যদি \(\rm \int \sqrt{1 - sin 2x} \space dx\) = A sinx + B cosx + C হয়, যেখানে 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\), তবে নীচের কোনটি সঠিক?

ধারণা:

sin²x + cos²x = 1

\(\rm \int sin x dx = -cosx \)

\(\rm \int cos x dx = sin x \)

গণনা:

আমরা জানি \(\rm \int \sqrt{1 - sin 2x} \space dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ \(\rm \int (\sqrt{sin^{2}x + cos^{2}x - 2sinx cosx} )dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ \(\rm \int (\sqrt{(sinx - cosx)^{2}})dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ \(\rm \int (|(sinx - cosx)|)dx\) = A sinx + B cosx + C     ----(i)

যদি 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\) হয়, তবে sinx < cosx

⇒ |sinx - cosx| = -sinx + cosx    -----(ii)

এখন (i) ও (ii) থেকে আমরা পাই 

⇒ \(\rm \int (-\space sinx + cosx) \space dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ cosx + sinx + C = A sinx + B cosx + C

A = 1, B = 1 এবং C = 0 তুলনা করে পাই

সুতরাং, A + B - 2 = 0 সঠিক।