जिवीकांचे प्रमेय MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Theorem on Chords - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

जीवेची लांबी 16 सेमी आणि त्रिज्या 10 सेमी आहे.

वापरलेली संकल्पना:

वर्तुळाची त्रिज्या वर्तुळाच्या जीवेला लंबदुभाजित करते.

वापरलेला सूत्र:

काटकोन त्रिकोणात, पायथागोरस प्रमेयानुसार

(कर्ण)² = (लंब)² + (पाया)² 

गणना:

समजा दोन जीवा AB = 16 सेमी आहेत

वर्तुळाची त्रिज्या लंबदुभाजित होते म्हणून,

AL = BL = 16/2 = 8 सेमी

Δ AOL मध्ये, ∠ALO = 90°

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 सेमी

म्हणून, वर्तुळाच्या केंद्रापासून त्या जीवेचे अंतर 6 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिज्या (r) = 17 सेमी

केंद्रापासून जीवेचे अंतर (d) = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र:

जीवेची लांबी = 2√(r² - d²)

गणना:

जीवेची लांबी = 2√(17² - 15²)

⇒ जीवेची लांबी = 2√(289 - 225)

⇒ जीवेची लांबी = 2√64

⇒ जीवेची लांबी = 2 × 8

⇒ जीवेची लांबी = 16 सेमी

म्हणूनच योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

दिले:

5 एकक आणि 8 एकक लांबीच्या दोन समांतर जीवा 7 एकक त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या केंद्राच्या विरुद्ध बाजूस आहेत.

आपल्याला जीवामधील अंतर शोधण्याची आवश्यकता आहे.

वापरलेले सूत्र:

काटकोन त्रिकोणात:

OM = √(r² - AM²), जेथे OM हे केंद्रापासून जीवेपर्यंतचे लंब अंतर आहे.

गणना:

5 युनिट लांबीच्या जीवा साठी:

⇒ AM = 1/2 × 5 = 2.5 एकके

⇒ OM² = r² - AM²

⇒ OM = √(7² - 2.5²)

⇒ OM = √(४९ - ६.२५)

⇒ OM = √42.75 = 6.54 एकके

8 युनिट लांबीच्या जीवा साठी:

⇒ CN = 1/2 × 8 = 4 एकके

⇒ ON² = r² - CN²

⇒ चालू = √(7² - 4²)

⇒ चालू = √(४९ - १६)

⇒ ON = √33 = 5.74 युनिट्स

म्हणून, जीवांमधील अंतर:

⇒ अंतर = OM + ON

⇒ अंतर = 6.54 + 5.74 = 12.28 एकके

∴ जीवामधील अंतर 12.28 एकके आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

एका वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD, तयार केल्यावर, वर्तुळाच्या बाहेर P बिंदूवर छेदतात. जर AB = 6 सेमी, CD = 3 सेमी आणि PD = 5 सेमी

गणना:

PA × PB = PC × PD

(6 + x) x = 8 × 5

⇒ x2 + 6x - 40 = 0

⇒ x2 + 10x - 4x - 40

⇒ (x + 10) (x - 4) = 0

⇒ x = 4

∴ PB ची किंमत 4 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्तुळाचा व्यास = 26 सेमी

वर्तुळाची त्रिज्या (r) = 26/2 = 13 सेमी

जीवांची लांबी = 10 सेमी प्रत्येक

दोन्ही जीवांमधील अंतर = h सेमी

वापरलेले सूत्र:

2a लांबीच्या जीवासाठी, वर्तुळाच्या केंद्रापासून लंब अंतर खालीलप्रमाणे दिले जाते:

d = √(r² - a²)

जिथे r = त्रिज्या, a = जीवाच्या लांबीचा अर्धा

गणना:

जीवाच्या लांबीचा अर्धा (a) = 10/2 = 5 सेमी

लंब अंतरासाठी सूत्र वापरून:

d = √(13² - 5²)

d = √(169 - 25) = √144

⇒ d = 12 सेमी

दोन्ही जीवांमधील अंतर = 2d = 2 × 12 = 24 सेमी

∴ h चे मूल्य 24 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

वापरलेले सूत्र:

दोन जीवा AB आणि CD बिंदू X वर छेदत असल्यास.

तर, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

म्हणून, k चे मूल्य 4 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

∠BAC = 60°

वापरलेली संकल्पना:

एका वर्तुळाच्या मध्यभागी असलेल्या लंबाद्वारे जोडलेला कोन वर्तुळाच्या उर्वरित भागावरील कोणत्याही बिंदूने जोडलेला कोन दुप्पट असतो.

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

दिलेले आहे:

∠APB = 122°

वापरलेली संकल्पना:

चक्रीय चौकोनाच्या विरुद्ध बाजूंची बेरीज 180° आहे

वर्तुळाच्या कमानीने त्याच्या केंद्रस्थानी असलेला कोन वर्तुळाच्या परिघावर कोठेही कमी करतो त्याच्या दुप्पट असतो.

गणना:

दिलेल्या आकृतीत,

APBT हा चक्रीय चौकोन आहे.

∠ATB + ∠APB = 180° [विरुद्ध कोनांची बेरीज 180° आहे]

⇒ x° + 122° = 180° 

⇒ x = (180° – 122°)

⇒ x = 58° 

∠ATB = 58° 

आणि आपल्याला माहित आहे की वर्तुळाच्या कमानीने त्याच्या केंद्रस्थानी असलेला कोन वर्तुळाच्या परिघावर कुठेही कमी केला तर त्याच्या दुप्पट असतो.

⇒ ∠AOB = 2 × ∠ATB

⇒ ∠AOB = 2 × 58° 

⇒ ∠AOB = 116° 

आता,

OA = OB [वर्तुळाची त्रिज्या]

तर,

∠OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180° 

⇒ θ + 116° + θ = 180° 

⇒ 2θ + 116° = 180° 

⇒ 2θ = (180° – 116°)

⇒ 2θ = 64° 

⇒ θ = 32° 

तर,

∠OAB = θ = 32° 

∴ ∠OAB चे आवश्यक मूल्य 32° आहे.

Shortcut Trick 

वरील दिलेल्या आकृतीवरून आपल्याकडे आहे

⇒ θ = P - 90°

⇒ θ = 122° - 90° = 32°

∴ योग्य उत्तर 32° आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन वर्तुळांची त्रिज्या 12 सेमी आणि 5 सेमी आहे. त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर 25 सेमी आहे.

वापरलेले सूत्र:

दोन वर्तुळांच्या थेट सामाईक स्पर्शिकेची लांबी = \(\sqrt {D^2 - (r_1 - r_2)^2}\) (D = त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर, r₁ = मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या आणि r₂ = लहान त्रिज्या

गणना:

केंद्रे P आणि Q वर असू द्या.

QN = मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 12 सेमी

PM = लहान वर्तुळाची त्रिज्या = 5 सेमी

MN ला थेट सामान्य स्पर्शिका असू द्या.

सूत्रानुसार,

MN ची लांबी

⇒ \(\sqrt {25^2 - (12 - 5)^2}\)

⇒ \(\sqrt {576}\)

⇒ 24 सेमी

∴ थेट सामाईक स्पर्शिकेची लांबी 24 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

जीवा = 21 सेमी

व्यास = 25 सेमी

संकल्पना:

जीवेवर मध्यभागी काढलेला लंब, जीवा दोन समान भागांमध्ये विभाजित करतो.

पायथागोरस प्रमेय:

OA² = OD² + AD²

गणना:

21 सेमी लांबीची जीवा ही AB मानू.

⇒ OD हे लंब अंतर मानू

⇒ AO ही वर्तुळाची त्रिज्या मानू 

OA2 = OD2 + AD2

⇒ (25/2)² = OD2 + (21/2)²

⇒ 625/4 = OD2 + 441/4 

⇒ OD2 = 625/4 - 441/4 = 184/4 = 46 

∴ OD = √46 

दिलेले आहे: 

AB आणि CD या वर्तुळाच्या दोन जीवा आहेत ज्या बाहेरून P या बिंदूवर छेदतात

AB = 4 सेमी, CD = 11 सेमी आणि PD = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र :

जर AB आणि CD या दोन जीवा बाह्य बिंदू P वर छेदतात तर,

PA × PB = PC × PD 

गणना:

PA ची लांबी 'x' मानू

PC = PD - CD

⇒ 15 - 11

⇒ PC = 4 सेमी

प्रश्नानुसार,

PA × PB = PC × PD 

x × (x + 4) = 15 × 4 

⇒ x = 6 

PB = PA + AB 

⇒ 6 + 4 

⇒ 10 

∴ PB ची लांबी 10 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

∠ACB = 40°

वापरलेली संकल्पना:

केंद्रस्थानी वर्तुळाच्या कंसाद्वारे दर्शविलेला कोन हा वर्तुळाच्या उर्वरित भागाच्या इतर कोणत्याही बिंदूवर वर्तुळाकार केलेला कोनाच्या दुप्पट असतो.

गणना:

जसे आपल्याला माहित आहे की,

∠AOB = 2 × ∠ACB     

⇒ ∠AOB = 2 × 40 = 80°

∴  ∠AOB हा कोन 80° आहे.

Confusion Pointsत्रिकोणाच्या बाबतीत 90° + ∠A/2 सूत्र वापरले जाते

दिले:

या दोन वर्तुळांच्या व्यासाची बेरीज 84 सेमी आहे

गणना:

एका वर्तुळाचा व्यास = 84/2 = 42 सेमी

वर्तुळाची त्रिज्या = 42/2 = 21 सेमी

चित्रानुसार,

AD = DB

O 1 O 2 = 21

पुन्हा O 1 A = O 2 A = 21 [वर्तुळाची त्रिज्या]

∠ADO 1 = 90°

O 1 D = O 2 D = 21/2

AD = √(४४१ - ४४१/४)

⇒ २१√३/२

AB = 2 × 21√3/2 = 21√3

∴ सामान्य जीवाची लांबी 21√3 सेमी आहे

दिलेले आहे:

पहिल्या जीवेची लांबी = 12 सेमी

दुसऱ्या जीवेची लांबी = 20 सेमी

वर्तुळाची त्रिज्या = 5√13 सेमी

गणना:

OB = OD = 5 √13 सेमी

AB = 12 सेमी, CD = 20 सेमी, AM = MB = 12/2 = 6 सेमी आणि CN = ND = 20/2 = 10 सेमी

Δ MBO मध्ये,

OB2 = MB2 + MO2

⇒ (5 √13)2 = 62 + OM2

⇒ OM2 = 325 – 36 = 289

⇒ OM = √289 = 17

Δ NDO मध्ये,

OD2 = ND2 + NO2

⇒ (5 √13)2 = 102 + NO2

⇒ ON2 = 325 – 100 = 225

ON = √225 = 15

जसे आपल्याला माहित आहे की,

OM = MN + ON

⇒ 17 = MN + 15

⇒ MN = 17 - 15 = 2 सेमी

∴ पर्याय (4) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

वर्तुळाच्या दोन जीवा AB आणि CD वर्तुळाच्या बाहेर F बिंदूला छेदतात.

AF = 12 सेमी

BF = 4 सेमी

CF = 16 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

जर वर्तुळाच्या दोन जीवा AB आणि CD वर्तुळाच्या बाहेर F बिंदूवर छेदल्या तर,

AF × BF = CF × DF

गणना:

DF एक सेमी मानूया

तर, संकल्पनेनुसार,

AF × BF = CF × DF

⇒ 12 × 4 = 16 × a

⇒ 48 = 16a

⇒ a = 48/16

⇒ a = 3

म्हणून, DF = 3

आता,

CD = CF - DF

⇒ CD = 16 - 3

⇒ CD = 13 सेमी

∴ CDची लांबी 13 सेमी आहे.