मान लीजिए कि एक यादृच्छिक चर X पैरामीटर n और p के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है, जहां 0 <p <1है, यदि $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{r})}{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{n}-\mathrm{r})}$ n और r से स्वतंत्र है, तो p किसके बराबर होगा?

संकल्पना:

द्विपद वितरण: P(x = r) = nCr pr qn-r, जहाँ r = 0,1,2,......n.

जहाँ n = परीक्षणों की कुल संख्या

p = प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता

q = 1- p = असफलता की प्रायिकता

r = सफलताओं की संख्या

गणना:

P(x = r) =  nCr $p^r{q}^{n-r}$

 =  nCr $p^r(1-p{)}^{n-r}$ [∵ p =1 - q]

P(x = n - r) =   nC_n-r $p^{n-r}{q}^{n-(n-r)}$

=  nCn-r  $p^{n-r}{q}^r$

= nC_n-r $p^{n-r}(1-p{)}^r$  [∵ p =1 - q]

$\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{r})}{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{n}-\mathrm{r})}=\frac{{\mathrm{p}}^{\mathrm{r}}\times (1-\mathrm{p}{)}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}}{{\mathrm{p}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times (1-\mathrm{p}{)}^{\mathrm{r}}}$  [∵ nC_r =nC_n-r]

⇒ $\frac{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{r})}{\mathrm{P}(\mathrm{x}=\mathrm{n}-\mathrm{r})}=\frac{{\left(\frac{1-\mathrm{p}}{\mathrm{p}}\right)}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}}{{\left(\frac{1-\mathrm{p}}{\mathrm{p}}\right)}^{\mathrm{r}}}$

समीकरण को n और r से स्वतंत्र बनाने के लिए,

$\frac{1-p}{p}$ 1 के बराबर होना चाहिए।

$\frac{1-p}{p}$ = 1

1 - p = p

2p = 1

⇒ p = $\frac{1}{2}$

p का ​​मान 1/2 के बराबर है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।