यदि f(x) = \(\rm x^{\tan^{-1}x}\) है, तो f'(1) का मान ज्ञात कीजिए। 

संकल्पना:

• \(\rm d\over dx\)xn = nxn-1
• \(\rm d\over dx\)sin x = cos x
• \(\rm d\over dx\)cos x = -sin x
• \(\rm d\over dx\)ex = ex
• \(\rm d\over dx\)ln x = \(\rm1\over x\)
• \(\rm d\over dx\)(ax + b) = a
• \(\rm d\over dx\)tan x = sec2 x
• \(\rm d\over dx\)f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• \(\rm d\over dx\) sin-1 x = \(\rm 1\over\sqrt{1 - x^2}\)
• \(\rm d\over dx\) tan-1 x = \(\rm 1\over1 + x^2\)

गणना:

माना कि y = f(x) = \(\rm x^{\tan^{-1}x}\) है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ ln y = ln \(\rm x^{\tan^{-1}x}\)

ln y = tan^-1 x (ln x)                      (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm {1\over y}{dy\over dx}\) = \(\rm {1\over1 + x^2}(\ln x) + \tan ^{-1}x\left({1\over x}\right)\)

\(\rm {dy\over dx}\) = y × \(\rm \left[{\ln x\over1 + x^2} + {\tan ^{-1}x\over x}\right]\)

\(\rm {dy\over dx}\) = \(\rm x^{\tan^{-1}x}\left[{\ln x\over1 + x^2} + {\tan ^{-1}x\over x}\right]\)

f'(x) = \(\rm {dy\over dx}\) = \(\rm x^{\tan^{-1}x}\left[{\ln x\over1 + x^2} + {\tan ^{-1}x\over x}\right]\)

अब f'(1) = \(\rm 1^{\tan^{-1}1}\left[{\ln 1\over1 + 1^2} + {\tan ^{-1}1\over 1}\right]\)

f'(1) = \(\rm \pi\over4\) या 45°