Taylor Series, Laurent Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Taylor Series, Laurent Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

$\mathrm{f}(\mathrm{z})=(1-\mathrm{z}){\mathrm{e}}^{(\mathrm{z}+\frac{{\mathrm{z}}^2}{2})}$ = $1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$

हम जानते हैं कि z = 0 पर f(z) का टेलर श्रृंखला विस्तार है

f(z) = $1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$ जहां a _n = $\frac{f^n(0)}{n!}$

अब, f'(z) = - $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ + (1 - z) $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ (1 + z) = -z ² $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$

(1) सत्य है

a ₁ = $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$ = 0/1 = 0

साथ ही, f''(z) = -2z $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ - z ² $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ (1 + z)

f''(0) = 0

तो a ₂ = $\frac{f^{″}(0)}{2!}$ = 0/2 = 0

अत: a1 = a2 

(2) सत्य है

इसी प्रकार खोज सकते हैं कि a n ∈ (-∞, 0]

(3) सत्य है

अतः (4) असत्य है

संकल्पना -

$(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+x^3+....$

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है  $\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}={\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\in$

$\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{z}(1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2{)}^{-1}=\mathrm{z}(1-(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2){)}^{-1}$

अब प्राप्त सूत्र का प्रयोग करने पर-

$\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{z}(1+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2)+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^2+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^3+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^4+....)$

अब हम a6 और a5 का मान ज्ञात करना चाहते हैं, इसलिए a6 और a5, z6 और z5 के गुणांक है, इसलिए उपरोक्त समीकरण को हल करने के बाद हमें प्राप्त होता है -

$a_5{z}^5=(1+3+1)z^{5}and{a}_6{z}^6=(3+2+2+1)z^6$

इसलिए, a6 और a5 के मान 8 और 5 है

अत:, 𝑎6 + 𝑎5  = 8 + 5 = 13

अतः, सही उत्तर 13 है।

संकल्पना:

|z| < 1 के लिए (1 - z)^-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$

|z| < 1 के लिए (1 + z)^-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$ 

स्पष्टीकरण:

 f(z) = $\frac{1}{(z^2-4)(z+1)}$ = $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$

माना $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$ = $\frac{A}{z+2}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z+1}$

⇒ $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$ = $\frac{A(z-2)(z+1)+B(z+2)(z+1)+C(z+2)(z-2)}{(z+2)(z-2)(z+1)}$

⇒ 1 = A(z - 2)(z + 1) + B(z + 2)(z + 1) + C(z + 2)(z - 2)

z = - 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = A(-4)(-1) ⇒ A = 1/4

z = 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = B(4)(3) ⇒ B = 1/12

z = - 1 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = C(1)(-3) ⇒ C = - 1/3

इसलिए, f(z) = $\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\frac{1}{12}.\frac{1}{z-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{z+1}$

1 < |z| < 2 में ⇒ $\frac{1}{|z|}<1,\frac{|z|}{2}<1$

अतः 

f(z) = $\frac{1}{8}.\frac{1}{1+\frac{z}{2}}-\frac{1}{24}.\frac{1}{1-\frac{z}{2}}-\frac{1}{3z}\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

f(z) = $\frac{1}{8}.(1+\frac{z}{2}{)}^{-1}-\frac{1}{24}.(1-\frac{z}{2}{)}^{-1}-\frac{1}{3z}(1+\frac{1}{z}{)}^{-1}$

f(z) = $\frac{1}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\left(\frac{z}{2}\right)}^n-\frac{1}{24}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{2}\right)}^n-\frac{1}{3z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{z^n}$

संकल्पना:

(1 + z)-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$

स्पष्टीकरण:

f(z) = $\frac{z-1}{z+1}$ 

f(z) = 1 - $\frac{2}{z+1}$

f(z) = 1 - 2(1 + z)-1

f(z) = 1 - 2$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$

(3) सही है

संकल्पना:

श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^{kn}$ के अभिबिंदुग की त्रिज्या  $\frac{1}{R}={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)}^{1/k}$

स्पष्टीकरण:

यहाँ श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{z}^{2n}}{n!}$ में, $a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}$ और k = 2

श्रेणी के अभिबिंदुग की त्रिज्या है

1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}}{\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n)!}}\right|\right)}^{1/2}$ 

⇒ 1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{(n+1)!}\right)}^{1/2}$ 

⇒ 1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{(n+1)}\right)}^{1/2}$ 

⇒ $R=\mathrm{\infty }$

(2) सही है

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = $\frac{1}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}$ z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = $\frac{-1\pm \sqrt{1+4}}{2}$ = $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

तो f(z) में z = $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = ${\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}}$   a n z n = f(0) + $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$ z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 = $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$

अब, f'(z) = - $\frac{1}{(1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2{)}^2}$ (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

अवधारणा:

एक संपूर्ण फ़ंक्शन एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक जटिल समन्वय स्थान में एक डोमेन में प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक जटिल अंतर है

स्पष्टीकरण:

f(z) = $\frac{1}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}$ z ∈ ℂ के लिए

f(z) की विलक्षणताएँ द्वारा दी गई हैं

1 - z - z ² = 0 ⇒ z = $\frac{-1\pm \sqrt{1+4}}{2}$ = $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

तो f(z) में z = $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ पर एक ध्रुव है

अतः विकल्प (1) और (2) दोनों गलत हैं

f के पास टेलर श्रृंखला का विस्तार है

f(z) = ${\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}}$   a n z n = f(0) + $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$ z + ....

तो a 0 = f(0) = 1

और a 1 = $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$

अब, f'(z) = - $\frac{1}{(1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2{)}^2}$ (-1 - 2z)

तो f'(0) = 1

अतः विकल्प (4) सही है और (3) गलत है

संकल्पना:

x = 0 के सापेक्ष f(x) की टेलर श्रेणी का प्रसार है

f(x) = $f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2}{2!}{f}^{″}(0)+\frac{x^3}{3!}{f}^{‴}(0)+\frac{x^4}{4!}{f}^{(4)}(0)+...$

स्पष्टीकरण:

f(x) = ln(cosh x) ⇒ f(0) = ln(cosh 0) = 0

f'(x) = tanh x ⇒ f'(0) = 0

f''(x) = sech²x ⇒ f''(0) = 1

f'''(x) = 2sech x (- sech x tanh x) = - 2sech²x tahn x ⇒ f'''(0) = 0

f⁽⁴⁾(x) = - 4sech x(- sech x tanh x)tanh x - 2sech²x sech2x ⇒ f(4)(0) = - 2 

अतः, x = 0 पर टेलर श्रेणी के प्रसार का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

f(x) = $0+x\times 0+\frac{x^2}{2!}\times 1+\frac{x^3}{3!}\times 0+\frac{x^4}{4!}\times (-2)+...$ = $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{12}{x}^4+...$

(2) सही है

स्पष्टीकरण:

f(z) = $\frac{(z^2-1)}{(z+2)(z+3)}$ = 1 - $\frac{(5z+7)}{(z+2)(z+3)}$ 

⇒ f(z) = 1 - ($\frac{8}{z+3}-\frac{3}{z+2}$)

⇒ f(z) = 1 + $\frac{3}{z+2}-\frac{8}{z+3}$

अब |z| < 2 के लिए ⇒ $|\frac{z}{2}|<1$ और $|\frac{z}{3}|<1$

⇒ f(z) = 1 + $\frac{3}{2(1+\frac{z}{2})}-\frac{8}{3(1+\frac{z}{3})}$

⇒ f(z) = 1 + $\frac{3}{2}(1+\frac{z}{2}{)}^{-1}$ - $\frac{8}{3}(1+\frac{z}{3}{)}^{-1}$

⇒ f(z) = 1 + $\frac{3}{2}(1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{4}-...)$ - $\frac{8}{3}(1-\frac{z}{3}+\frac{z^2}{9}-...)$ ($(1+x{)}^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-...$ |x| < 1 के लिए) 

(1) सही है

संकल्पना:

श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^{kn}$ के अभिबिंदुग की त्रिज्या  $\frac{1}{R}={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)}^{1/k}$

स्पष्टीकरण:

यहाँ श्रेणी $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{z}^{2n}}{n!}$ में, $a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}$ और k = 2

श्रेणी के अभिबिंदुग की त्रिज्या है

1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}}{\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n)!}}\right|\right)}^{1/2}$ 

⇒ 1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{(n+1)!}\right)}^{1/2}$ 

⇒ 1/R = ${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{(n+1)}\right)}^{1/2}$ 

⇒ $R=\mathrm{\infty }$

(2) सही है

स्पष्टीकरण:

$\mathrm{f}(\mathrm{z})=(1-\mathrm{z}){\mathrm{e}}^{(\mathrm{z}+\frac{{\mathrm{z}}^2}{2})}$ = $1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$

हम जानते हैं कि z = 0 पर f(z) का टेलर श्रृंखला विस्तार है

f(z) = $1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$ जहां a _n = $\frac{f^n(0)}{n!}$

अब, f'(z) = - $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ + (1 - z) $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ (1 + z) = -z ² $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$

(1) सत्य है

a ₁ = $\frac{f^{\prime }(0)}{1!}$ = 0/1 = 0

साथ ही, f''(z) = -2z $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ - z ² $e^{(z+\frac{z^2}{2})}$ (1 + z)

f''(0) = 0

तो a ₂ = $\frac{f^{″}(0)}{2!}$ = 0/2 = 0

अत: a1 = a2 

(2) सत्य है

इसी प्रकार खोज सकते हैं कि a n ∈ (-∞, 0]

(3) सत्य है

अतः (4) असत्य है

संकल्पना:

|z| < 1 के लिए (1 - z)^-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$

|z| < 1 के लिए (1 + z)^-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$ 

स्पष्टीकरण:

 f(z) = $\frac{1}{(z^2-4)(z+1)}$ = $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$

माना $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$ = $\frac{A}{z+2}+\frac{B}{z-2}+\frac{C}{z+1}$

⇒ $\frac{1}{(z+2)(z-2)(z+1)}$ = $\frac{A(z-2)(z+1)+B(z+2)(z+1)+C(z+2)(z-2)}{(z+2)(z-2)(z+1)}$

⇒ 1 = A(z - 2)(z + 1) + B(z + 2)(z + 1) + C(z + 2)(z - 2)

z = - 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = A(-4)(-1) ⇒ A = 1/4

z = 2 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = B(4)(3) ⇒ B = 1/12

z = - 1 रखने पर,  प्राप्त होता है

1 = C(1)(-3) ⇒ C = - 1/3

इसलिए, f(z) = $\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\frac{1}{12}.\frac{1}{z-2}-\frac{1}{3}\frac{1}{z+1}$

1 < |z| < 2 में ⇒ $\frac{1}{|z|}<1,\frac{|z|}{2}<1$

अतः 

f(z) = $\frac{1}{8}.\frac{1}{1+\frac{z}{2}}-\frac{1}{24}.\frac{1}{1-\frac{z}{2}}-\frac{1}{3z}\frac{1}{1+\frac{1}{z}}$

f(z) = $\frac{1}{8}.(1+\frac{z}{2}{)}^{-1}-\frac{1}{24}.(1-\frac{z}{2}{)}^{-1}-\frac{1}{3z}(1+\frac{1}{z}{)}^{-1}$

f(z) = $\frac{1}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\left(\frac{z}{2}\right)}^n-\frac{1}{24}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z}{2}\right)}^n-\frac{1}{3z}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{z^n}$

संकल्पना:

(1 + z)-1 = $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$

स्पष्टीकरण:

f(z) = $\frac{z-1}{z+1}$ 

f(z) = 1 - $\frac{2}{z+1}$

f(z) = 1 - 2(1 + z)-1

f(z) = 1 - 2$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n$

(3) सही है

संकल्पना -

$(1-x{)}^{-1}=1+x+x^2+x^3+....$

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है  $\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}={\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{z}}^{\mathrm{n}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\in$

$\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{z}(1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2{)}^{-1}=\mathrm{z}(1-(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2){)}^{-1}$

अब प्राप्त सूत्र का प्रयोग करने पर-

$\frac{\mathrm{z}}{1-\mathrm{z}-{\mathrm{z}}^2}=\mathrm{z}(1+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2)+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^2+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^3+(\mathrm{z}+{\mathrm{z}}^2{)}^4+....)$

अब हम a6 और a5 का मान ज्ञात करना चाहते हैं, इसलिए a6 और a5, z6 और z5 के गुणांक है, इसलिए उपरोक्त समीकरण को हल करने के बाद हमें प्राप्त होता है -

$a_5{z}^5=(1+3+1)z^{5}and{a}_6{z}^6=(3+2+2+1)z^6$

इसलिए, a6 और a5 के मान 8 और 5 है

अत:, 𝑎6 + 𝑎5  = 8 + 5 = 13

अतः, सही उत्तर 13 है।