नीचे दिए गए संरक्षी सदिश क्षेत्र F के लिए, निम्नलिखित में से कौन सी अदिश विभव है?

F = (y².cosx + az³)a_x + (2y.sinx - 4)a_y + (3xz² + 2)a_z एक पूर्णांक है:

संकल्पना:

• एक संरक्षी क्षेत्र के लिए, एक बंद पथ के चारों ओर इकाई कणों को स्थानांतरित करने में किया गया कुल कार्य 0 होता है।

अर्थात \(\oint \vec F.dl = 0\)

• स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करके, इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है \(\nabla \times \vec F = 0\)
• एक संरक्षी सदिश क्षेत्र के लिए, जिसके लिए \(\nabla \times \vec F = 0\), F को एक अदिश V के प्रवणता के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह फलन V को संरक्षी सदिश क्षेत्र का अदिश विभव कहा जाता है।

गणना:

\(\vec F = \left( {{y^2}\cos x + a{z^3}} \right)\hat i + \left( {2y\sin x - 4} \right)\hat j\)

\( + \left( {3x{z^2} + 2} \right)\hat k\)

जहाँ a एक पूर्णांक है।

एक संरक्षी सदिश क्षेत्र के लिए \(\nabla \times \vec F = 0\)

उपरोक्त को हल करने पर, हमें a का मान प्राप्त होता है;

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k} \\ {\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}} \\ {{y^2}\cos x + a{z^3}}&{2y\sin x - 4}&{3x{z^2} + 2} \end{array}} \right| = 0\)

î (0 - 0) - ĵ (3z² + 0 - 3 az²) + k̂ (2y cos x - 2y cos x)

उपरोक्त के लिए एक 0 सदिश होने के लिए,

3 z² - 3 az² = 0

अर्थात a = 1

इसलिए,

\(\vec F = \left( {{y^2}\cos x + {z^3}} \right)\hat i + \left( {2y\sin x - 4} \right)\hat j +\)

\( \left( {3x{z^2} + z} \right)\hat k\)

F को \(\vec F = \nabla V\) को भी संतुष्ट करना चाहिए

साथ ही, F एक संरक्षी सदिश क्षेत्र है जिसे एक अदिश विभव V के प्रवणता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

और यह केवल विकल्प (2) के लिए है, कि उपरोक्त शर्त संतुष्ट है।

अर्थात यदि, V = xz³ + y² sin x - 4y + 2z

तब, \(\nabla .V = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {x{z^2} + {y^2}\sin x - 4y + 2z} \right)\hat i\)

\(+ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {x{z^3} + {y^2}\sin x + 4y + 2z} \right) + \frac{d}{{dz}}\left( {x{z^3} + {y^2}\sin x - 4y + 2z} \right)\)

= (y² cos x + z³) î + (2y sin x - 4) ĵ + (3xz² + 2) k̂, जो केवल है।