समतलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन की रेखा के माध्यम से समतल के समीकरण का पता लगाएं जो समतल x - y + z = 0 के लंबवत है।

अवधारणा:

यदि a1 x + b1 y + c1 z + d = 0 और a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 दो अलग-अलग समतलों का प्रतिनिधित्व करता है तो इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है: (a1 x + b1 y + c1 z + d) + λ (a2 x + b2 y + c2 z + d) = 0, जहां λ एक अदिश है।

यदि दो रेखाएं लंबवत हैं तो a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0

गणना:

यहाँ हमें समतलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 की उस रेखा के माध्यम से समतल के समीकरण का पता लगाना है

जैसा कि हम जानते हैं कि इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है: (a1 x + b1 y + c1 z + d) + λ (a2 x + b2 y + c2 z + d) = 0, जहां λ एक अदिश है।

⇒ (x + y + z - 1) + λ (2x + 3y + 4z - 5) = 0

⇒ (1 + 2λ)x + (3λ + 1)y + (1 + 4λ)z - 1 - 5λ = 0---------(1)

(1) द्वारा दर्शाए गए समतल के दिशा अनुपात हैं: (1 + 2λ), (3λ + 1), (1 + 4λ)

समतल x – y + z = 0 के दिशा अनुपात हैं: 1, - 1, 1

∵ समतल (1) द्वारा दर्शाया गया है और समतल x – y + z = 0 के लंबवत है

⇒ 1 + 2λ - 3λ - 1 + 1 + 4λ = 0

⇒ 3λ + 1 = 0

⇒ λ = - 1/3

λ = - 1/3 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं

⇒ x - z + 2 = 0

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है