इकाई चरण इनपुट के अधीन होने पर $G (s) = \frac{4}{s^{2} + 0.4 s}$ के साथ एकल प्रतिपुष्टि वाली नियंत्रण प्रणाली में यह आवश्यक है कि प्रणाली प्रतिक्रिया को 2% सहिष्णुता बंध में व्यवस्थित किया जाना चाहिए; तो प्रणाली का स्थायीकरण समय क्या है?

Question

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ESE Electronics 2010 Paper 2: Official Paper

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Answer 1

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

$T F = \frac{C (s)}{R (s)} = \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}$

ζ अवमंदन अनुपात है

ωn प्राकृतिक आवृत्ति है।

विशेषता समीकरण: $s^{2} + 2 ζ ω_{n} + ω_{n}^{2}$

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं: $- ζ ω_{n} + j ω_{n} \sqrt{1 - ζ^{2}} = - α \pm j ω_{d}$

α अवमंदन गुणक है।

स्थायीकरण समय (Ts): यह ± 2% सहिष्णुता बंध तक पहुंचने के लिए प्रतिक्रिया द्वारा लिया गया समय होता है, जैसा उपरोक्त आकृति में दर्शाया गया है।

$e^{- ξ ω_{n} t_{s}} = \pm 5 % (o r) \pm 2 %$

5% सहिष्णुता बंध के लिए $t_{s} ≃ \frac{3}{ξ ω_{n}}$

2% सहिष्णुता बंध के लिए $t_{s} ≃ \frac{4}{ξ ω_{n}}$

गणना:

$G (s) = \frac{4}{s^{2} + 0.4 s}$

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के साथ उपरोक्त स्थानांतरण फलन की तुलना करने पर,

$ω_{n}^{2} = 4 \Rightarrow ω_{n} = 2$

⇒ 2ζωn = 0.4 ⇒ ζ = 0.1

चूँकि अवमंदन अनुपात एकल से कम है, इसलिए प्रणाली अधःअवमंदित है।

स्थायीकरण समय, $t_{s} = \frac{4}{ζ ω_{n}} = \frac{4}{0.1 \times 2} = 20 s e c$