর্ষবিন্দু z ₁ , z ₂ , z ₃ , z ₄ ক্রমানুসারে রয়েছে।

বিকল্প (A): সমান্তরিক

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল।

⇒ z2 − z1 = z3 − z4

⇒ z ₁ + z ₃ = z ₄ + z ₂

⇒ z ₁ − z ₄ = z ₂ − z ₃

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ -(z ₁ - z ₂ ) = z ₃ - z ₄

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

বিকল্প (B): আয়তক্ষেত্র

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির মধ্যে কোণ হল π/2

⇒ z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

বিকল্প (C): রম্বস

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হল π/2

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z২ − z ৩

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

বিকল্প (D): বর্গক্ষেত্র

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে কোণ হল π/2।

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z১ + জেড ৩ = জেড ৪ + জেড ২

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)$ = π/2

⇒$\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

∴ (A) → (p), (r); (B) → (p), (r), (t); (C) → (p), (r), (s); (D) → (p), (r), (s), (t)

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1 

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$

যদি z = a + ib হয়, তাহলে $\frac{1}{z}$ = $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ $\frac{1}{z_1}$ = $\frac{1+2i}{1^2+2^2}$ = $\frac{1+2i}{5}$

অনুরূপভাবে $\frac{2}{z_2}$ = 2 x $\frac{1}{z_2}$ = 2 x $\frac{1-i}{1^2+1^2}$ = 2 x $\frac{1-i}{2}$ = (1 - i)

$\frac{2}{z_2}$ = (1 - i)

⇒ $\frac{1}{z_2}$ = $\frac{1-i}{2}$

$\frac{z_3}{z_2}$ = z₃ x $\frac{1}{z_2}$ = (3 + 4i) x $\frac{1-i}{2}$

⇒ $\frac{z_3}{z_2}$ = $\frac{7+i}{2}$

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$

$\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$ = $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\right|$ x $\left|\frac{z_3}{z_2}\right|$

= $\left|\left(\frac{1+2i}{5}+(1-i)\right)\right|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{1+2i+5-5i}{5}|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{6-3i}{5}|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $\frac{\sqrt{6^2+(-3{)}^2}}{5}\times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{36+9}}{5}\times \frac{\sqrt{49+1}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{5\sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}\times \sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{2}}$

= $\sqrt{\frac{45}{2}}$

মান নির্ণয় করে পাই $\sqrt{\frac{45}{2}}$.

ধারণা:

যদি z = a + ib হয়, তাহলে |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$

যদি z = a + ib হয়, তাহলে $\frac{1}{z}$ = $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$

|z₁z₂| = |z₁| x |z₂|

গণনা:

প্রদত্ত z1 = 1 - 2i , z2 = 1 + i এবং z3 = 3 + 4i

∴ $\frac{1}{z_1}$ = $\frac{1+2i}{1^2+2^2}$ = $\frac{1+2i}{5}$

অনুরূপভাবে $\frac{2}{z_2}$ = 2 x $\frac{1}{z_2}$ = 2 x $\frac{1-i}{1^2+1^2}$ = 2 x $\frac{1-i}{2}$ = (1 - i)

$\frac{2}{z_2}$ = (1 - i)

⇒ $\frac{1}{z_2}$ = $\frac{1-i}{2}$

$\frac{z_3}{z_2}$ = z₃ x $\frac{1}{z_2}$ = (3 + 4i) x $\frac{1-i}{2}$

⇒ $\frac{z_3}{z_2}$ = $\frac{7+i}{2}$

আমাদের খুঁজে বের করতে হবে $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$

$\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\frac{z_3}{z_2}\right|$ = $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right)\right|$ x $\left|\frac{z_3}{z_2}\right|$

= $\left|\left(\frac{1+2i}{5}+(1-i)\right)\right|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{1+2i+5-5i}{5}|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $|\frac{6-3i}{5}|$ x $|\frac{7+i}{2}|$

= $\frac{\sqrt{6^2+(-3{)}^2}}{5}\times \frac{\sqrt{7^2+1^2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{36+9}}{5}\times \frac{\sqrt{49+1}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{\sqrt{45}}{5}\times \frac{5\sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}\times \sqrt{2}}{2}$

= $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{2}}$

= $\sqrt{\frac{45}{2}}$

মান নির্ণয় করে পাই $\sqrt{\frac{45}{2}}$.

গণনা

z = e^iθ

⇒ $\frac{Z}{\bar{Z}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\theta }$

⇒ $|\frac{\mathrm{z}}{\bar{\mathrm{z}}}+\frac{\bar{\mathrm{z}}}{\mathrm{z}}|=1\Rightarrow |{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\theta }+{\mathrm{e}}^{-12\theta }|=1\Rightarrow |\cos 2\theta |=\frac{1}{2}$

⇒ 8 টি সমাধান

অতএব বিকল্প 4 সঠিক

হিসাব:

একটি সমান্তরিক বিবেচনা করুন যার শীর্ষবিন্দু z ₁ , z ₂ , z ₃ , z ₄ ক্রমানুসারে রয়েছে।

বিকল্প (A): সমান্তরিক

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল।

⇒ z2 − z1 = z3 − z4

⇒ z ₁ + z ₃ = z ₄ + z ₂

⇒ z ₁ − z ₄ = z ₂ − z ₃

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ -(z ₁ - z ₂ ) = z ₃ - z ₄

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

বিকল্প (B): আয়তক্ষেত্র

আমরা জানি যে বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলির মধ্যে কোণ হল π/2

⇒ z ₂ − z ₁ = z ₃ − z ₄

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

বিকল্প (C): রম্বস

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং কর্ণদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হল π/2

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z 1 + z 3 = z 4 + z 2

⇒ z 1 − z 4 = z২ − z ৩

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

বিকল্প (D): বর্গক্ষেত্র

আমরা জানি যে সমস্ত বাহু সমান এবং সমান্তরাল এবং তাদের সংশ্লিষ্ট বাহু এবং কর্ণগুলির মধ্যে কোণ হল π/2।

⇒ z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ z১ + জেড ৩ = জেড ৪ + জেড ২

⇒ z 1 − z 4 = z 2 − z 3

(p) সঠিক।

এছাড়াও, z 2 − z 1 = z 3 − z 4

⇒ -(z 1 - z 2 ) = z 3 - z 4

⇒ $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$ = - 1, যা সম্পূর্ণ বাস্তব।

(r) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}\right)$ = π/2

⇒ $\frac{z_1-z_3}{z_2-z_4}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(গুলি) সঠিক।

এছাড়াও, arg $\left(\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}\right)$ = π/2

⇒$\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2}$ সম্পূর্ণরূপে কাল্পনিক।

(t) সঠিক

∴ (A) → (p), (r); (B) → (p), (r), (t); (C) → (p), (r), (s); (D) → (p), (r), (s), (t)

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1