त्रिकोणाचे केंद्रके MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Centres of a Triangle - मोफत PDF डाउनलोड करा
Last updated on Jun 9, 2025
Latest Centres of a Triangle MCQ Objective Questions
त्रिकोणाचे केंद्रके Question 1:
त्रिकोण PQR चा अंतःकेंद्र O आहे आणि QR बाजूवरील बिंदू S असा आहे की OS ⊥ QR. जर ∠QOS = 15°, तर ∠PQR = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 1 Detailed Solution
दिलेले आहे:
त्रिकोण PQR चा अंतःकेंद्र O आहे.
S हा QR वरील बिंदू आहे असा की OS ⊥ QR.
∠QOS = 15°.
वापरलेले सूत्र:
अंतःकेंद्र हे त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकांचे छेदनबिंदू असते.
त्रिकोणातील कोनांची बेरीज 180° असते.
काटकोन त्रिकोणात, दोन लघुकोनांची बेरीज 90° असते.
गणना:
त्रिकोण OQS मध्ये, ∠OSQ = 90° (दिलेले आहे OS ⊥ QR).
∠QOS = 15° (दिलेले आहे).
म्हणून, ∠OQS = 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°.
O हा अंतःकेंद्र असल्याने, OQ हा ∠PQR चा दुभाजक आहे.
म्हणून, ∠PQR = 2 x ∠OQS = 2 x 75° = 150°.
म्हणून ∠PQR = 150°.
त्रिकोणाचे केंद्रके Question 2:
△ABC च्या AB आणि AC बाजू अनुक्रमे D आणि E बिंदूंवर तयार केल्या जातात. ∠CBD आणि ∠BCE चे दुभाजक P वर भेटतात. जर ∠A = 72°, तर ∠P चे माप आहे:
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 2 Detailed Solution
∠DBP = ∠PBC = a° समजा
आणि ∠ECP + ∠PCB = b° देखील
∠ABC = 180° - 2a° आणि ∠ACB = 180° - 2b°
ΔABC मध्ये,
180° - 2a° + 72° + 180° - 2b° = 180°
a° + b° = 126°
ΔPBC मध्ये,
a° + b° + x° = 180°
x° = 180° - 126° = 54°
∠BPC = 90° - (1/2) × ∠A
येथे, ∠A = 72°
∴ ∠BPC = 90° - (1/2) × 72°
⇒ ∠BPC = 90° - 36° = 54°
त्रिकोणाचे केंद्रके Question 3:
ΔDEF आणि ΔGHI हे दोन एकरूप त्रिकोण आहेत. जर DE = 64 सेमी, GH = 24 सेमी आणि ΔGHI ची परिमिती 72 सेमी असेल, तर ΔDEF च्या EF आणि FD च्या बाजूंच्या लांबीची बेरीज किती (सेमीमध्ये) असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 3 Detailed Solution
दिलेले आहे:
ΔDEF आणि ΔGHI हे दोन एकरूप त्रिकोण आहेत
DE = 64 सेमी
GH = 24 सेमी
ΔGHI ची परिमिती = 72 सेमी
वापरलेले सूत्र:
एकरूप त्रिकोणांमध्ये, संबंधित बाजूंचे गुणोत्तर समान असते.
जर \(\frac{DE}{GH} = \frac{EF}{HI} = \frac{FD}{GI}\) असेल, तर परिमितींचे गुणोत्तर देखील संबंधित बाजूंच्या गुणोत्तरासमान असते.
गणना:
संबंधित बाजूंचे गुणोत्तर = \(\frac{DE}{GH} = \frac{64}{24}\) = \(\frac{8}{3}\)
⇒ परिमितींचे गुणोत्तर = 8/3
समजा, ΔDEF ची परिमिती P DEF आहे.
⇒ \(\frac{P_{DEF}}{72} = \frac{8}{3}\)
⇒ \(P_{DEF} = 72 \times \frac{8}{3} \)
⇒ \(P_{DEF} = 192 \) सेमी
EF आणि FD च्या लांबीची बेरीज = P DEF - DE
⇒ 192 - 64 = 128 सेमी
∴ पर्याय (2) योग्य आहे.
त्रिकोणाचे केंद्रके Question 4:
त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी शोधा, जर त्याचे कोन 2 ∶ 4 ∶ 6 या गुणोत्तरात असतील आणि त्याचा परिक्रमा 12 सेमी असेल.
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 4 Detailed Solution
दिले:
त्रिकोणाचे कोन 2 ∶ 4 ∶ 6 या प्रमाणात आहेत आणि त्याची परिक्रमा 12 सेमी आहे.
संकल्पना:
परिक्रमा R आणि कोन A, B, C असलेल्या त्रिकोणासाठी, या कोनांच्या विरुद्ध बाजू a, b, c सूत्र वापरून शोधल्या जाऊ शकतात:
वापरलेले सूत्र:
a = 2R sin A
b = 2R पाप B
c = 2R पाप C
गणना:
प्रथम, त्रिकोणाचे कोन शोधा:
⇒ कोन 2x, 4x, 6x असू द्या
⇒ 2x + 4x + 6x = 180°
⇒ 12x = 180°
⇒ x = 15°
अशा प्रकारे, कोन आहेत:
⇒ A = 2x = 30°
⇒ B = 4x = 60°
⇒ C = 6x = 90°
आता, बाजू शोधण्यासाठी परिक्रमाडियस R = 12 सेमी वापरा:
⇒ a = 2 × 12 × \sin 30°
⇒ a = 24 × 1/2
⇒ a = 12 सेमी
⇒ b = 2 × 12 × sin 60°
⇒ b = 24 × √3/2
⇒ b = 12√3 सेमी
⇒ c = 2 × 12 × sin 90°
⇒ c = 24 × 1
⇒ c = 24 सेमी
∴ त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी 12 सेमी, 12√3 सेमी आणि 24 सेमी आहे.
त्रिकोणाचे केंद्रके Question 5:
ABC हा त्रिकोण असू द्या की ∠ABC = 70° आणि ∠ACB = 50°. O हे त्रिकोणाचे केंद्र असू द्या. ∠BOC शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 5 Detailed Solution
दिले:
∠ABC = 70º
∠ACB = 50º
वापरलेले सूत्र:
त्रिकोणामध्ये, कोनांची बेरीज 180º असते.
∠A + ∠B + ∠C = 180º
केंद्रासाठी, ∠BOC = 90º + (∠A/2)
गणना:
∠A = 180º - (∠ABC + ∠ACB)
⇒ ∠A = 180º - (70º + 50º)
⇒ ∠A = 60º
आता, ∠BOC = 90º + (∠A/2)
⇒ ∠BOC = 90º + (60º/2)
⇒ ∠BOC = 90º + 30º
⇒ ∠BOC = 120º
∴ योग्य उत्तर पर्याय (1) आहे.
Top Centres of a Triangle MCQ Objective Questions
ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे. त्यात एक वर्तुळ कोरलेले आहे. काटकोन असलेल्या दोन बाजूंची लांबी ही 10 सेमी आणि 24 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेली माहिती:
ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे. त्यात एक वर्तुळ कोरलेले आहे.
काटकोन असलेल्या दोन बाजूंची लांबी 10 सेमी आणि 24 सेमी आहे
गणना :
कर्ण² = 10² + 24² (पायथागोरस प्रमेय)
कर्ण = √676 = 26
त्रिकोणाच्या आतील वर्तुळाची त्रिज्या (वर्तुळाकार) = ( काटकोन असलेल्या बाजूंची बेरीज - कर्ण)/2
⇒ (10 + 24 - 26)/2
⇒ 8/2
⇒ 4
∴ योग्य निवड पर्याय 4 ही आहे.
ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे आणि I हे अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे, जर ∠BIC - ∠BOC = 90∘ असेल तर ∠A शोधा.
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणे:
ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे आणि I हे अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे.
जर ∠BIC - ∠BOC = 90∘.
वापरलेले सूत्र:
(1) ΔABC मध्ये, I हे दिलेल्या त्रिकोणासाठी अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे,
(1.1) ∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A
(1.2) ∠AIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠B
(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C
(2) ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे,
(2.1) ∠BOC = 180∘ - ∠A
(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C
(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B
गणना:
प्रश्नानुसार, आवश्यक आकृती पुढीलप्रमाणे आहे:
आपल्याला माहित आहे,
∠BOC = 180∘ - ∠A ----(1)
∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A ----(2)
आता, समीकरण (2) मधून समीकरण (1) वजा करु.
⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A - (180∘ - ∠A )
⇒ 90∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A - 180∘ + ∠A
⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A - 90∘
⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A
⇒ ∠A = 120∘
∴ आवश्यक उत्तर 120∘ हे आहे.
Additional Information
(1) अंतर्वर्तुळ केंद्र - हा त्रिकोणाच्या तीनही कोन दुभाजकांचा छेदनबिंदू असतो.
(1.1) कोन दुभाजक हा कोनानां दोन समान अर्ध्य भागांमध्ये विभाजित करतो.
(2) लंबसंपात बिंदू - हा शिरोबिंदूपासून त्रिकोणाच्या विरुद्ध बाजूस काढलेल्या तीनही शिरोलंबाचा छेदनबिंदू असतो.
(2.1) त्रिकोणाचा शिरोलंब विरुद्ध बाजूस लंब असतो.
ΔPQR हा O केंद्र असलेल्या परिवर्तुळात आहे. जर PQ = 12 सेमी, QR = 16 सेमी आणि PR = 20 सेमी असेल, तर त्रिकोणाची परित्रिज्या काढा.
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेल्याप्रमाणे:
ΔPQR मध्ये,
PQ = 12 सेमी, QR = 16 सेमी आणि PR = 20 सेमी
वापरलेली संकल्पना:
a, b आणि c त्रिकोणाच्या बाजू दर्शवतात आणि A हा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दर्शवतो,
तर परिमिती (r) चे माप आहे.
r = [abc/4A]
जर एका बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल, तर सर्वात मोठ्या बाजूच्या विरुद्ध असलेला कोन काटकोन असतो.
कर्ण2 = लंब2 + पाया2
गणना:
येथे, आपण ते पाहू शकतो
(20)2 = (16)2 + (12)2 = 400
⇒ PR2 = QR2 + PQ2
म्हणून, ΔPQR हा काटकोन त्रिकोण आहे.
ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × पाया × लंब
⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × 16 × 12
⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = 96 सेमी2
परित्रिज्या (r) = [abc/4 × क्षेत्रफळ]
परित्रिज्या (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 सेमी
∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.
काटकोन त्रिकोणासाठी, परिकेंद्र हे कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असते. त्रिकोणाचे सर्व शिरोबिंदू परिकेंद्रापासून समान अंतरावर असतात.
PO = QO = OR = r
⇒ PO = PR/2
⇒ PO = 20/2 = 10 सेमी
∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.
त्रिकोण PQR मध्ये, ∠QOR = 110° जिथे O हा त्रिकोण PQR च्या मध्यभागी आहे, तर ∠QPR चे माप किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
मध्यभागी O आणि ∠QOR = 110°
वापरलेले सूत्र:
त्रिकोण PQR मध्ये, जर O मध्यभागी असेल तर
∠QOR = 90° + ∠QPR/2
गणना:
प्रश्नानुसार
∠QOR = 90° + ∠QPR/2
110° = 90° + ∠QPR/2
⇒ ∠QPR/2 = 20°
⇒ ∠QPR = 40°
∴ ∠QPR = 40°.
Additional Information
मध्याभागी, ∠BIC = 90° + ∠A/2
परिक्रमा केंद्र, ∠BSC = 2∠A
O हे त्रिकोण PQR चे अंतःकेंद्र आहे. जर कोन POR = 140 अंश असेल, तर कोन PQR किती असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
POR = 140 अंश
वापरलेली संकल्पना:
त्रिकोणाचा अंतःकेंद्र त्रिकोणाच्या सर्व बाजूंस समान प्रमाणात झुकलेला असतो.
अंतःकेंद्रावरील कोन = 90° + शिरोकोन/2
गणना:
संकल्पनेनुसार,
90° + ∠PQR/2 = 140°
⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°
⇒ ∠PQR/2 = 50°
⇒ ∠PQR = 100°
∴ कोन PQR हा 100° आहे.
ΔABC मध्ये, लंब AG, BH आणि CI हे एकमेकांना O येथे भेटतात. जर ∠B = 44°, ∠C = 66°, ∠BOC चे मूल्य किती?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
ΔABC मध्ये, लंब AG, BH आणि CI हे एकमेकांना O येथे भेटतात.
∠B = 44°, ∠C = 66°
वापरलेली संकल्पना:
त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज 180° असते.
लंब ज्या बिंदुला भेटतात त्याला लंबसंपात म्हणतात.
दिलेल्या बाजूमुळे लंबसंपातपाशी तयार झालेला कोन = [180° - (दिलेल्या बाजूचा विरुद्ध कोन)]
गणना:
त्रिकोणाच्या बेरीज गुणधर्मानुसार,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 44° + 66° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 110°
⇒ ∠A = 70°
दिलेल्या बाजूमुळे लंबसंपातपाशी तयार झालेला कोन = [180° - (दिलेल्या बाजूचा विरुद्ध कोन)]
⇒ ∠BOC = 180° - 70° = 110°
∴ ∠BOC = 110°.
ΔABC मध्ये, AB = 48 सेमी, BC = 55 सेमी आणि AC = 73 सेमी. O हा त्रिकोणाचा केंद्रबिंदू असल्यास, BO ची लांबी (सेमी मध्ये) किती आहे? (एक दशांश स्थानापर्यंत योग्य)
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
ΔABC मध्ये
AB = 48 सेमी, BC = 55 सेमी आणि AC = 73 सेमी.
O हा त्रिकोणाचा केंद्रबिंदू आहे.
वापरलेली संकल्पना:
केंद्रबिंदू मध्याला 2 : 1 गुणोत्तरामध्ये विभाजित करतो
काटकोन त्रिकोणात
काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून मध्यकाची लांबी = कर्णाची लांबी/2
गणना:
48, 55, आणि 73 हे एक त्रिक आहे
त्यामुळे, ΔABC हा काटकोन त्रिकोण आहे, आणि∠B = 90°
आपल्याला माहीत आहे की काटकोन त्रिकोणात
काटकोनाच्या शिरोबिंदूपासून मध्यकाची लांबी = कर्णाची लांबी/2
म्हणून, BM = AC/2 = 73/2
आणि आपल्याला माहीत आहे की OB : OM = 2 : 1
म्हणून, OB = (2/3) × (73/2) = 24.33
∴ OB ची लांबी 24.33 सेमी आहे.
एका समभुज त्रिकोणामध्ये, परित्रिज्या 14 सेमी आहे. या त्रिकोणातील मध्यगाची लांबी किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे:
परि-त्रिज्या = 14 सेमी
वापरलेले सूत्र:
परि-त्रिज्या, r = a/√3
मध्यगाची लांबी = समभुज त्रिकोणाची उंची = √3a/2
जेथे, a = समभुज त्रिकोणाची बाजू
गणना:
⇒ r = a/√3
⇒ a = 14√3
आता, मध्यगाची लांबी = √3a/2
⇒ (√3 × 14√3)/2 = 21 सेमी
∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.
ΔABC मध्ये, O हे त्रिकोणाचे परिकेंद्र आहे आणि ∠BOC = 60°, तर ∠BAC चे माप काय असेल?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिलेले आहे :
O हे त्रिकोणाचे परिकेंद्र आहे.
∠BOC = 60°
वापरलेले सूत्र:
मध्यभागी असलेला कोन वर्तुळातील आंतरित कोनाच्या दुप्पट असतो.
गणना:
∠BOC = 2 × ∠BAC
⇒ 60° = 2 × ∠BAC
⇒ ∠BAC = 30°
∴ ∠BAC = 30° आहे.
त्रिकोण ABC मध्ये, AD, BE आणि CF या बिंदू G वरील परस्परच्छेदी मध्यगा आहेत आणि त्रिकोण ABC चे क्षेत्रफळ 156 सेमी2 आहे. त्रिकोण FGE चे क्षेत्रफळ (सेमी2 मध्ये) किती आहे?
Answer (Detailed Solution Below)
Centres of a Triangle Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFत्रिकोण ABC चे क्षेत्रफळ = 156 सेमी2
AD, BE आणि CF या बिंदू G वरील परस्परच्छेदी मध्यगा आहेत
म्हणून, D, E आणि F बिंदूंना जोडणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्रिकोण ABC चा 1/4 वा भाग असेल
त्रिकोण DEF चे क्षेत्रफळ = (1/4) × 156 = 39 सेमी2
आता, G देखील त्रिकोणाचा मध्यगासंपात असेल.
त्रिकोण FGE चे क्षेत्रफळ = त्रिकोण DFG चे क्षेत्रफळ = त्रिकोण DGE चे क्षेत्रफळ = (1/3) × त्रिकोण DEF चे क्षेत्रफळ
∴ त्रिकोण FGE चे क्षेत्रफळ = (1/3) × 39 = 13 सेमी2