Integration using Partial Fractions MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Integration using Partial Fractions - मोफत PDF डाउनलोड करा
Last updated on Mar 17, 2025
Latest Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
Integration using Partial Fractions Question 1:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx=?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 1 Detailed Solution
दिलेले आहे:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
संकल्पना:
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)
आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू
\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)
गणना:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)
आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू
\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)
दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू
\(\rm A+B+C=0\) .........(1)
\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि
\(\rm -2A=3\)
\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)
समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू
\(\rm 2A+3B=2\)
A चे मूल्य ठेवू
\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)
\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)
आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे
\(\rm C=\frac{-1}{6}\)
आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)
\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.
Integration using Partial Fractions Question 2:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx=?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 2 Detailed Solution
दिलेले आहे:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
संकल्पना:
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)
आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू
\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)
गणना:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)
आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू
\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)
दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू
\(\rm A+B+C=0\) .........(1)
\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि
\(\rm -2A=3\)
\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)
समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू
\(\rm 2A+3B=2\)
A चे मूल्य ठेवू
\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)
\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)
आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे
\(\rm C=\frac{-1}{6}\)
आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)
\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.
Integration using Partial Fractions Question 3:
मूल्यमापन करा: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 3 Detailed Solution
संकल्पना :
आंशिक अपूर्णांक :
|
भाजकातील अवयव |
संबंधित आंशिक अपूर्णांक |
|
(x - अ) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) २ |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) ३ |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
गणना :
येथे आपल्याला \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.
चला \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
आपल्याला माहित आहे की \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
Top Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
मूल्यमापन करा: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना :
आंशिक अपूर्णांक :
|
भाजकातील अवयव |
संबंधित आंशिक अपूर्णांक |
|
(x - अ) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) २ |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) ३ |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
गणना :
येथे आपल्याला \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.
चला \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
आपल्याला माहित आहे की \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx=?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
संकल्पना:
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)
आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू
\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)
गणना:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)
आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू
\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)
दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू
\(\rm A+B+C=0\) .........(1)
\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि
\(\rm -2A=3\)
\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)
समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू
\(\rm 2A+3B=2\)
A चे मूल्य ठेवू
\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)
\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)
आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे
\(\rm C=\frac{-1}{6}\)
आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)
\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.
Integration using Partial Fractions Question 6:
मूल्यमापन करा: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 6 Detailed Solution
संकल्पना :
आंशिक अपूर्णांक :
|
भाजकातील अवयव |
संबंधित आंशिक अपूर्णांक |
|
(x - अ) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) २ |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) ३ |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
गणना :
येथे आपल्याला \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.
चला \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल
(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
आपल्याला माहित आहे की \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) जेथे C हा स्थिरांक आहे
Integration using Partial Fractions Question 7:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx=?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 7 Detailed Solution
दिलेले आहे:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
संकल्पना:
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)
आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू
\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)
गणना:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)
आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू
\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)
दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू
\(\rm A+B+C=0\) .........(1)
\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि
\(\rm -2A=3\)
\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)
समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू
\(\rm 2A+3B=2\)
A चे मूल्य ठेवू
\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)
\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)
आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे
\(\rm C=\frac{-1}{6}\)
आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)
\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.
Integration using Partial Fractions Question 8:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx=?\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 8 Detailed Solution
दिलेले आहे:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
संकल्पना:
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)
आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू
\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)
गणना:
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)
आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू
\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)
आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू
\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)
दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू
\(\rm A+B+C=0\) .........(1)
\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि
\(\rm -2A=3\)
\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)
समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू
\(\rm 2A+3B=2\)
A चे मूल्य ठेवू
\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)
\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)
आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे
\(\rm C=\frac{-1}{6}\)
आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू
\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)
\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)
\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)
म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.