Calculus of Residues MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus of Residues - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में $\frac{1}{z}$ के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp$(\mathrm{z}-\frac{1}{\mathrm{z}})$

= $e^z.e^{\frac{-1}{z}}$

= $(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)$$.(1+\frac{1}{z}z+\frac{1}{z^{2}2!}+\frac{1}{z^{3}3!}+...)$

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में $\frac{1}{z}$ का गुणांक

= $-\frac{1}{1}+\frac{1}{2!.1!}-\frac{1}{3!.2!}+\frac{1}{4!.3!}-...$

= $\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{l+1}}{l!(l+1)!}$

इसलिए विकल्प (1) सही है।

संप्रत्यय:

(i) एक सम्मिश्र फलन f(z) का z = a पर कोटि m का ध्रुव होता है यदि $\underset{z\to m}{lim}f(z)$ परिमित रूप से विद्यमान नहीं है और $\underset{z\to a}{lim}(z-a{)}^{m}f(z)$ परिमित रूप से विद्यमान है।

(ii) f(z) का z = a पर अवशेष, जहाँ a कोटि m का ध्रुव है, $\frac{1}{(m-1)!}\underset{z\to a}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}[(z-a{)}^{m}f(z)]$ है।

व्याख्या:

f(z) = $\frac{1}{z^2(z+1{)}^3}$

f(z) के z = 0 पर कोटि 2 का और z = -1 पर कोटि 3 का ध्रुव है।

Res(f(z), 0) = $\frac{1}{1!}\underset{z\to 0}{lim}\frac{d}{dz}(\frac{1}{(z+1{)}^2})$

= $\underset{z\to 0}{lim}(\frac{-2}{(z+1{)}^3})$ = -2

Res(f(z), -1) = $\frac{1}{2!}\underset{z\to -1}{lim}\frac{d^2}{d{z}^2}(\frac{1}{z^2})$

= $\frac{1}{2}\underset{z\to -1}{lim}(\frac{6}{z^4})$ = $\frac{1}{2}(6)$ = 3

p → ध्रुव की कोटि और r → अवशेष

इसलिए हमें दो ध्रुव उनके दो अवशेषों के साथ प्राप्त होते हैं।

जब ध्रुव = 0 तब ध्रुव की कोटि (p) = 2 , r = -2

जब ध्रुव = -1 तब ध्रुव की कोटि (p) = 3 , r = 3

विकल्प (2) और (3) सही हैं

संप्रत्यय:

कॉशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए $f(z)$ एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर विश्लेषणात्मक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (ध्रुवों) को छोड़कर। यदि $f(z)$ में C के अंदर $z_1,z_2,\dots ,z_n$ पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर $f(z)$ का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}(f,z_k)$

व्याख्या:

${\int }_{\gamma }\frac{dx}{z(z-2)}$, जहाँ वक्र $\gamma (\theta )$ इस प्रकार टुकड़े-टुकड़े परिभाषित है:

$\gamma (\theta )=\{\begin{array}{ll}{e}^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\\ 1+2e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]\\ e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]\end{array}$

हम इस समाकल को हल करने के लिए कॉशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$

इस फलन में $z=0$ और $z=2$ पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र $\gamma$ इन विचित्रताओं को घेरता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

$z=0$ पर अवशेष:

$z=0$ पर अवशेष $f(z)$ को $z$ से गुणा करके और $z\to 0$ के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

$\text{Res}(f,0)=\underset{z\to 0}{lim}z\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

$z=2$ पर अवशेष:

$z=2$ पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

$\text{Res}(f,2)=\underset{z\to 2}{lim}(z-2)\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{2}$

अवशेष प्रमेय लागू करना:

चूँकि वक्र $\gamma$ $z=0$ और $z=2$ पर दोनों विचित्रताओं को घेरता है, समाकल का मान है

I = $2\pi i\times (\text{अवशेषों का योग})$

= $2\pi i\times (-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 1)$

= $2\pi i(-\frac{1}{2})$ = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

मान लीजिये f(z) एक सम्मिश्र फलन है। तब f(z) के शून्यों का सीमा बिंदु आवश्यक विचित्रता है।

व्याख्या:

f(z) = exp($\frac{1}{z+i}$) - 1

f(z) के शून्य निम्न द्वारा दिए गए हैं

f(z) = 0

⇒ exp($\frac{1}{z+i}$) - 1 = 0

⇒ exp($\frac{1}{z+i}$) = 1

⇒ exp($\frac{1}{z+i}$) = exp(2nπi), n ∈ $\mathbb{Z}$

⇒ $\frac{1}{z+i}$ = 2nπi, n ∈ $\mathbb{Z}$

⇒ z + i = $\frac{1}{2n\pi i}$, n ∈ $\mathbb{Z}$

⇒ z = $\frac{1}{2n\pi i}$ - i, n ∈ $\mathbb{Z}$

इसलिए f के अनंत रूप से शून्य हैं।

(1) असत्य है

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{2n\pi i}-i)$ = - i

इसलिए f(z) में z = i पर आवश्यक विचित्रता है

इसलिए, f के शून्यों का एक क्रम है जो f की आवश्यक विचित्रता में अभिसरित होता है

(4) सही है

संकल्पना:

यदि f(z) का z0 पर कोटि n का ध्रुव है, तब Res[f, z0] = $\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_0}{lim}(\frac{d}{dz}{)}^{n-1}(z-z_0{)}^{n}f(z)$

गणना:

z=i पर फलन f(z) के परिशिष्ट की गणना करने के लिए, हमें पहले अव्युत्क्रमणीयता को पृथक करना होगा। फलन का z=i पर कोटि 2 का एक ध्रुव है।

हम कोटि n = 2 के ध्रुव पर परिशिष्ट के लिए सूत्र लागू करेंगे:

Res[f, z₀] = $\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_0}{lim}(\frac{d}{dz}{)}^{n-1}(z-z_0{)}^{n}f(z)$

इस स्थिति में n = 2 और z₀ = i है।

इसलिए, 

Res[f, i] = $\underset{z\to i}{lim}\frac{d}{dz}[(z-i{)}^{2}f(z)]$

= $\underset{z\to i}{lim}\frac{d}{dz}[(z-i{)}^2.\frac{log(1+z)}{(1+z^2{)}^2}]$

= $\underset{z\to i}{lim}\frac{d}{dz}[(z-i{)}^2.\frac{log(1+z)}{(z-i{)}^2(z+i{)}^2}]$

= $\underset{z\to i}{lim}\frac{d}{dz}[\frac{log(1+z)}{(z+i{)}^2}]$

= $\underset{z\to i}{lim}[\frac{(z+i{)}^2.\frac{1}{(1+z)}-log(1+z)\times 2(z+i)}{(z+i{)}^4}]$

= $[\frac{(i+i{)}^2.\frac{1}{(1+i)}-log(1+i)\times 2(i+i)}{(i+i{)}^4}]$

= $[\frac{(i+i{)}^2.\frac{1}{(1+i)}-log(1+i)\times 2(i+i)}{(i+i{)}^4}]$

= $\frac{1}{8}-\frac{\pi }{16}+i[-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\log \sqrt{2}]$ (सरलीकरण के बाद)

(1) सही है

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में $\frac{1}{z}$ के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp$(\mathrm{z}+\frac{1}{\mathrm{z}})$

= $e^z.e^{\frac{1}{z}}$

= $(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)$$.(1+\frac{1}{z}z+\frac{1}{z^{2}2!}+\frac{1}{z^{3}3!}+...)$

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में $\frac{1}{z}$ का गुणांक

= $\frac{1}{1}+\frac{1}{2!.1!}+\frac{1}{3!.2!}+\frac{1}{4!.3!}+...$

= $\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l!(l+1)!}$

इसलिए विकल्प (3) सही है।

संप्रत्यय:

कॉशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए $f(z)$ एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर विश्लेषणात्मक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (ध्रुवों) को छोड़कर। यदि $f(z)$ में C के अंदर $z_1,z_2,\dots ,z_n$ पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर $f(z)$ का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}(f,z_k)$

व्याख्या:

${\int }_{\gamma }\frac{dx}{z(z-2)}$, जहाँ वक्र $\gamma (\theta )$ इस प्रकार टुकड़े-टुकड़े परिभाषित है:

$\gamma (\theta )=\{\begin{array}{ll}{e}^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\\ 1+2e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]\\ e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]\end{array}$

हम इस समाकल को हल करने के लिए कॉशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$

इस फलन में $z=0$ और $z=2$ पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र $\gamma$ इन विचित्रताओं को घेरता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

$z=0$ पर अवशेष:

$z=0$ पर अवशेष $f(z)$ को $z$ से गुणा करके और $z\to 0$ के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

$\text{Res}(f,0)=\underset{z\to 0}{lim}z\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

$z=2$ पर अवशेष:

$z=2$ पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

$\text{Res}(f,2)=\underset{z\to 2}{lim}(z-2)\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{2}$

अवशेष प्रमेय लागू करना:

चूँकि वक्र $\gamma$ $z=0$ और $z=2$ पर दोनों विचित्रताओं को घेरता है, समाकल का मान है

I = $2\pi i\times (\text{अवशेषों का योग})$

= $2\pi i\times (-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 1)$

= $2\pi i(-\frac{1}{2})$ = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में $\frac{1}{z}$ के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp$(\mathrm{z}+\frac{1}{\mathrm{z}})$

= $e^z.e^{\frac{1}{z}}$

= $(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)$$.(1+\frac{1}{z}z+\frac{1}{z^{2}2!}+\frac{1}{z^{3}3!}+...)$

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में $\frac{1}{z}$ का गुणांक

= $\frac{1}{1}+\frac{1}{2!.1!}+\frac{1}{3!.2!}+\frac{1}{4!.3!}+...$

= $\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l!(l+1)!}$

इसलिए विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में $\frac{1}{z}$ के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp$(\mathrm{z}-\frac{1}{\mathrm{z}})$

= $e^z.e^{\frac{-1}{z}}$

= $(1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)$$.(1+\frac{1}{z}z+\frac{1}{z^{2}2!}+\frac{1}{z^{3}3!}+...)$

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में $\frac{1}{z}$ का गुणांक

= $-\frac{1}{1}+\frac{1}{2!.1!}-\frac{1}{3!.2!}+\frac{1}{4!.3!}-...$

= $\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{l+1}}{l!(l+1)!}$

इसलिए विकल्प (1) सही है।

दिया गया है -

 ${\displaystyle {\int }_{|z+1|=2}\frac{z^2}{4-z^2}dz=}$

अवधारणा - 

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित है, तब ${\displaystyle {\int }_{|z-a|=r}F(z)dz=2\pi i\times Rez(f(z){)}_{z=c}}$

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित नहीं है, तब  ${\displaystyle {\int }_{|z-a|=r}F(z)dz=2\pi i\times Rez(f(z){)}_{z=c}=0}$

स्पष्टीकरण-

  ${\displaystyle {\int }_{|z+1|=2}\frac{z^2}{4-z^2}dz={\displaystyle {\int }_{|z+1|=2}F(z)dz}}$

जहाँ, $f(z)=\frac{z^2}{4-z^2}$

विचित्रता के लिए,  - $4-z^2=0$

⇒ $z=-2,+2$

z = 2 और z = -2 पर F(z) विचित्रता रखता है लेकिन विचित्रता z = 2,  $|z+1|=2$ में स्थित नहीं है। अतः z = 2 के लिए समाकलन शून्य होना चाहिए।

अब, विचित्रता z = 2, $|z+1|=2$  में स्थित है,अतः हमें उपरोक्त अवधारणा का प्रयोग करके समाकलन की गणना करनी होगी -

इसलिए, ${\displaystyle {\int }_{|z+1|=2}F(z)dz=2\pi i\times Rez(f(z))atz=-2}$  .........(i)

⇒ $Rez(f(z)){|}_{z=-2}=li{m}_{z\to -2}(z+2)\frac{z^2}{4-z^2}$

= $li{m}_{z\to -2}\frac{z^2}{2-z}=\frac{4}{4}=1$

उपरोक्त समीकरण में यह मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है -

⇒ ${\displaystyle {\int }_{|z+1|=2}F(z)dz=2\pi i\times Rez(f(z){)}_{z=-2}=2\pi i}$

अतः विकल्प (iii) सही है।

संप्रत्यय:

कॉशी अवशेष प्रमेय:

मान लीजिए $f(z)$ एक फलन है जो एक सरल बंद वक्र C के अंदर और पर विश्लेषणात्मक है, सिवाय C के अंदर परिमित संख्या में पृथक विचित्रताओं (ध्रुवों) को छोड़कर। यदि $f(z)$ में C के अंदर $z_1,z_2,\dots ,z_n$ पर पृथक विचित्रताएँ हैं, तो C के चारों ओर $f(z)$ का समाकल इस प्रकार दिया गया है:

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}(f,z_k)$

व्याख्या:

${\int }_{\gamma }\frac{dx}{z(z-2)}$, जहाँ वक्र $\gamma (\theta )$ इस प्रकार टुकड़े-टुकड़े परिभाषित है:

$\gamma (\theta )=\{\begin{array}{ll}{e}^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\\ 1+2e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]\\ e^{2i\theta }& \text{जब }\theta \in [\frac{3\pi }{2},2\pi ]\end{array}$

हम इस समाकल को हल करने के लिए कॉशी अवशेष प्रमेय लागू करेंगे। समाकल्य है

$f(z)=\frac{1}{z(z-2)}$

इस फलन में $z=0$ और $z=2$ पर दो विचित्रताएँ हैं। यदि वक्र $\gamma$ इन विचित्रताओं को घेरता है, तो समाकल का मान इन बिंदुओं पर फलन के अवशेषों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यहाँ z = 0 की घुमाव संख्या 2 है और z = 2 की घुमाव संख्या 1 है।

$z=0$ पर अवशेष:

$z=0$ पर अवशेष $f(z)$ को $z$ से गुणा करके और $z\to 0$ के रूप में सीमा लेकर ज्ञात किया जाता है:

$\text{Res}(f,0)=\underset{z\to 0}{lim}z\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

$z=2$ पर अवशेष:

$z=2$ पर अवशेष इसी प्रकार ज्ञात किया जाता है,

$\text{Res}(f,2)=\underset{z\to 2}{lim}(z-2)\cdot \frac{1}{z(z-2)}=\frac{1}{2}$

अवशेष प्रमेय लागू करना:

चूँकि वक्र $\gamma$ $z=0$ और $z=2$ पर दोनों विचित्रताओं को घेरता है, समाकल का मान है

I = $2\pi i\times (\text{अवशेषों का योग})$

= $2\pi i\times (-\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 1)$

= $2\pi i(-\frac{1}{2})$ = -πi

इसलिए, सही विकल्प (3) है।

संकल्पना:

यदि किसी जटिल फलन में बिंदुओं की एक परिमित संख्या में अव्युत्क्रमणताएँ हैं, तो अनंत वाले इन बिंदुओं पर परिशिष्टों का योग शून्य है।

Calculations:

$f(z)=\frac{z^3}{(z^2-1)}=\frac{z^3}{(z+1)(z-1)}$

z = 1 और z = -1 सरल ध्रुव हैं।

z = 1 पर परिशिष्ट $li{m}_{z\to 1}\frac{z^3}{(z+1)}=\frac{1}{2}$ है

z = -1 पर परिशिष्ट $li{m}_{z\to -1}\frac{z^3}{(z-1)}=\frac{1}{2}$ है

1 पर परिशिष्ट + (-1) पर परिशिष्ट + अनंत पर परिशिष्ट = 0

1/2 + 1/2 + अनंत पर परिशिष्ट = 0

अनंत पर परिशिष्ट = -1

अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा - अनंत पर अवशेष - 0 पर f का अवशेष है।

जब f(z) का साधारण ध्रुव z = 0 पर है, तब f का अवशेष $\frac{1}{z}$ का गुणांक होता है।

res(f(z)) (z = 0 पर) = - res $f(z{)}_{atz=\mathrm{\infty }}$

व्याख्या - दिया गया है, f(z) = $z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}+......$ 

यहाँ, z = 0 पर विलक्षणता और z = 0 पर एक साधारण ध्रुव है।

f(z) = 1 पर अवशेष (z = 0 पर)

अतः z = अनंत पर f (z) का अवशेष -1 है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 2 है।

व्याख्या:

z = 0, f(z) की एक आवश्यक विचित्रता है।

मान लीजिए g(z) = f(1/z) = $e^{(\frac{1}{z}+z)}$ = f(z)

तब g(z) में z = 0 और z = ∞ पर आवश्यक विचित्रता है।

(1) सही

अब, f(z) = $e^{(z+\frac{1}{z})}$ = 1+ (z + $\frac{1}{z}$) + $\frac{1}{2!}(z+\frac{1}{z}{)}^2$+...

चूँकि 1/z पद $(z+\frac{1}{z}{)}^n$ में n = 2k + 1, k ≥ 0 के लिए आते हैं

$(z+\frac{1}{z}{)}^n$ में 1/z का गुणांक $\frac{1}{n!(n+1)!}$ है

इसलिए z = 0 पर f(z) का अवशेष $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1)!}$ है

इसलिए ${\int }_c{e}^{(z+\frac{1}{z})}dz$ = $2\pi i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!(n+1)!}$

(3) सही

संप्रत्यय:

(i) यदि f(z) का z = z₀ पर कोटि n का ध्रुव है, तो z = z₀ पर f(z) का अवशेष निम्न द्वारा दिया जाता है

Res(f(z), z₀) = $\underset{z\to z_0}{lim}(z-z_0{)}^n\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}f(z)$

(ii) एकल विचित्रता: एक एकल विचित्रता एक ऐसी विचित्रता है जिसके लिए एक (छोटी) वास्तविक संख्या मौजूद होती है ताकि त्रिज्या के पड़ोस में कोई अन्य विचित्रता न हो।

व्याख्या:

f(z) = (1 + z2)-2 log(1 + z) = $\frac{\log (1+z)}{(1+z^2{)}^2}$

log(1 + z) की z = −1 पर एक विचित्रता है, लेकिन यह पृथक नहीं है, इसलिए ध्रुव नहीं है और इसलिए z =−1 पर कोई अवशेष नहीं है
अब, f(z) की विचित्रता निम्न द्वारा दी गई है

1 + z² = 0 ⇒ z² = -1 ⇒ z = ± i

इसलिए f(z) का z = i और -i पर कोटि 2 का ध्रुव है

$Res[f(z),-i]$

= $\underset{z\to -i}{lim}\frac{d}{dz}[(z+i{)}^{2}f(z)]$

$=\underset{z\to -i}{lim}\frac{d}{dz}[\frac{log(z+1)}{(z-i{)}^2}]$

= $\underset{z\to -i}{lim}(\frac{1}{(1+z)(z-i{)}^2}-\frac{2\log (1+z)}{(z-i{)}^3})$

= $\frac{1}{(1-i)(-2i{)}^2}-\frac{2\log (1-i)}{(-2i{)}^3}$

= $\frac{1}{(1-i)(-4)}-\frac{2}{8i}\log (1-i)$

= $\frac{1+i}{(1-i)(1+i)(-4)}+\frac{2i^2}{8i}(\ln \sqrt{2}-i\frac{\pi }{4})$ (∵ $\log (x+iy)=\ln \sqrt{x^2+y^2}-i{\tan }^{-1}(\frac{|y|}{|x|})$ यदि (x, y) चौथे चतुर्थांश में स्थित है)

= $\frac{1+i}{-8}+\frac{i}{4}(\ln \sqrt{2}-i\frac{\pi }{4})$

= $[-\frac{1}{8}+\frac{\pi }{16}]+i[-\frac{1}{8}+\frac{\ln \sqrt{2}}{4}]$

इसलिए, सही विकल्प विकल्प (2) है