फ़लन  f(x) = e^|x|  है:

अवधारणा:

एक  x = a पर फलन f(x) अवकलनीय है, यदि x = a पर इसका बाएँ पक्ष की सीमा x = a पर दाएँ पक्ष की सीमा के बराबर है।

x = a पर दाएँ पक्ष की सीमा $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ है 

x = a पर इसका बाएँ पक्ष की सीमा  $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}$ है 

गणना:

दिया है: f(x) = e^|x|

f(0) = e⁰ = 1

x = 0 पर सांतत्य की जाँच करने पर, 

बाएँ पक्ष की सीमा (L.H.L) = $\underset{h\to 0}{lim}f(0-h)$

= $\underset{h\to 0}{lim}{e}^{|0-h|}$

= $\underset{h\to 0}{lim}{e}^h$

L.H.L = 1

उसी प्रकार, दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L) = $\underset{h\to 0}{lim}f(0+h)$

= $\underset{h\to 0}{lim}{e}^{|0+h|}$

= $\underset{h\to 0}{lim}{e}^h$

R.H.L = 1

हम पाते हैं, L.H.L = R.H.L = f(0) = 1

अतः x = 0 पर फलन संतत है।

x = 0 पर अवकलनीयता की जाँच करने पर, 

 x = 0 पर f(x) की बाएँ पक्ष की सीमा (L.H.D) $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0-h)-f(0)}{-h}$ है 

= $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{|-h|}-1}{-h}$

= $\underset{h\to 0}{lim}-\frac{e^h-1}{h}$ 

= - 1 $(\because \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1)$

x = 0 पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.D)  $\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ है 

= $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{|h|}-1}{h}$

= $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}$

= 1 $(\because \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1)$

स्पष्टतः, L.H.D ≠ R.H.D

अतः फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

फलन सर्वत्र संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।