Sum and Difference Identities MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Sum and Difference Identities - मोफत PDF डाउनलोड करा

गणना : 

cot (A - B) = \(\rm \frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}\)

⇒ Cot15° = Cot(45° - 30°)

⇒ Cot(45° - 30°) = Cot45°Cot30° + 1/Cot30° - Cot45° 

⇒ 1 × √3 + 1/√3 - 1

⇒ √3 + 1/√3 - 1

⇒ √3 + 1/√3 - 1 ×  √3 + 1/√3 + 1

⇒ (√3 + 1)²/2 

⇒ (3 + 1 + 2√3)/2

⇒ (2√3 + 4)/2

⇒ √3 + 2

∴ योग्य उत्तर √3 + 2 आहे.

वापरलेले सूत्र:

Sin (A - B) = sin A × cos B - cos A × sin B

Sin (A + B) = sin A × cos B + cos A × sin B

गणना:

\(\rm \left(\frac{\sin (x-y)}{\sin(x+y)}\right)\rm \left(\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}\right)\)

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × {(sin x/cos x) + (sin y/cos y)}/{(sin x/cos x) + (sin y/cos y)}

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × {(sin x × cos y) + (sin y × cos x/(cos x) × (cos y)}/{(sinx × cos y) + (sin y × cos x)/(cos x) × (cosy)}

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × (sin x × cos y) + (siny × cos x)/(sin x × cos y) + (sin y × cos x)

⇒ 1

∴ योग्य उत्तर 1 आहे.

Alternate Methodगणना:

जर आपण x = 45° आणि y = 0° ठेवले तर,

\(\rm \left(\frac{\sin (x-y)}{\sin(x+y)}\right)\rm \left(\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}\right)\) 

⇒ sin (45 - 0)/sin(45 + 0) × {(tan 45 + tan 0)/(tan 45 - tan 0)}

⇒ sin 45/sin 45 × {(1 + 0)/(1 - 0)} 

⇒ 1

∴ योग्य उत्तर 1 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे :

sin (5x - 25°) = cos(5y + 25°), जेथे 5x - 25° आणि 5y + 25° लघुकोन असतील

वापरलेली संकल्पना :

Sinθ = cos (90°- θ)

गणना :

प्रश्नानुसार,

 sin (5x - 25°) = cos(5y + 25°)

⇒ sin (5x - 25°) = sin 90 - (5y + 25°)

⇒ (5x - 25°) = 90° - (5y + 25°) 

⇒ 5x + 5y =  90

⇒ x + y =  90/5

⇒ x + y =  = 18° 

∴ योग्य उत्तर पर्याय 3 हे आहे.

दिल्याप्रमाणे: 

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

वापरलेले सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b.

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ cos(A – B) नित्यसमीकरण ओळखा,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

म्हणून, cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) चे मूल्य cos(2A) आहे.

वापरलेले सूत्र:

 cos(A + B) = cos A cos B - sin A 

गणना:

Cos 75° = cos (45° + 30°)

⇒ cos 45° × cos 30° - sin 45° × sin 30°

⇒ (1/√2)  × (√3/2)  - (1/√2)  × (1/2)

⇒ (√3/2√2) - (1/2√2)

⇒ (√3 - 1)/2√2

⇒ √2 × (√3 - 1)/(2√2 × √2)

⇒ \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)

∴ योग्य उत्तर \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) हे आहे.

दिल्याप्रमाणे: 

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

वापरलेले सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b.

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ cos(A – B) नित्यसमीकरण ओळखा,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

म्हणून, cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) चे मूल्य cos(2A) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

वापरलेली संकल्पना:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ आवश्यक उत्तर cos (2A + 2B) आहे.

वापरलेले सूत्र:

 cos(A + B) = cos A cos B - sin A 

गणना:

Cos 75° = cos (45° + 30°)

⇒ cos 45° × cos 30° - sin 45° × sin 30°

⇒ (1/√2)  × (√3/2)  - (1/√2)  × (1/2)

⇒ (√3/2√2) - (1/2√2)

⇒ (√3 - 1)/2√2

⇒ √2 × (√3 - 1)/(2√2 × √2)

⇒ \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)

∴ योग्य उत्तर \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) हे आहे.

वापरलेले सूत्र:

Sin (A - B) = sin A × cos B - cos A × sin B

Sin (A + B) = sin A × cos B + cos A × sin B

गणना:

\(\rm \left(\frac{\sin (x-y)}{\sin(x+y)}\right)\rm \left(\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}\right)\)

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × {(sin x/cos x) + (sin y/cos y)}/{(sin x/cos x) + (sin y/cos y)}

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × {(sin x × cos y) + (sin y × cos x/(cos x) × (cos y)}/{(sinx × cos y) + (sin y × cos x)/(cos x) × (cosy)}

⇒ (sin x × cos y - cos x × sin y)/(sin x × cos y + cos x × sin y) × (sin x × cos y) + (siny × cos x)/(sin x × cos y) + (sin y × cos x)

⇒ 1

∴ योग्य उत्तर 1 आहे.

Alternate Methodगणना:

जर आपण x = 45° आणि y = 0° ठेवले तर,

\(\rm \left(\frac{\sin (x-y)}{\sin(x+y)}\right)\rm \left(\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y}\right)\) 

⇒ sin (45 - 0)/sin(45 + 0) × {(tan 45 + tan 0)/(tan 45 - tan 0)}

⇒ sin 45/sin 45 × {(1 + 0)/(1 - 0)} 

⇒ 1

∴ योग्य उत्तर 1 आहे.

गणना : 

cot (A - B) = \(\rm \frac{\cot A\cot B+1}{\cot B-\cot A}\)

⇒ Cot15° = Cot(45° - 30°)

⇒ Cot(45° - 30°) = Cot45°Cot30° + 1/Cot30° - Cot45° 

⇒ 1 × √3 + 1/√3 - 1

⇒ √3 + 1/√3 - 1

⇒ √3 + 1/√3 - 1 ×  √3 + 1/√3 + 1

⇒ (√3 + 1)²/2 

⇒ (3 + 1 + 2√3)/2

⇒ (2√3 + 4)/2

⇒ √3 + 2

∴ योग्य उत्तर √3 + 2 आहे.

वापरलेली संकल्पना:

वापरलेले सूत्र:

• cos (π - θ) = - cos θ
• cot (90 +  θ) = - tan θ 
• cos (-θ) = cos θ  
• tan (π + θ) = tan θ 
• tan (3π/2 + θ) = - cot θ 
• sin (2π - θ) = - sin θ

गणना:

\(\rm \frac{{\cos (π - A).\cot \left( {\frac{π }{2} + A} \right)\cos ( - A)}}{{\tan (π + A)\tan \left( {\frac{{3π }}{2} + A} \right)\sin (2π - A)}}\)

वरील सूत्र वापरून
\(\rm \frac{{\ (-cos A)\ . \ ( {-tan A} )\ \ .\ cos A}}{{\tan A\ .\ (-cot A ).\ (-sin A)}}\)

⇒ \(\frac{cos A\ .\ cos A}{cot A\ . \ sin A}\)

परंतु,  cos θ / sin θ =  cot θ  

⇒ - cot A. cos A/ cot A

⇒ cos A

∴ योग्य उत्तर cos A आहे.

दिलेल्याप्रमाणे :

sin (5x - 25°) = cos(5y + 25°), जेथे 5x - 25° आणि 5y + 25° लघुकोन असतील

वापरलेली संकल्पना :

Sinθ = cos (90°- θ)

गणना :

प्रश्नानुसार,

 sin (5x - 25°) = cos(5y + 25°)

⇒ sin (5x - 25°) = sin 90 - (5y + 25°)

⇒ (5x - 25°) = 90° - (5y + 25°) 

⇒ 5x + 5y =  90

⇒ x + y =  90/5

⇒ x + y =  = 18° 

∴ योग्य उत्तर पर्याय 3 हे आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

a = 45° आणि b = 15

वापरलेली संकल्पना:

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

गणना:

(a - b) = 45° - 15° = 30°

(a + b) = 45° + 15° = 60°

आता, \({\cos (a - b) - \cos (a + b)} \over {\cos(a - b) + \cos(a + b)}\)

⇒ \({\cos 30^\circ - \cos 60^\circ} \over {\cos30^\circ + \cos 60^\circ}\)

⇒ \({\frac {\sqrt3}{2} - \frac {1}{2} } \over {\frac {\sqrt3}{2} + \frac {1}{2} }\)

⇒ \({\sqrt3 - 1} \over {\sqrt3 + 1}\)

⇒ \({(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 - 1)} \over {(\sqrt3 + 1)(\sqrt3 - 1)}\)

⇒ \((3 + 1 - 2\sqrt3) \over {3 - 1}\)

⇒ 2 - √3

∴ सरलीकृत मूल्य 2 - √3 आहे.

दिल्याप्रमाणे: 

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

वापरलेले सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b.

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ cos(A – B) नित्यसमीकरण ओळखा,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

म्हणून, cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) चे मूल्य cos(2A) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

वापरलेली संकल्पना:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ आवश्यक उत्तर cos (2A + 2B) आहे.