समतलों 4x - 3y + 5z = 6 और x - y + z = 8 के प्रतिच्छेदन की रेखा से गुजरने वाले और समतल x - 4y - 2z = 9 के लंबवत होनेवाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अवधारणा:

यदि a1 x + b1 y + c1 z + d = 0 और a2 x + b2 y + c2 z + d = 0 दो अलग-अलग समतलों का प्रतिनिधित्व करता है तो इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है: (a1 x + b1 y + c1 z + d) + λ (a2 x + b2 y + c2 z + d) = 0, जहां λ एक अदिश है।

यदि दो रेखाएं लंबवत हैं तो a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0

गणना:

यहाँ हमें समतलों 4x - 3y + 5z = 6 और x - y + z = 8 के प्रतिच्छेदन की रेखा से गुजरने वाले और समतल x - 4y - 2z = 9 के लंबवत होनेवाले समतल का समीकरण ज्ञात करना है

जैसा कि हम जानते हैं कि इन समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है: (a1 x + b1 y + c1 z + d) + λ (a2 x + b2 y + c2 z + d) = 0, जहां λ एक अदिश है।

⇒ (4x - 3y + 5z - 6) + λ (x - y + z - 8) = 0

⇒ (4 + λ)x - (λ + 3)y + (5 + λ)z - 6 - 8λ = 0---------(1)

(1) द्वारा दर्शाए गए समतल के दिशा अनुपात हैं: (4 + λ), (- λ - 3), (5 + λ)

समतल x – 4y – 2z के दिशा अनुपात हैं: 1, - 4, - 2

∵ समतल (1) द्वारा दर्शाया गया है और समतल x – 4y – 2z = 9 के लंबवत है

⇒ 4 + λ + 4λ + 12 - 10 - 2λ = 0

⇒ 3λ + 6 = 0

⇒ λ = - 2

λ = - 2 को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 2x - y + 3z + 10 = 0

इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है