λ का वह मान जिसके लिए समीकरणों की प्रणाली 2x - y - z = 2, x - 2y + z = -4, x + y + λz = 4 का कोई हल नहीं है, क्या है?

दिया गया है:

2x - y - z = 2,

x - 2y + z = -4,

x + y + λz = 4

अवधारणा:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करने पर

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2, …, xn हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं, हमें निम्नलिखित आव्यूहों का क्रमांक ज्ञात करना होगा।

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]\) and  \(\left[ {A{\rm{|}}B} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1n}}}&{{b_1}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2n}}}&{{b_2}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \ldots &{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right]\)

A एक गुणांक आव्यूह है और [A|B] को दिये गए समीकरणों की प्रणाली का संवर्धित आव्यूह कहा जाता है।

यदि आव्यूह A का क्रमांक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर नहीं है, तो प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

A का क्रमांक ≠ संवर्धित आव्यूह का क्रमांक

इस प्रकार यदि सारणीक (A) = 0 प्रणाली असंगत है। (कोई हल नहीं है)

गणना:

\( A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&{ - 2}&1\\ 1&1&λ \end{array}} \right]\;\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right]\;C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 4}\\ 4 \end{array}} \right] \)

अतः, 'कोई हल नहीं' के लिए, |A| = 0

\( ⇒ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&{ - 2}&1\\ 1&1&λ \end{array}} \right|\; = 0 \)

⇒ 2(-2λ - 1) + 1(λ - 1) - 1(1 + 2) = 0

⇒ -4λ - 2 + λ - 1 - 3 = 0

⇒ -3λ = 6

⇒ λ  = - 2

Additional Information

• यदि आव्यूह A का क्रमांक एक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर है और यह अज्ञात पदों की संख्या के बराबर है, तो प्रणाली सुसंगत है और एक अनूठा हल है।
• A का क्रमांक = संवर्धित आव्यूह का क्रमांक = n
• यदि आव्यूह A का क्रमांक एक संवर्धित आव्यूह के क्रमांक के बराबर है और यह अज्ञात पदों की संख्या से कम है, तो प्रणाली सुसंगत है और अनंत संख्या में हल हैं।
• A का क्रमांक = संवर्धित आव्यूह का क्रमांक < n