Basic Problems MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Basic Problems - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

△ABC இல், DE || AC

BD = 8 செ.மீ, AD = 7 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

அடிப்படை விகித சமனற்ற தேற்றம் (தாலஸ் தேற்றம்):

DE || AC எனில்,

இரண்டு ஒத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம், தொடர்புடைய பக்கங்களின் வர்க்கங்களுக்கு விகிதமாகும்.

பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (BD / AB)²

கணக்கீடு:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 செ.மீ

△BDE மற்றும் △ABC இன் பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (8/15)² = 64/225

ADEC சரிவகத்தின் பரப்பு = △ABC இன் பரப்பு - △BDE இன் பரப்பு

தேவையான விகிதம்:

△BDE இன் பரப்பு : ADEC இன் பரப்பு

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

∴ △BDE இன் பரப்புக்கும் ADEC சரிவகத்தின் பரப்புக்கும் உள்ள விகிதம் 64 : 161.

கொடுக்கப்பட்டவை:

முக்கோண ABC இல், AB = AC.

BC என்பது D ஆக நீட்டிக்கப்படுகிறது, இதனால் CD = AB மற்றும் ∠ADC = 30° ஆகும்.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில், அடிப்பக்க கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.

எந்த முக்கோணத்திலும் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை = 180°.

கணக்கீடு:

AB = AC மற்றும் CD = AB என்பதால்

எனவே, AB = AC = CD

Δ ACD இல்,

AC = CD

எனவே, ∠ ADC = ∠ DAC = 30°

மேலும், ∠ ACD = 180 - (∠ ADC + ∠ DAC)

⇒ ∠ ACD = 180 - (30 + 30) = 180 - 60 = 120°

இப்போது,

∠ ACB = 180 - ∠ ACD = 180 - 120 = 60°

AB = BC என்பதால்,

∠ ABC = ∠ ACB = 60°

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் 60 ° ஆக இருப்பதால், மூன்றாவது கோணமும் 60° ஆக இருக்கும் (ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருப்பதால்)

எனவே, முக்கோண ABCயின் கோணங்கள் 60°, 60° மற்றும் 60° ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

∆PQR இல், PR = 10 செ.மீ

ST∥QR

PS = 6 செ.மீ

QS = 14 செ.மீ

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

ஒத்த முக்கோணங்களில், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

ST∥QR என்பதால், ∆PST ∼ ∆PQR

$\frac{PS}{PQ}=\frac{PT}{PR}$

PT = x செ.மீ என்க

PQ = PS + QS

PQ = 6 + 14

PQ = 20 செ.மீ

ஒத்த விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி:

$\frac{6}{20}=\frac{x}{10}$

⇒ 6 x 10 = 20 x x

⇒ 60 = 20x

⇒ x = $\frac{60}{20}$

⇒ x = 3 செ.மீ

PT இன் நீளம் 3 செ.மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம், குறுகிய பக்கத்தின் இரு மடங்கை விட 6 மீட்டர் அதிகம். மூன்றாவது பக்கம் கர்ணத்தை விட 2 மீட்டர் குறைவாக இருக்கிறது.

கருத்து:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், பக்கங்களுக்கு இடையேயான தொடர்பு பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் கொடுக்கப்படுகிறது: a² + b² = c², இங்கு c என்பது கர்ணம்.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

பித்தகோரியன் தேற்றம்: a² + b² = c²

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: (1/2) x அடிப்படை x உயரம்

கணக்கீடு:

குறுகிய பக்கம் x மீட்டர் என்க.

கர்ணம் = 2x + 6 மீட்டர்

மூன்றாவது பக்கம் = (2x + 6) - 2 = 2x + 4 மீட்டர்

பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி:

⇒ x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²

⇒ x² + (4x² + 16x + 16) = (4x² + 24x + 36)

⇒ x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36

⇒ 5x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36

⇒ x² - 8x - 20 = 0

இருபடி சமன்பாடு x² - 8x - 20 = 0 ஐ தீர்க்க:

⇒ x = [8 ± sqrt((8)² - 4 x 1 x (-20))]/2 x 1

⇒ x = [8 ± sqrt(64 + 80)]/2

⇒ x = [8 ± sqrt(144)]/2

⇒ x = [8 ± 12]/2

⇒ x = 10 மீட்டர் (நேர்மறை மதிப்பை எடுத்துக்கொள்)

எனவே, குறுகிய பக்கம் 10 மீட்டர்.

கர்ணம் = 2x + 6 = 2 x 10 + 6 = 26 மீட்டர்

மூன்றாவது பக்கம் = 2x + 4 = 2 x 10 + 4 = 24 மீட்டர்

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:

⇒ (1/2) x அடிப்படை x உயரம்

⇒ (1/2) x 10 x 24

⇒ 120 சதுர மீட்டர்

∴ முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 120 சதுர மீட்டர்.

கொடுக்கப்பட்டது:

ABC மற்றும் DEF என்ற இரண்டு முக்கோணங்கள் ஒத்தவை.

ABC இன் மிகச்சிறிய பக்கம் 15 அலகுகள்.

ABC இன் பக்கங்கள் 3 ∶ 4 ∶ 5 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன.

DEF இன் பரப்பளவு ABC இன் பரப்பளவை விட பாதி.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

ஒத்த முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் விகிதம் = தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம்

ஒத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் = (தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம்)²

கணக்கீடு:

முக்கோணம் ABC இன் பக்கங்கள் 3x, 4x மற்றும் 5x என்க.

ABC இன் மிகச்சிறிய பக்கம் 15 அலகுகள் எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

3x = 15

⇒ x = 15 / 3

⇒ x = 5

எனவே, முக்கோணம் ABC இன் பக்கங்கள் 3x5 = 15 அலகுகள், 4x5 = 20 அலகுகள் மற்றும் 5x5 = 25 அலகுகள்.

முக்கோணம் DEF இன் பக்கங்கள் a, b மற்றும் c என்க, இதில் c மிகப்பெரிய பக்கம்.

DEF இன் பரப்பளவு ABC இன் பரப்பளவை விட பாதி என்பதால்:

ABC மற்றும் DEF இன் பரப்பளவுகளின் விகிதம் = 2:1

எனவே, (தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம்)² = 2

⇒ தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம் =

எனவே, ABC முதல் DEF வரையிலான பக்கங்களின் விகிதம் 1:

DEF இன் மிகப்பெரிய பக்கம்:

25 /

⇒ 25/√2

DEF இன் மிகப்பெரிய பக்கம் 25/√2 அலகுகள்.

AB = 8 செ.மீ, ∠A ஆனது BC ஐ D இல் வெட்டுவதற்கு உட்புறமாக பிரிக்கப்படுகிறது,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

கொடுக்கப்பட்டவை,

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நீளம் 3 செ.மீ மற்றும் 8 செ.மீ ஆகும், அதன் மூன்றாம் பக்கத்தின் நீளம் x செ.மீ ஆக உள்ளது

நமக்கு தெரிந்தபடி,

முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் மொத்தத்தொகை எப்போதும் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

∴ முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை > முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கம்.

⇒ 3 + 8 > மூன்றாம் பக்கம்

⇒ 11 > x

மேலும்,

மற்றொரு முறை,

⇒ x + 3 > 8

⇒ x > 8 - 3

⇒ x > 5

∴ 5 < x < 11

கோட்பாடு:

ஒத்த முக்கோணங்கள்:

ஒத்த முக்கோணங்கள் என்பவை ஒரே வடிவம் கொண்ட ஆனால் அவற்றின் அளவுகளில் மாறுபடும் முக்கோணங்கள் ஆகும்.

பண்புகள்:

• இரண்டும் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன ஆனால் அளவுகள் வேறுபட்டிருக்கலாம்
• ஒவ்வொரு இணை தொடர்புடைய கோணங்களும் சமானவை.
• தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதமும் சமமானது.

கணக்கீடு:

ΔADE மற்றும் ΔABC இல்,

∠A ஆனது பொதுவானது 

∠D = ∠B மற்றும் ∠E = ∠C

∴ ΔADE ∼ ΔABC

ஒத்த முக்கோணத்தின் பண்புக்கேற்ப நாம் பெறுவது,

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

$\begin{array}{l}\frac{4}{4+3}=\frac{DE}{BC}\\ \frac{DE}{BC}=\frac{4}{7}\end{array}$

அதைப்போலவே, ΔDOE மற்றும் ΔBOC இல்,

∠DEO = ∠OBC (தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமானவை)

∠DOE = ∠BOC (குத்தெதிர் கோணங்கள்)

∴ ΔDEO ∼ ΔOBC

$\begin{array}{l}\frac{DE}{BC}=\frac{DO}{OC}\\ \frac{DO}{OC}=\frac{4}{7}\end{array}$

எனவே, $\frac{DO}{DC}=\frac{4}{4+7}=\frac{4}{11}$

கொடுக்கப்பட்டது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்கள் = 12.8 மீ & 9.6 மீ

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = 1/2 × அடிப்பகுதி × உயரம்

கணக்கீடு:

தொடர்புடைய பக்கத்தின் உயரம் 12.8 மீ = h

1/2 × 9.6 × 12 = 1/2 × 12.8 × மணிh

⇒ (9.6 × 12)/12.8 = h

⇒ h = 9 மீ

∴ 12.8 மீ நீளமுள்ள பக்கத்துடன் தொடர்புடைய முக்கோணத்தின் உயரம் = 9 மீ

கொடுக்கப்பட்டது:

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதம் = 5 : 4 : 3

முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = 84 செ.மீ

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

முக்கோணத்தின் சுற்றளவு = பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை

கணக்கீடுகள்:

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 5x, 4x மற்றும் 3x ஆக இருக்கட்டும், அதனால் அவை 5: 4: 3 விகிதத்தில் இருக்கும்.

∴ 5x + 4x + 3x = 84

⇒ 12x = 84

⇒ x = 7 செ.மீ

எனவே, முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் 35, 28 மற்றும் 21 மீட்டர்.

∴ மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் 35 மீ. 

கொடுக்கப்பட்டது:

a பக்கத்தின் நீளம்  = 13 அங்குலம்

b பக்கத்தின் நீளம்  = 15 அங்குலம்

c பக்கத்தின் நீளம்  = 14 அங்குலம்

பயன்படுத்திய சூத்திரம்:

ஹெரானின் சூத்திரம்: ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = $\surd (s(s-a)(s-b)(s-c))$ , இங்கு s என்பது முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு.

தீர்வு:

முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

முதலில், முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவை நாம் கணக்கிட வேண்டும்:

s = (a + b + c)/2

⇒ (13 + 15 + 14)/2

⇒ 21

அடுத்து, முக்கோணத்தின் பரப்பளவை கண்டறிய ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

பரப்பளவு = $\surd (s(s-a)(s-b)(s-c))$

⇒ $\surd (21(21-13)(21-15)(21-14))$

⇒ √(21(8)(6)(7))

⇒ √(2⁴ x 3² x 7²)

⇒ 84

எனவே, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 84 சதுர அங்குலம்.

கணக்கீடு:

பின்வரும் படத்தை கவனியுங்கள்:

MN || EF

⇒ ∆DMN என்பது ∆DEF ஐப் போன்றது

⇒ DM/DE= DN/DF = MN/EF

கொடுக்கப்பட்டது,

MN /EF = 2 ∶ 5 மற்றும் DE = 60

⇒ 2/5 = DM/60

⇒ DM = 2 × 12 = 24 செ.மீ

∴ ME = DE + DM = 60 - 24 = 36 செ.மீ

∴ விருப்பம் 4 சரியான பதில்.

இங்கே, ΔPRM மற்றும் ΔMRN ஆகியவை இருசமபக்க முக்கோணங்கள்

மேலும் ΔRPN இல்,

⇒ ∠RPM + ∠RNP = 102°         ….(i)     [வெளிப்பக்க கோண பண்பு]

⇒ ∠MRN = ∠MNR

⇒ ∠MRN + ∠MNR = ∠RMP     …(ii)       [வெளிப்பக்க கோண பண்பு]

⇒ 2∠RNP = ∠RMP = ∠RPM

(i) மற்றும் (ii) ஆகியவற்றில் இருந்து நாம் பெறுவது,

⇒ 3/2(∠RPM) = 102°

⇒ ∠RPM = 68°

∴ சரியான விருப்பம் 2) ஆகும்.

ΔABC இல்,

F என்பது AB இன் நடுப்புள்ளி மற்றும் E என்பது AC இன் நடுப்புள்ளி.

∴ நடுப்புள்ளி தேற்றம் மூலம்,

EF ∥ BC

∴ EF ∥ BC       ----(1)

⇒ EF = BC/2       ----(2)

D என்பது BC இன் நடுப்புள்ளி என்பதால்,

⇒ EF = BD ----(3)

சமன்பாடு 1 மற்றும் 3 இலிருந்து,

⇒ BDEF என்பது இணைகரம்

BE மற்றும் DF ஆகியவை X இல் சந்திக்கின்றன.

இதேபோல், DCEF என்பது இணைகரம்.

DE மற்றும் CF ஆகியவை Y இல் சந்திக்கின்றன.

∵ X மற்றும் Y ஆகியவை முறையே DF மற்றும் DE பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளாகும்.

ΔDEF இல்,

X என்பது DF இன் நடுப்புள்ளி மற்றும் Y என்பது DE இன் நடுப்புள்ளி.

∴ நடுப்புள்ளி தேற்றம் மூலம்,

⇒ XY = EF/2 ----(4)

சமன்பாடு 3 மற்றும் 4 இலிருந்து

⇒ XY = BC/4

கருத்து:

அதே வெளிப்புற புள்ளியில் இருந்து, ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோடு பகுதிகள்

சமமாக உள்ளன.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட, AB = 10 செ.மீ., AC = 8.6 செ.மீ. மற்றும் BC = 6.4 செ.மீ.

BE = x cm மற்றும் CF = y cm எனலாம்

நாம் அறிந்தபடி,

BE = BD [தொடுகோடுகள்]

DC = CF [தொடுகோடுகள்]

AE = AF [தொடுகோடுகள்]

AB + BE = AC + CF

⇒ 10 + x = 8.6 + y

⇒ x – y = 8.6 – 10

⇒ x – y = - 1.4 ----(1)

BD + DC = 6.4

⇒ x + y = 6.4 ----(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் சமன்பாடு (2) இலிருந்து

⇒ x = 2.5

∴ BE = 2.5 செ.மீ