यदि 'p' एक अभाज्य है, तो सर्वांगसमता x² + 1 ≡ 0 (माप p) का एक हल केवल तभी है जब:

अवधारणा:

जैसा कि हम जानते हैं

a \(\equiv\) r (माप b) का अर्थ है जब a को b से विभाजित किया जाता है तो r शेषफल है या इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है 

a = bq + r जहाँ q एक घनात्मक पूर्णांक है  

यूलर के मानदंड:

यदि p एक अभाज्य है जहाँ p | a है, तब द्विघात सर्वांगसमता x²  \(\equiv\) a (मापm) के हल हैं या हल नहीं हैं, निर्भर करता है यदि \(a^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=1. modp\)  या   \(a^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=-1. modp\)

गणना:

x2 + 1 ≡ 0 (माप p)

स्थिति I: x = 1 के लिए

सर्वांगसमता और मापांक की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है

p | x² + 1 

माना, x = 1 तब p | 1² + 1 \(\Rightarrow \) p | 2

जैसा कि, p को 2 से विभाजित किया जा सकता है जब p = 2 हो

स्थिति II: x > 1 के लिए

यूलर के मानदंड के अनुसार, p | x² + 1 केवल तब जब \((-1)^\left({\frac{p-1}{2}}\right)=1. modp\) हो

उपरोक्त शर्त केवल तभी सत्य हो सकती है जब (-1) का घातांक सम हो। (जैसा कि (-1)ⁿ = 1 केवल तब जब n सम हो)

इस प्रकार, \(\frac{p-1}{2}\) सम या 2 का गुणक हो सकता है

किसी पूर्णांक m के लिए \(\Rightarrow \frac{p-1}{2}= 2m\) 

\(\Rightarrow p-1= 4m\)

p = 4m + 1 जो p ≡ 1 (माप 4) के बराबर है   

अतः, यदि 'p' एक अभाज्य है, तो सर्वांगसमता x² + 1 ≡ 0 (माप p) का एक हल केवल तभी है जब p = 2 या p ≡ 1 (माप 4) है।