छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

दिया गया:

छिन्नक का शीर्ष व्यास (d ₁ ) = 2k

छिन्नक का निचला व्यास (d ₂ ) = 2.5k

छिन्नक की ऊंचाई (h) = k

प्रयुक्त सूत्र:

शीर्ष की त्रिज्या (r ₁ ) = d ₁ / 2

नीचे की त्रिज्या (r ₂ ) = d ₂ / 2

छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2}\)

छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शीर्ष आधार का क्षेत्रफल + नीचे के आधार का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\)

नीचे के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)

गणना:

त्रिज्या की गणना करते हैं:

r1 = 2k / 2 = k

r2 = 2.5k / 2 = 1.25k

त्रिज्या में अंतर की गणना करते हैं:

r2 - r1 = 1.25k - k = 0.25k

तिर्यक ऊँचाई (l) की गणना करते हैं:

l = \(\sqrt{k^2 + (0.25k)^2}\)

⇒ l = \(\sqrt{k^2 + 0.0625k^2}\)

⇒ l = \(\sqrt{1.0625k^2}\)

⇒ l = k\(\sqrt{1.0625}\)

अब, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\) = \(\pi (k)^2\) = \(\pi k^2\)

निचले आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\) = \(\pi (1.25k)^2\) = \(\pi (1.5625k^2)\) = 1.5625 \(\pi k^2\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)k\sqrt{1.0625}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)k\sqrt{1.0625}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + 1.5625 \(\pi k^2\) + 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (1 + 1.5625 + 2.25\sqrt{1.0625})\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.25 \times 1.030776...)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.319246...)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (4.881746...)\)

आइए परिशुद्धता के लिए sqrt(1.0625) के लिए भिन्न रूप का उपयोग करते हैं:

1.0625 = 10625 / 10000 = 425 / 400 = 85 / 80 = 17/16 (यहां गणना में त्रुटि है, 10625/10000 = 17/16 1.0625 के लिए था, लेकिन 0.25k (1/4)k है)

0.25k = (1/4)k

(0.25k)2 = (1/16)k2

l = \(\sqrt{k^2 + \frac{1}{16}k^2}\) = \(\sqrt{\frac{16k^2 + k^2}{16}}\) = \(\sqrt{\frac{17k^2}{16}}\) = \(\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(\frac{9}{4}k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\pi (\frac{5}{4}k)^2\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\frac{25\pi k^2}{16}\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(1 + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(\frac{16}{16} + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (16 + 25 + 9\sqrt{17})\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\)

\(\sqrt{17} \approx 4.123\) उपयोग करते हैं,

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9 \times 4.123)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 37.107)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (78.107)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 4.8816 \(\pi k^2\)

सटीक व्यंजक \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।

∴ छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।