त्रिकोणाचे केंद्रके MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Centres of a Triangle - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

त्रिकोण PQR चा अंतःकेंद्र O आहे.

S हा QR वरील बिंदू आहे असा की OS ⊥ QR.

∠QOS = 15°.

वापरलेले सूत्र:

अंतःकेंद्र हे त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकांचे छेदनबिंदू असते.

त्रिकोणातील कोनांची बेरीज 180° असते.

काटकोन त्रिकोणात, दोन लघुकोनांची बेरीज 90° असते.

गणना:

त्रिकोण OQS मध्ये, ∠OSQ = 90° (दिलेले आहे OS ⊥ QR).

∠QOS = 15° (दिलेले आहे).

म्हणून, ∠OQS = 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°.

O हा अंतःकेंद्र असल्याने, OQ हा ∠PQR चा दुभाजक आहे.

म्हणून, ∠PQR = 2 x ∠OQS = 2 x 75° = 150°.

म्हणून ∠PQR = 150°.

∠DBP = ∠PBC = a° समजा

आणि ∠ECP + ∠PCB = b° देखील

∠ABC = 180° - 2a° आणि ∠ACB = 180° - 2b°

ΔABC मध्ये,

180° - 2a° + 72° + 180° - 2b° = 180°

a° + b° = 126°

ΔPBC मध्ये,

a° + b° + x° = 180°

x° = 180° - 126° = 54°

∠BPC = 90° - (1/2) × ∠A

येथे, ∠A = 72°

∴ ∠BPC = 90° - (1/2) × 72°

⇒ ∠BPC = 90° - 36° = 54°

दिलेले आहे:

ΔDEF आणि ΔGHI हे दोन एकरूप त्रिकोण आहेत

DE = 64 सेमी

GH = 24 सेमी

ΔGHI ची परिमिती = 72 सेमी

वापरलेले सूत्र:

एकरूप त्रिकोणांमध्ये, संबंधित बाजूंचे गुणोत्तर समान असते.

जर \(\frac{DE}{GH} = \frac{EF}{HI} = \frac{FD}{GI}\) असेल, तर परिमितींचे गुणोत्तर देखील संबंधित बाजूंच्या गुणोत्तरासमान असते.

गणना:

संबंधित बाजूंचे गुणोत्तर = \(\frac{DE}{GH} = \frac{64}{24}\) = \(\frac{8}{3}\)

⇒ परिमितींचे गुणोत्तर = 8/3

समजा, ΔDEF ची परिमिती P _DEF आहे.

⇒ \(\frac{P_{DEF}}{72} = \frac{8}{3}\)

⇒ \(P_{DEF} = 72 \times \frac{8}{3} \)

⇒ \(P_{DEF} = 192 \) सेमी

EF आणि FD च्या लांबीची बेरीज = P _DEF - DE

⇒ 192 - 64 = 128 सेमी

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.

दिले:

त्रिकोणाचे कोन 2 ∶ 4 ∶ 6 या प्रमाणात आहेत आणि त्याची परिक्रमा 12 सेमी आहे.

संकल्पना:

परिक्रमा R आणि कोन A, B, C असलेल्या त्रिकोणासाठी, या कोनांच्या विरुद्ध बाजू a, b, c सूत्र वापरून शोधल्या जाऊ शकतात:

वापरलेले सूत्र:

a = 2R sin A

b = 2R पाप B

c = 2R पाप C

गणना:

प्रथम, त्रिकोणाचे कोन शोधा:

⇒ कोन 2x, 4x, 6x असू द्या

⇒ 2x + 4x + 6x = 180°

⇒ 12x = 180°

⇒ x = 15°

अशा प्रकारे, कोन आहेत:

⇒ A = 2x = 30°

⇒ B = 4x = 60°

⇒ C = 6x = 90°

आता, बाजू शोधण्यासाठी परिक्रमाडियस R = 12 सेमी वापरा:

⇒ a = 2 × 12 × \sin 30°

⇒ a = 24 × 1/2

⇒ a = 12 सेमी

⇒ b = 2 × 12 × sin 60°

⇒ b = 24 × √3/2

⇒ b = 12√3 सेमी

⇒ c = 2 × 12 × sin 90°

⇒ c = 24 × 1

⇒ c = 24 सेमी

∴ त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी 12 सेमी, 12√3 सेमी आणि 24 सेमी आहे.

दिले:

∠ABC = 70º

∠ACB = 50º

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणामध्ये, कोनांची बेरीज 180º असते.

∠A + ∠B + ∠C = 180º

केंद्रासाठी, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

गणना:

∠A = 180º - (∠ABC + ∠ACB)

⇒ ∠A = 180º - (70º + 50º)

⇒ ∠A = 60º

आता, ∠BOC = 90º + (∠A/2)

⇒ ∠BOC = 90º + (60º/2)

⇒ ∠BOC = 90º + 30º

⇒ ∠BOC = 120º

∴ योग्य उत्तर पर्याय (1) आहे.

दिलेली माहिती:

ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे. त्यात एक वर्तुळ कोरलेले आहे.

काटकोन असलेल्या दोन बाजूंची लांबी 10 सेमी आणि 24 सेमी आहे

गणना :

कर्ण² = 10² + 24²    (पायथागोरस प्रमेय)

कर्ण = √676 = 26

त्रिकोणाच्या आतील वर्तुळाची त्रिज्या (वर्तुळाकार) = ( काटकोन असलेल्या बाजूंची बेरीज - कर्ण)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ योग्य निवड पर्याय 4 ही आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे आणि I हे अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे.

जर ∠BIC - ∠BOC = 90∘.

वापरलेले सूत्र:

(1) ΔABC मध्ये, I हे दिलेल्या त्रिकोणासाठी अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे,

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C

(2) ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

गणना:

प्रश्नानुसार, आवश्यक आकृती पुढीलप्रमाणे आहे:

आपल्याला माहित आहे,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A    ----(2)

आता, समीकरण (2) मधून समीकरण (1) वजा करु.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ आवश्यक उत्तर 120∘ हे आहे.

Additional Information

(1) अंतर्वर्तुळ केंद्र - हा त्रिकोणाच्या तीनही कोन दुभाजकांचा छेदनबिंदू असतो.

(1.1) कोन दुभाजक हा कोनानां दोन समान अर्ध्य भागांमध्ये विभाजित करतो.

(2) लंबसंपात बिंदू - हा शिरोबिंदूपासून त्रिकोणाच्या विरुद्ध बाजूस काढलेल्या तीनही शिरोलंबाचा छेदनबिंदू असतो.

(2.1) त्रिकोणाचा शिरोलंब विरुद्ध बाजूस लंब असतो.

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔPQR मध्ये,

PQ = 12 सेमी, QR = 16 सेमी आणि PR = 20 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

a, b आणि c त्रिकोणाच्या बाजू दर्शवतात आणि A हा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दर्शवतो,

तर परिमिती (r) चे माप आहे.

r = [abc/4A]

जर एका बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल, तर सर्वात मोठ्या बाजूच्या विरुद्ध असलेला कोन काटकोन असतो.

कर्ण² = लंब² + पाया²

गणना:

येथे, आपण ते पाहू शकतो

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

म्हणून, ΔPQR हा काटकोन त्रिकोण आहे.

ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × पाया × लंब

⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = 96 सेमी²

परित्रिज्या (r) = [abc/4 × क्षेत्रफळ]

परित्रिज्या (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 सेमी

∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.

काटकोन त्रिकोणासाठी, परिकेंद्र हे कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असते. त्रिकोणाचे सर्व शिरोबिंदू परिकेंद्रापासून समान अंतरावर असतात.

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 सेमी

∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

मध्यभागी O आणि ∠QOR = 110°

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोण PQR मध्ये, जर O मध्यभागी असेल तर 

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

गणना:

प्रश्नानुसार

∠QOR = 90° + ∠QPR/2

110° = 90° + ∠QPR/2

⇒ ∠QPR/2 = 20° 

⇒ ∠QPR = 40° 

∴ ∠QPR = 40°.

Additional Information 

मध्याभागी, ∠BIC = 90° + ∠A/2

परिक्रमा केंद्र, ∠BSC = 2∠A

दिलेले आहे:

POR = 140 अंश

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा अंतःकेंद्र त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंस समान प्रमाणात झुकलेला असतो.

अंतःकेंद्रावरील कोन = 90° + शिरोकोन/2

गणना:

संकल्पनेनुसार,

90° + ∠PQR/2 = 140°

⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°

⇒ ∠PQR/2 = 50°

⇒ ∠PQR = 100°

∴ कोन PQR हा 100° आहे.

दिलेले आहे:

ΔABC मध्ये, लंब AG, BH आणि CI हे एकमेकांना O येथे भेटतात.

∠B = 44°, ∠C = 66°

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज 180° असते.

लंब ज्या बिंदुला भेटतात त्याला लंबसंपात म्हणतात.

दिलेल्या बाजूमुळे लंबसंपातपाशी तयार झालेला कोन = [180° - (दिलेल्या बाजूचा विरुद्ध कोन)]

गणना:

त्रिकोणाच्या बेरीज गुणधर्मानुसार,

∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ ∠A + 44° + 66° = 180°

⇒ ∠A = 180° - 110°

⇒ ∠A = 70°

दिलेल्या बाजूमुळे लंबसंपातपाशी तयार झालेला कोन = [180° - (दिलेल्या बाजूचा विरुद्ध कोन)]

⇒ ∠BOC = 180° - 70° = 110°

∴ ∠BOC = 110°.

दिलेले आहे:

ΔABC मध्ये

AB = 48 सेमी, BC = 55 सेमी आणि AC = 73 सेमी.

O हा त्रिकोणाचा केंद्रबिंदू आहे.

वापरलेली संकल्पना:

केंद्रबिंदू मध्याला 2 : 1 गुणोत्तरामध्ये विभाजित करतो

काटकोन त्रिकोणात

काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून मध्यकाची लांबी = कर्णाची लांबी/2

गणना:

48, 55, आणि 73 हे एक त्रिक आहे

त्यामुळे, ΔABC हा काटकोन त्रिकोण आहे, आणि∠B = 90° 

आपल्याला माहीत आहे की काटकोन त्रिकोणात 

काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून मध्यकाची लांबी = कर्णाची लांबी/2

म्हणून, BM = AC/2 = 73/2

आणि आपल्याला माहीत आहे की OB : OM = 2 : 1 

म्हणून, OB = (2/3) × (73/2) = 24.33

∴ OB ची लांबी 24.33 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

परि-त्रिज्या = 14 सेमी 

वापरलेले सूत्र:

परि-त्रिज्या, r = a/√3

मध्यगाची लांबी = समभुज त्रिकोणाची उंची = √3a/2

जेथे, a = समभुज त्रिकोणाची बाजू

गणना:

⇒ r = a/√3

⇒ a = 14√3

आता, मध्यगाची लांबी = √3a/2

⇒ (√3 × 14√3)/2 = 21 सेमी

∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले आहे :

O हे त्रिकोणाचे परिकेंद्र आहे.

∠BOC = 60°

वापरलेले सूत्र:

मध्यभागी असलेला कोन वर्तुळातील आंतरित कोनाच्या दुप्पट असतो.

गणना:

∠BOC = 2 × ∠BAC

⇒ 60° = 2 × ∠BAC

⇒ ∠BAC = 30° 

∴ ∠BAC = 30° आहे.

त्रिकोण ABC चे क्षेत्रफळ = 156 सेमी²

AD, BE आणि CF या बिंदू G वरील परस्परच्छेदी मध्यगा आहेत

म्हणून, D, E आणि F बिंदूंना जोडणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्रिकोण ABC चा 1/4 वा भाग असेल

त्रिकोण DEF चे क्षेत्रफळ = (1/4) × 156 = 39 सेमी²

आता, G देखील त्रिकोणाचा मध्यगासंपात असेल.

त्रिकोण FGE चे क्षेत्रफळ = त्रिकोण DFG चे क्षेत्रफळ = त्रिकोण DGE चे क्षेत्रफळ = (1/3) × त्रिकोण DEF चे क्षेत्रफळ