व्यंजक (tan θ + cot θ) (sec θ + tan θ) (1 – sin θ), 0° < θ < 90°, किसके बराबर है?

Shortcut Trick

दिया गया है:

(tan θ + cot θ) (sec θ + tan θ) (1 – sin θ), 0° < θ < 90°

प्रयुक्त सूत्र:

यहाँ, θ का सटीक मान नहीं दिया गया है, इसलिए हम थीटा का कोई भी मान 0° से 90° के भीतर रख सकते हैं, लेकिन वह मान लीजिए जिस पर दोनों विकल्पों में से कोई भी समान नहीं होगा।

इसलिए, हम θ = 30° लेंगे, हम 45° नहीं लेंगे क्योंकि 45° (1) और (2) पर विकल्प समान होंगे।

गणना:

θ = 30° पर दिया गया समीकरण होगा

(tan 30° + cot 30°) (sec 30° + tan 30°) (1 – sin 30°)

⇒ \((\frac{1}{\sqrt3} + \frac{\sqrt3}{1}) (\frac{2}{\sqrt3} + \frac{1}{\sqrt3} ) ( 1 - \frac{1}{2} )\)

⇒ \((\frac{4}{\sqrt3}) (\frac{3}{\sqrt3} ) ( \frac{1}{2} )\)

⇒ 2

अब, विकल्पों में θ = 30° रखने पर हमें प्राप्त होता है

cosec 30° = 2

∴ सही उत्तर cosecθ है।

Alternate Method 

दिया गया है:

(tan θ + cot θ) (sec θ + tan θ) (1 – sin θ), 0° < θ < 90°

प्रयुक्त सूत्र:

sin²θ + cos²θ = 1

1 - sin²θ = cos²θ 

1/sinθ = cosecθ 

गणना:

⇒ \((\frac{sinθ}{cosθ} + \frac{cosθ}{sinθ}) (\frac{1}{cosθ} + \frac{sinθ}{cosθ} ) ( 1 - sinθ)\)

⇒ \((\frac{sin^2θ + cos^2θ}{sinθ.cosθ} ) (\frac{1 + sinθ}{cosθ}) ( 1 - sinθ)\)

⇒ \((\frac{1}{sinθ.cosθ} ) (\frac{1 - sin^2θ}{cosθ})\)

⇒ \((\frac{1}{sinθ} ) (\frac{cos^2θ }{cos^2θ})\)

⇒ cosec θ

∴ सही उत्तर cosec θ है।