Calculus of Residues MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus of Residues - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z-\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac{-1}{z}}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(-\frac11+\frac1{2!.1!}-\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}-...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-1)^{l+1}}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

यदि f(z) का z0 पर कोटि n का ध्रुव है, तब Res[f, z0] = \(\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} (\frac{d}{dz})^{n-1} (z-z_0)^nf(z)\)

गणना:

z=i पर फलन f(z) के परिशिष्ट की गणना करने के लिए, हमें पहले अव्युत्क्रमणीयता को पृथक करना होगा। फलन का z=i पर कोटि 2 का एक ध्रुव है।

हम कोटि n = 2 के ध्रुव पर परिशिष्ट के लिए सूत्र लागू करेंगे:

Res[f, z₀] = \(\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} (\frac{d}{dz})^{n-1} (z-z_0)^nf(z)\)

इस स्थिति में n = 2 और z₀ = i है।

इसलिए, 

Res[f, i] = \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [(z-i)^2 f(z)]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [ (z - i)^2.\frac{log(1+z)}{(1+z^2)^2 }]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [ (z - i)^2 .\frac{log(1+z)}{{(z-i)^2(z+i)^2} }]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [\frac{log(1+z)}{{(z+i)^2} }]\)

= \(\lim_{z \to i} [\frac{(z+i)^2 . \frac{1}{(1+z)}-log(1+z) \times 2(z+i)}{{(z+i)^4} }]\)

= \([\frac{(i+i)^2 . \frac{1}{(1+i)}-log(1+i) \times 2(i+i)}{{(i+i)^4} }]\)

= \([\frac{(i+i)^2 . \frac{1}{(1+i)}-log(1+i) \times 2(i+i)}{{(i+i)^4} }]\)

= \(\frac{1}{8}-\frac{\pi}{16}+i\left[-\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \log \sqrt{2}\right]\) (सरलीकरण के बाद)

(1) सही है

दिया गया है -

 \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} \frac{z^2}{4-z^2} d z=\)

अवधारणा - 

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित है, तब \(\displaystyle \int_{|z-a|=r} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = c}\)

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित नहीं है, तब  \(\displaystyle \int_{|z-a|=r} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = c}=0\)

स्पष्टीकरण-

  \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} \frac{z^2}{4-z^2} d z=\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz\)

जहाँ, \(f(z) = \frac{z^2}{4-z^2}\)

विचित्रता के लिए,  - \(4-z^2=0\)

⇒ \(z = -2, +2\)

z = 2 और z = -2 पर F(z) विचित्रता रखता है लेकिन विचित्रता z = 2,  \(|z+1|=2\) में स्थित नहीं है। अतः z = 2 के लिए समाकलन शून्य होना चाहिए।

अब, विचित्रता z = 2, \(|z+1|=2\)  में स्थित है,अतः हमें उपरोक्त अवधारणा का प्रयोग करके समाकलन की गणना करनी होगी -

इसलिए, \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z)) \ \ at \ \ z = -2\)  .........(i)

⇒ \(Rez(f(z))|_{z=-2} = lim_{z \to -2} (z+2) \frac{z^2}{4-z^2}\)

= \( lim_{z \to -2} \frac{z^2}{2-z}=\frac{4}{4}=1\)

उपरोक्त समीकरण में यह मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है -

⇒ \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = -2}= 2 \pi i\)

अतः विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा:

एक सम्मिश्र संख्या f(z)  

(i)  z = a पर अपनेय विचित्रता यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान है। 

(ii) z = a पर m घात अनंतक यदि \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)\) ≠ 0 और \(\lim_{z\to a}f(z)\) = ∞

(iii) z = a पर अनिवार्य विचित्रता यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान नहीं है। 

* माना z = a पर f(z) समान्य अनंतक है, तब Res(f(z), a) = \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\)

स्पष्टीकरण:

p(z) = a0 + a1z + .... + anzn और q(z) = b1z + b2z2 + .... + bnzn 

माना f(z) = \(\frac{p(z)}{q(z)}\) = \(\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) 

\(\lim_{z\to 0}f(z)\) = \(\lim_{z\to0}\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) = \(\frac{a_0}{0}\) = ∞

अतः z = 0 पर f(z) अनंतक है, 

\(\lim_{z\to 0}zf(z)\) = \(\lim_{z\to0}z.\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) (0/0 के रूप में है)

                    = \(\lim_{z\to0}\frac{a_0+2a_1z+...+na_nz^{n-1}}{b_1+2b_2z+...+nb_nz^{n-1}}\) (L हॉस्पिटल नियम)

                   = \(\frac{a_{0}}{b_{1}}\), परिमित

अतः z = a पर f(z) समान्य अनंतक है z = a पर f(z) का अपशिष्ट \(\frac{a_{0}}{b_{1}}\) है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac1z}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(\frac11+\frac1{2!.1!}+\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}+...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac1z}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(\frac11+\frac1{2!.1!}+\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}+...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z+\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac1z}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(\frac11+\frac1{2!.1!}+\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}+...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (3) सही है।

दिया गया है -

 \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} \frac{z^2}{4-z^2} d z=\)

अवधारणा - 

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित है, तब \(\displaystyle \int_{|z-a|=r} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = c}\)

यदि f(z) का विचित्र बिंदु z = c, | z - a | = r में स्थित नहीं है, तब  \(\displaystyle \int_{|z-a|=r} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = c}=0\)

स्पष्टीकरण-

  \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} \frac{z^2}{4-z^2} d z=\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz\)

जहाँ, \(f(z) = \frac{z^2}{4-z^2}\)

विचित्रता के लिए,  - \(4-z^2=0\)

⇒ \(z = -2, +2\)

z = 2 और z = -2 पर F(z) विचित्रता रखता है लेकिन विचित्रता z = 2,  \(|z+1|=2\) में स्थित नहीं है। अतः z = 2 के लिए समाकलन शून्य होना चाहिए।

अब, विचित्रता z = 2, \(|z+1|=2\)  में स्थित है,अतः हमें उपरोक्त अवधारणा का प्रयोग करके समाकलन की गणना करनी होगी -

इसलिए, \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z)) \ \ at \ \ z = -2\)  .........(i)

⇒ \(Rez(f(z))|_{z=-2} = lim_{z \to -2} (z+2) \frac{z^2}{4-z^2}\)

= \( lim_{z \to -2} \frac{z^2}{2-z}=\frac{4}{4}=1\)

उपरोक्त समीकरण में यह मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है -

⇒ \(\displaystyle \int_{|z+1|=2} F(z) dz = 2\pi i \times Rez(f(z))_{ z = -2}= 2 \pi i\)

अतः विकल्प (iii) सही है।

अवधारणा:

f(z) का z = 0 पर अवशेष, f(z) के मैक्लॉरिन श्रेणी प्रसार में \(\frac1z\) के गुणांक के बराबर होता है।

व्याख्या:

f(z) = exp\(\rm\left(z-\frac{1}{z}\right)\)

= \(e^z.e^{\frac{-1}{z}}\)

= \((1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...)\)\(.(1+\frac1zz+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+...)\)

इसलिए उपरोक्त व्यंजक में \(\frac1z\) का गुणांक

= \(-\frac11+\frac1{2!.1!}-\frac1{3!.2!}+\frac1{4!.3!}-...\)

= \(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-1)^{l+1}}{l !(l+1) !}\)

इसलिए विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

यदि किसी जटिल फलन में बिंदुओं की एक परिमित संख्या में अव्युत्क्रमणताएँ हैं, तो अनंत वाले इन बिंदुओं पर परिशिष्टों का योग शून्य है।

Calculations:

\(f(z)= \frac{z^3}{(z^2 - 1)}=\frac{z^3}{(z+1)(z-1)}\)

z = 1 और z = -1 सरल ध्रुव हैं।

z = 1 पर परिशिष्ट \(lim_{z\rightarrow 1}\frac {z^3}{(z+1)}=\frac{1}{2}\) है

z = -1 पर परिशिष्ट \(lim_{z\rightarrow -1}\frac {z^3}{(z-1)}=\frac{1}{2}\) है

1 पर परिशिष्ट + (-1) पर परिशिष्ट + अनंत पर परिशिष्ट = 0

1/2 + 1/2 + अनंत पर परिशिष्ट = 0

अनंत पर परिशिष्ट = -1

अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा - अनंत पर अवशेष - 0 पर f का अवशेष है।

जब f(z) का साधारण ध्रुव z = 0 पर है, तब f का अवशेष \(\frac{1}{z}\) का गुणांक होता है।

res(f(z)) (z = 0 पर) = - res \(f(z)_{at z = \infty}\)

व्याख्या - दिया गया है, f(z) = \(z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}+......\) 

यहाँ, z = 0 पर विलक्षणता और z = 0 पर एक साधारण ध्रुव है।

f(z) = 1 पर अवशेष (z = 0 पर)

अतः z = अनंत पर f (z) का अवशेष -1 है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 2 है।

अवधारणा:

एक सम्मिश्र संख्या f(z)  

(i)  z = a पर अपनेय विचित्रता यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान है। 

(ii) z = a पर m घात अनंतक यदि \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)\) ≠ 0 और \(\lim_{z\to a}f(z)\) = ∞

(iii) z = a पर अनिवार्य विचित्रता यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान नहीं है। 

* माना z = a पर f(z) समान्य अनंतक है, तब Res(f(z), a) = \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\)

स्पष्टीकरण:

p(z) = a0 + a1z + .... + anzn और q(z) = b1z + b2z2 + .... + bnzn 

माना f(z) = \(\frac{p(z)}{q(z)}\) = \(\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) 

\(\lim_{z\to 0}f(z)\) = \(\lim_{z\to0}\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) = \(\frac{a_0}{0}\) = ∞

अतः z = 0 पर f(z) अनंतक है, 

\(\lim_{z\to 0}zf(z)\) = \(\lim_{z\to0}z.\frac{a_0+a_1z+...+a_nz^n}{b_1z+b_2z^2+...+b_nz^n}\) (0/0 के रूप में है)

                    = \(\lim_{z\to0}\frac{a_0+2a_1z+...+na_nz^{n-1}}{b_1+2b_2z+...+nb_nz^{n-1}}\) (L हॉस्पिटल नियम)

                   = \(\frac{a_{0}}{b_{1}}\), परिमित

अतः z = a पर f(z) समान्य अनंतक है z = a पर f(z) का अपशिष्ट \(\frac{a_{0}}{b_{1}}\) है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

यदि f में z0 पर m कोटि का ध्रुव है, तो \(f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\frac{b_1}{z-z_0}+\frac{b_2}{(z-z_0)^2}+.....+\frac{b_m}{(z-z_0)^m}\)

और b₁, z₀ पर f का अवशेष है।

गणना:

\(\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-.....\\ \cos \frac{1} {z}=1-\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{4!z^4}-.....\\ z^3\cos \frac{1}{z}=z^3-\frac{z}{2!}+\frac{1}{4!z}-... \)

z-¹ का गुणांक 1/4! = 1/24 है।  

इस प्रकार, f(z) का अवशेष 1/24 है।

अतः विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

यदि f(z) का z0 पर कोटि n का ध्रुव है, तब Res[f, z0] = \(\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} (\frac{d}{dz})^{n-1} (z-z_0)^nf(z)\)

गणना:

z=i पर फलन f(z) के परिशिष्ट की गणना करने के लिए, हमें पहले अव्युत्क्रमणीयता को पृथक करना होगा। फलन का z=i पर कोटि 2 का एक ध्रुव है।

हम कोटि n = 2 के ध्रुव पर परिशिष्ट के लिए सूत्र लागू करेंगे:

Res[f, z₀] = \(\frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} (\frac{d}{dz})^{n-1} (z-z_0)^nf(z)\)

इस स्थिति में n = 2 और z₀ = i है।

इसलिए, 

Res[f, i] = \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [(z-i)^2 f(z)]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [ (z - i)^2.\frac{log(1+z)}{(1+z^2)^2 }]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [ (z - i)^2 .\frac{log(1+z)}{{(z-i)^2(z+i)^2} }]\)

= \(\lim_{z \to i} \frac{d}{dz} [\frac{log(1+z)}{{(z+i)^2} }]\)

= \(\lim_{z \to i} [\frac{(z+i)^2 . \frac{1}{(1+z)}-log(1+z) \times 2(z+i)}{{(z+i)^4} }]\)

= \([\frac{(i+i)^2 . \frac{1}{(1+i)}-log(1+i) \times 2(i+i)}{{(i+i)^4} }]\)

= \([\frac{(i+i)^2 . \frac{1}{(1+i)}-log(1+i) \times 2(i+i)}{{(i+i)^4} }]\)

= \(\frac{1}{8}-\frac{\pi}{16}+i\left[-\frac{1}{8}+\frac{1}{4} \log \sqrt{2}\right]\) (सरलीकरण के बाद)

(1) सही है

अवधारणा:

मान लीजिए p(z) और q(z) एक बहुपद हैं जिसमें कोई उभयनिष्ठ शून्य नहीं है और क्रमशः घात m और n है, तो Res [f(z), \(\infty]\), 0 है जब \(n\geq m+2\)

व्याख्या:

यहां p(z) की घात 4 है और q(z) की घात 7 है यहां 7 > 4 + 2 है

तो Res [f(z); ∞] = 0

विकल्प 3 सत्य है

इसलिए, सही विकल्प विकल्प (1), (2) हैं।