Time Domain Specifications MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Time Domain Specifications - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

\(C\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{{s + 1}} + \frac{C}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(C\left( s \right) = \frac{1}{{\left( {{s^2} + 2s + 1} \right)}} \times \frac{1}{s}\)

\(C\left( s \right) = \frac{1}{{s{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(C\left( s \right) = \frac{1}{s} - \frac{1}{{s + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

A = 1

B = -1

C = -1

\(\mathop {{\rm{lt}}}\limits_{t \to \infty } C\left( t \right) = 1 - {e^{ - \infty }} - t{e^{ - \infty }}\)

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन लागू करना:

C(t) = 1 – e-t – te-t

स्थिर अवस्था में अर्थात t → ∞ पर

\(\Rightarrow 1 - \left( {\frac{{1 + 5.25}}{{{e^{5.25}}}}} \right)\)

C(t) = 1

स्थिर अवस्था का 94% \( = \frac{{94}}{{100}} \times 1\)

= 0.94.

0.94 = 1 – e-t – te-t

सभी विकल्पों को प्रतिस्थापित करने पर

आइए हम विकल्पों को प्रतिस्थापित करने पर

विकल्प  (a) t= 5.25

1 – e-5.25 – 5.25 e-5.25

\(1 - \frac{{\left( {1 + 4.50} \right)}}{{({e^{4.50}})}}\)

= 0.967

विकल्प  (b)

t = 4.50

\(1 - \frac{{\left( {1 + 4.50} \right)}}{{({e^{4.50}})}}\)

1 – 0.938

संकल्पना

द्वितीय कोटि के स्थानांतरण फलन को निम्न के द्वारा प्रदर्शित किया गया है:

\({C(s)\over R(s)}={ω_n^2\over s^2+2ζω_ns+ω_n^2}\)

जहाँ, ω_n = स्वाभाविक आवृत्ति 

ζ = अवमंदन अनुपात 

अवमंदन अनुपात के संबंध में अवमंदन की प्रकृति निम्नानुसार होगी:

गणना

दिया गया है, \({C(s)\over R(s)}={20\over s^2+8s+20}\)

\(ω_n^2=20\)

ω_n =4.472 rad/s

2ζω_n = 8

\(\zeta={8\over 2\times 4.472}\)

ζ = 0.894

इसलिए, यह प्रणाली न्यून अवमंदित है।​

सही उत्तर विकल्प 1):(निम्न-अवमंदित) है।

संकल्पना:

• मानक द्वितीय-क्रम प्रणाली की अभिलक्षणिक समीकरण निम्न द्वारा दी गई है;
• s² + 2ξ ω_n s + ω²_n = 0
• प्रणाली में यदि ξ = 0 अ-अवमंदित है, यदि ξ = 1 क्रान्तिक अवमंदित है और यदि ξ <1 निम्न-अवमंदित है, तो ξ > 1 को अति-अवमंदित कहा जाता है।
• अवमंदन अनुपात ζ (जीटा) 0 < ζ < 1 के बीच में स्थित होता है, तब परिपथ वर्गीकरण निम्न-अवमंदन के अंतर्गत आता है।

अवधारणा:

एक द्वितीयक क्रम प्रणाली की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति को निम्न द्वारा दिया जाता है

\({ω _d} = {ω _n}\sqrt {1 - {\xi ^2}} \)

जहाँ,

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ζ = अवमंदन अनुपात

गणना:

दिया हुआ-

ωn = 11 rad/sec

ζ = 0.6

अब, प्राकृतिक अवमंदित आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जा सकती है

\({ω _d} = {11}\sqrt {1 - {(0.6)^2}} \)

ωd = 11 x 0.8

ωd = 8.8 rad/sec 

संकल्पना:

नियंत्रण प्रणाली की प्रकृति को अवमंदन अनुपात के मान के आधार पर परिभाषित किया जाता है।

संकल्पना:

मानक द्वितीय क्रम प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{ω _n^2}}{{{s^2} + 2ζ {ω _n}s + ω _n^2}}\)

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2ζ {ω _n} + ω _n^2 = 0\)

ζ अवमंदन अनुपात है

ωn अनवमंदन प्राकृतिक आवृत्ति है

\({M_p} = {e^{\frac{{ - ζ \pi }}{{\sqrt {1 - {ζ ^2}} }}}}\) ----(1)

गणना:

दिया गया है:

Mp = 100%

उपरोक्त समीकरण से,

\({M_p} = {e^{\frac{{ - ζ \pi }}{{\sqrt {1 - {ζ ^2}} }}}}\)

\(ln\;1 = \frac{{ - \zeta \pi }}{{\sqrt {1 - {\zeta ^2}} }}\) ; (1 = 0 में)

तो, ζ = 0

ध्यान दें:

Mp बंद-लूप अंतरण फलन का अधिकतम शिखर अतिलंघन है

\(M_p \ \alpha \ \frac{1}{ζ}\)

संकल्पना:

प्रथम-कोटि प्रणाली​:

मानक प्रथम-कोटि प्रणाली का अंतरण फलन निम्न द्वारा दिया जाता है

\(TF = \frac{{k}}{{\left( {1 + τ s} \right)}}\)

जहाँ,

τ = प्रणाली का समय स्थिरांक

समय स्थिरांक को प्रणाली के ध्रुव के ऋणात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

गणना:

दिए गए चित्र से,

\(\frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\frac{{3K}}{{2s + 1}}}}{{1 + \frac{{3K}}{{2s + 1}}}}\)

\( = \frac{{3K}}{{2s + 3K + 1}}\)

\( = \frac{{3K}}{{3K + 1}} \times \frac{1}{{1 + \frac{{2s}}{{3K + 1}}}}\)

उपरोक्त अंतरण फलन से, समय स्थिरांक निम्न है

\(T = \frac{2}{{3K + 1}}\)

प्रणाली का समय स्थिरांक 0.2 से कम है

\( \Rightarrow \frac{2}{{3K + 1}} < 0.2\;\)

⇒ K > 3   

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के स्थानांतरण फलन की सामान्य अभिव्यक्ति निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

जहाँ

ζ अवमंदन अनुपात है

ωn गैर-अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति है

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं

 \(- \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन कारक है

गणना:

दिया गया विशेषता समीकरण s2 + 6s + 25 = 0

दूसरी कोटि के नियंत्रण प्रणाली के स्थानांतरण फलन की सामान्य अभिव्यक्ति के साथ इसकी तुलना करते हुए, हम लिख सकते हैं:

2 ζ ω_n = 6

⇒ ζ ω_n = 3

Additional Information

प्रणाली की प्रकृति उसके ‘ζ’ मूल्य द्वारा वर्णित है

• एक ऋणात्मक बंद-पाश के लिए स्थानांतरण फलन निम्न द्वारा दिया गया है:

\(T.F. = {G(s) \over 1+G(s)H(s)}\)

जहाँ G(s) = अग्रगामी पथ लब्धि

H(s) = पुनर्निवेश पथ लब्धि

• फीडबैक पथ की उपस्थिति के कारण, स्थानांतरण फलन की लब्धि कम हो जाती है।
• चूंकि लब्धि-बैंडविड्थ गुणनफल स्थिर होना चाहिए, इसलिए लब्धि के घटते मान के लिए बैंडविड्थ बढ़ जाती है।
• चूंकि फीडबैक के उपयोग से प्रणाली की क्षणिक अनुक्रिया में सुधार होता है और यह स्थिरण के समय को कम करने का कारण बनता है और बंद-पाश प्रणाली में खुला-पाश प्रणाली की तुलना में अधिक बैंडविड्थ होती है और इसका अर्थ है अनुक्रिया की गति में वृद्धि।

अवधारणा:

काल-क्षेत्र विनिर्देश (या) क्षणिक प्रतिक्रिया परिमाप:

शिखर काल (tp): यह अधिकतम मान तक पहुंचने के लिए प्रतिक्रिया द्वारा लिया गया समय है।

\({\left. {\frac{{dc\left( t \right)}}{{dt}}} \right|_{t = {t_p}}} = 0,{\text{}}{t_p} = \frac{\pi }{{{ω _d}}}\)

\(As \ \omega_d=\omega_n\sqrt{ 1-\xi^2}\)

\(=\frac{\pi }{{{ω _n}√ {1 - {\zeta ^2}} }}\)

जहाँ,

ξ = अवमंदन अनुपात

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ωd = अवमन्दित आवृत्ति

गणना:

दिया हुआ है कि:

ωn = 13 rad/sec

ξ = 0.8

\(\omega_d=13\sqrt{ 1-0.8^2}\)

ωd = 7.8 rad/sec

\(t_p=\frac{\pi}{7.8}=0.4 \;sec\)

इसलिए विकल्प (4) सही उत्तर है।

गणना:

द्वितीय कोटि का स्थानांतरण फलन निम्न के द्वारा दिया जाता है:

\(H(s) = {ω^2_n \over s^2+\space2ζω_ns+\space ω^2_n }\)

जहाँ, ωn = प्राकृत आवृत्ति

ζ = अवमंदन कारक

गणना:

दिया गया है, \(H(s) = {25 \over s^2\space+\space8s\space+\space 25 }\)

ωn2 = 25

ωn = 5

2ζωn = 8

\(ζ = {8 \over 2\times\omega_n}\)

\(ζ = {8 \over 2\times5}\)

ζ = 0.8

संकल्पना:

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

ζ अवमंदन अनुपात है 

ωn प्राकृतिक आवृत्ति है। 

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2\)

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं: \( - \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन गुणक है। 

स्थायीकरण समय (Ts): यह ± 2% सहिष्णुता बंध तक पहुंचने के लिए प्रतिक्रिया द्वारा लिया गया समय होता है, जैसा उपरोक्त आकृति में दर्शाया गया है। 

\({e^{ - \xi {\omega _n}{t_s}}} = \pm 5\% \;\left( {or} \right) \pm 2\% \)

5% सहिष्णुता बंध के लिए \({t_s} \simeq \frac{3}{{\xi {\omega _n}}}\)

2% सहिष्णुता बंध के लिए \({t_s} \simeq \frac{4}{{\xi {\omega _n}}}\)

गणना:

\(G(s) = \frac{4}{{{s^2} + 0.4s}}\)

मानक द्वितीय-कोटि वाली प्रणाली के साथ उपरोक्त स्थानांतरण फलन की तुलना करने पर,

\(\omega _n^2 = 4 \Rightarrow {\omega _n} = 2\)

⇒ 2ζωn = 0.4 ⇒ ζ = 0.1

चूँकि अवमंदन अनुपात एकल से कम है, इसलिए प्रणाली अधःअवमंदित है। 

स्थायीकरण समय, \({t_s} = \frac{4}{{\zeta {\omega _n}}} = \frac{4}{{0.1 \times 2}} = 20\;sec\)

अवधारणा:

अवमंदन अनुपात (ζ = c/cc) एक प्रणाली पैरामीटर है, जो गंभीर रूप से अवमन्दित (ζ = 1) से अधिक अवमन्दित (ζ > 1) के माध्यम से गैर-अवमन्दित (ζ = 0), न्यून अवमन्दित (ζ < 1) से परिवर्तनीय हो सकता है।

अतिअवमंदित प्रणाली: ζ > 1

यह अनावर्ती गति का समीकरण है अर्थात प्रणाली अति-अवमंदन के कारण कंपन नहीं कर सकती है। परिणामी विस्थापन का परिमाण समय के साथ शून्य की ओर बढ़ता है।

अल्पअवमन्दित:​ ζ < 1

यह परिणामी गति ωd की आवृत्ति वाले घटते आयामों के साथ दोलनशील होती है। अंतत: समय के साथ गति समाप्त हो जाती है।

क्रांतिक अवमंदन: ζ = 1

विस्थापन न्यूनतम संभव समय के साथ शून्य की ओर बढ़ेगा।