Triangles, Congruence and Similarity MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Triangles, Congruence and Similarity - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

△ABC இல், DE || AC

BD = 8 செ.மீ, AD = 7 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

அடிப்படை விகித சமனற்ற தேற்றம் (தாலஸ் தேற்றம்):

DE || AC எனில்,

இரண்டு ஒத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம், தொடர்புடைய பக்கங்களின் வர்க்கங்களுக்கு விகிதமாகும்.

பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (BD / AB)²

கணக்கீடு:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 செ.மீ

△BDE மற்றும் △ABC இன் பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (8/15)² = 64/225

ADEC சரிவகத்தின் பரப்பு = △ABC இன் பரப்பு - △BDE இன் பரப்பு

தேவையான விகிதம்:

△BDE இன் பரப்பு : ADEC இன் பரப்பு

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

∴ △BDE இன் பரப்புக்கும் ADEC சரிவகத்தின் பரப்புக்கும் உள்ள விகிதம் 64 : 161.

கொடுக்கப்பட்டது:

O என்பது PQR முக்கோணத்தின் உள்மையம்.

S என்பது QR பக்கத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி, OS ⊥ QR.

∠QOS = 15°.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

உள்மையம் என்பது முக்கோணத்தின் கோண இருசமவெட்டிகளின் வெட்டுப்புள்ளியாகும்.

ஒரு முக்கோணத்தில் கோணங்களின் கூடுதல் 180° ஆகும்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், இரண்டு குறுங்கோணங்களின் கூடுதல் 90° ஆகும்.

கணக்கீடு:

OQS முக்கோணத்தில், ∠OSQ = 90° (OS ⊥ QR என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).

∠QOS = 15° (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).

ஆகையால், ∠OQS = 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°.

O உள்மையம் என்பதால், OQ ஆனது ∠PQR ஐ இருசமப்படுத்துகிறது.

ஆகையால், ∠PQR = 2 x ∠OQS = 2 x 75° = 150°.

∴ ∠PQR = 150°.

கொடுக்கப்பட்டவை:

ஒத்த இரண்டு முக்கோணங்களின் இரண்டு ஒத்த பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதம் 17 : 13 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

ஒத்த இரண்டு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்தின் வர்க்கமாகும்.

கணக்கீடு:

ஒத்த பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதம் 17/13 ஆக இருக்கட்டும்.

முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதம்)²

⇒ பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (17/13)²

⇒ பரப்பளவுகளின் விகிதம் = 17² / 13²

⇒ பரப்பளவுகளின் விகிதம் = 289 / 169

இரண்டு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் 289 : 169 ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

ABC முக்கோணத்தில், \(\overline{AB} = 6 \, m , \overline{BC} = 8 \, m , \overline{AC} = 10 \, m .\)

PRQ முக்கோணத்தில், \(\overline{PR} = 8 \, m , \overline{PQ} = 10 \, m , \overline{RQ} = 6 \, m .\)

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

இரு முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால், அவை ஒருங்கமைந்தவை.

கணக்கீடு:

முக்கோணங்களின் பக்கங்களை ஒப்பிடுதல்:

ABC முக்கோணத்தில்:

AB = 6 மீ

BC = 8 மீ

AC = 10 மீ

PRQ முக்கோணத்தில்:

PR = 8 மீ

PQ = 10 மீ

RQ = 6 மீ

நாம் கவனிக்க:

AB என்பது RQ க்கு ஒத்தது

BC என்பது PR க்கு ஒத்தது

AC என்பது PQ க்கு ஒத்தது

எனவே, ABC முக்கோணம் RPQ முக்கோணத்துடன் பின்வரும் வரிசையில் பொருந்துகிறது:

Δ BCA ≅ Δ RPQ

சரியான விடை விருப்பம் 1:

Δ BCA ≅ △RPQ" id="MathJax-Element-52-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">△RPQ△RPQ" id="MathJax-Element-57-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">△RPQ△RPQ" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">△RPQ△RPQ" id="MathJax-Element-11-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">△RPQ△RPQ" id="MathJax-Element-55-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">△RPQ△RPQ △RPQ △RPQ △RPQ △RPQ $\triangle RPQ$

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு ஒத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 2:3 ஆகும்.

சிறிய முக்கோணத்தின் பரப்பு 36 சதுர செ.மீ ஆகும்.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒத்த முக்கோணங்களுக்கு, அவற்றின் பரப்புகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்தின் வர்க்கமாகும்.

கணக்கீடு:

பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பு A என்க.

பக்கங்களின் விகிதம் = 2:3

பரப்புகளின் விகிதம் = (2/3)²

⇒ (சிறிய முக்கோணத்தின் பரப்பு) / (பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பு) = (2/3)²

⇒ 36 / A = (2/3)²

⇒ 36 / A = 4/9

⇒ A = 36 x 9/4

⇒ A = 81

∴ சரியான விடை விருப்பம் 3.

கொடுக்கப்பட்டது:

ABC என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதில் ஒரு வட்டம் பொதிந்துள்ளது.

செங்கோணம் கொண்ட இரு பக்கங்களின் நீளம் 10 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ

கணக்கீடுகள்:

கர்ணம்² = 10² + 24² (பிதாகரஸ் தேற்றம்)

கர்ணம்= √676 = 26

முக்கோணத்தின் உள்ளே உள்ள வட்டத்தின்(உள்வட்டம்) ஆரம் = (செங்கோணத்தைக் கொண்ட பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை - கர்ணம்)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ சரியான தேர்வு விருப்பம் 4.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

ΔABC ~ ΔPQR

ΔABCஇன் பரப்பளவு = 64 செமீ²

ΔPQRஇன் பரப்பளவு  = 81 செமீ2

PT = 10.8 செமீ

ΔABCஇன் நடுக்கோடு AD ஆகும்.

ΔPQRஇன் நடுக்கோடு PT ஆகும்.

கோட்பாடு: 

இரண்டு ஒத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அடுத்துள்ள பக்கங்கள் மற்றும் நடுக்கோடுகளின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

(ΔABC)இன் பரப்பளவு/(ΔPQR)இன் பரப்பளவு = AD²/PT²

⇒ 64/81 = AD2/PT2 

⇒ √64/81 = AD/PT

⇒ 8/9 = AD/10.8 

∴ AD = 9.6 செமீ 

கொடுக்கப்பட்டது:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ΔPQR மற்றும் ΔDEF இன் பக்கங்கள் 5 ∶ 6 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன.

ar(PQR) = 75 செமீ²

பயன்படுத்தப்படும் கருத்துக்கள்:

ஒத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவு விகிதம் தொடர்புடைய முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் விகிதத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்.

கணக்கீடு:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ar(PQR)/ar(DEF) = (ΔPQR இன் பக்கம்/ΔDEF இன் பக்கம்) ²

⇒ 75 cm2/ar(DEF) = (5/6)2

⇒ ar(DEF) = 108 cm2

∴ ΔDEF இன் பரப்பளவு 108 செமீ ² க்கு சமம்.

கொடுக்கப்பட்டது:

AB (c) = 7 செ.மீ, CA (b) = 5√2 செ.மீ, BC = a

E மற்றும் F ஆகியவை ஏசி & ஏபியின் நடுப் புள்ளிகள்.

∠A = 135°

கருத்து:

cosine விதிப்படி

Cos A = (b2 + c2 - a2)/ 2bc

நடுப்புள்ளி தேற்றம்

EF = BC/2

கணக்கீடு:

கொசைன் விதியின் படி

\(cos135^0= \frac{(5\sqrt2)^2 + (7)^2 - (a)^2}{2\times7\times5\sqrt2}\)

⇒ \(\frac{-1}{\sqrt2}= \frac{(5\sqrt2)^2 + (7)^2 - (a)^2}{2\times7\times5\sqrt2}\)

⇒ \(-70= 50 + 49 - a^2 \)

⇒ a2 = 169

⇒ a = 13, a ≠ - 13

⇒ BC = 13

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்திலிருந்து

EF = BC/2 = 13/2 செ.மீ

∴ EF = 6.5 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டவை:

ΔABC இல், O என்பது செங்கோட்டு மையம் மற்றும் I என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் உள்மையமாகும்

∠BIC - ∠BOC = 90∘ எனில்

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

(1) ΔABC இல், I என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் உள்மையமாகும்

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C

(2) ΔABC இல், O என்பது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்கான செங்கோட்டு மையம் ஆகும்,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

கணக்கீடு:

கேள்வியின் படி, தேவையான படம்:

நாம் அறிந்த படி,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A    ----(2)

இப்போது, சமன்பாடு (2) இலிருந்து சமன்பாடு (1) ஐக் கழிக்கவும்.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ தேவையான பதில் 120∘.

Additional Information

(1) உள்மையம் - இது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோண இருசமக்கூறிடலின் வெட்டுப்புள்ளியாகும்.

(1.1) கோண இருசமக் கூறிடல் கோணத்தை இரண்டு சம பாதியாக வெட்டுகிறது.

(2) செங்கோட்டு மையம் - இது முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து எதிர் பக்கமாக வரையப்பட்ட மூன்று உயரங்களின் வெட்டுப்புள்ளியாகும்.

(2.1) ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம் எதிர் பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

AB = 8 செ.மீ, ∠A ஆனது BC ஐ D இல் வெட்டுவதற்கு உட்புறமாக பிரிக்கப்படுகிறது,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

கொடுக்கப்பட்டது:

ΔPQR இல்,

PQ = 12 செ.மீ., QR = 16 செ.மீ. மற்றும் PR = 20 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

a, b மற்றும் c முக்கோணத்தின் பக்கங்களைக் குறிக்கின்றன மற்றும் A முக்கோணத்தின் பகுதியைக் குறிக்கிறது,

பின்னர் சூழ்வட்ட ஆரம் (r) அளவு.

r = [abc/4A]

ஒரு பக்கத்தின் சதுரம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், பெரிய பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள கோணம் ஒரு செங்கோணமாகும்.

ஹைபோடென்யூஸ்² = செங்குத்து² + அடிப்பகுதி²

கணக்கீடு:

இங்கே, நாம் அதை பார்க்க முடியும்

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

எனவே, ΔPQR என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.

ΔPQR இன் பரப்பளவு = (½ ) × அடிப்படை × செங்குத்தாக

⇒ ΔPQR இன் பகுதி = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR இன் பரப்பளவு = 96 செமீ ²

சுற்றளவு (r) = [abc/4 × பகுதி]

சுற்றளவு (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 செ.மீ.

∴ ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு 10 செ.மீ.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு, சுற்றளவு மையமானது ஹைப்போடென்யூஸின் நடுப்பகுதியில் உள்ளது. ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து முனைகளும் சுற்றளவு மையத்திலிருந்து சமமான தொலைவில் உள்ளன.

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 செ.மீ

∴ ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவு 10 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

  Δ ABC ∼ Δ QPR, ,  \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{4}{9}\)

AC = 12 செமீ, AB= 18 செமீ மற்றும் BC  = 10 செமீ

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

Δ ABC ∼ Δ QPR ⇒ அந்தந்த பரப்பளவுகளின் விகிதம் = அந்தந்த பக்கங்களின் வர்க்க விகிதம்

அது, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

கணக்கீடு:

⇒ 4/9 = (10)2/PR2

⇒ PR2 = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 செ.மீ
Mistake Points

இந்த கேள்வியில், ΔABC என்பது ΔQPR ஐப் போன்றது என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ΔPQR என்று தவறாகப் படிக்க வேண்டாம்.

Δ ABC ∼ Δ QPR, ஒற்றுமை விதியைப் பயன்படுத்தும்போது இந்த தொடர்பு முக்கியமானது,

விகித வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டவை, உங்கள் குழப்புவதற்கு மட்டுமே

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 செ.மீ

கோண இருவெட்டு தேற்றத்தின் படி,

எனவே, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 செ.மீ

கொடுக்கப்பட்டது

AD = 12 செ.மீ., CD = 16 செ.மீ

பயன்படுத்திய சூத்திரம்

கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்,

AD/CD = AB/BC

முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = அனைத்து பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை

கணக்கீடு

Δ ABC இல், BD என்பது ∠B இன் கோண இருசமவெட்டி ஆகும்

AD/CD = AB/BC

⇒ 12/16 = AB/BC

⇒ AB : BC = 3 : 4

செங்கோண முக்கோணத்தின் மும்மடங்குகளிலிருந்து

AB = 3x மற்றும் BC = 4x என்றால்

பிறகு AC = 5x

AC = 12 + 16 = 28 செ.மீ

⇒ 5x = 28 செ.மீ

⇒ x = 5.6 செ.மீ

முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = 5x + 3x + 4x = 12x

⇒ 67.2 செ.மீ

∴ தேவையான பதில் 67.2 செ.மீ