यदि एक द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण का योग तथा गुणनफल क्रमशः 24 और 128 है, तो एक या दो सफलताओं की प्रायिकता है:

अवधारणा:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जैसे कि X ~ द्विपद(n, p), जहाँ n परीक्षणों की संख्या है और p सफलता की संख्या है (0 ≤ p ≤ 1) q असफलताओं की संख्या है जहाँ, p + q = 1 है।

r सफलताओं की प्रायिकता P(X = r) = ⁿC_rp^rq^n-r द्वारा दी जाती है।

गणना:

मान लीजिए परीक्षणों की संख्या = n, सफलता की प्रायिकता = p और असफलता की प्रायिकता = q

∴ माध्य = np और प्रसरण = npq

यहाँ np + npq = 24 …(i)

np.npq = 128 …(ii)

∴ np और npq समीकरण x² - 24x + 128 = 0 के मूल हैं

⇒ (x - 8)(x - 16) = 0

⇒ x = 8 और x = 16

∴ np = 16…(iii) और npq = 8…(iv)

(iv) / (iii) ⇒ q = $\frac{1}{2}$

अब, p = 1 - q

⇒ p = $\frac{1}{2}$

साथ ही, np = 16

⇒ n = 32

∴ अभीष्ट प्रायिकता

= P(X = 1) + P(X = 2)

= ${}^{32}{C}_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{32}+{}^{32}{C}_2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{32}$

= $(32+\frac{32\times 31}{2})\cdot \frac{1}{2^{32}}$

= $\frac{33}{2^{28}}$

∴ एक या दो सफलताओं की प्रायिकता $\frac{33}{2^{28}}$ है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।