श्रृंखला का योग MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sum of Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

हमें 3 से 18 तक के वर्गों का योग ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

1 से n तक के वर्गों का योग = ${\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

a से b तक के वर्गों का योग = 1 से b तक के वर्गों का योग − 1 से (a−1) तक के वर्गों का योग

गणना:

योग = ${\displaystyle \frac{18(18+1)(2\times 18+1)}{6}}-{\displaystyle \frac{2(2+1)(2\times 2+1)}{6}}$

⇒ योग = ${\displaystyle \frac{18\times 19\times 37}{6}}-{\displaystyle \frac{2\times 3\times 5}{6}}$

⇒ योग = ${\displaystyle \frac{12654}{6}}-{\displaystyle \frac{30}{6}}$

⇒ योग = 2109 - 5

⇒ योग = 2104

इसलिए, सही उत्तर 2104 है।

दिया गया है:

12 + 22 + 32 + 42 + … + 152

प्रयुक्त सूत्र:

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

गणना:

n = 15

योग = $\frac{15(15+1)(2\times 15+1)}{6}$

⇒ $\frac{15\times 16\times 31}{6}$

⇒ $\frac{7440}{6}$

⇒ 1240

प्रथम 15 प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग 1240 है।

गणना:

दिया गया है, $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+---$

पहले दो पद ले और उन्हें जोड़ दें-

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{11}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{7}\right)}{3-7}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)}{7-11}$

$=\frac{-\sqrt{7}+\sqrt{3}-\sqrt{11}+\sqrt{7}}{4}$

$=\frac{\left(11-3\right)}{4\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}$

$=\frac{\left(11-3\right)}{4\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}$

$=\frac{8}{4\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}=\frac{2}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}$      ...(A)

हम विकल्प (B)) ले सकते हैं और n = 2 रख सकते हैं, हमें मिलता है -

$=\frac{n}{\sqrt{3+4n}+\sqrt{3}}=\frac{2}{\left(\sqrt{3+8}+\sqrt{3}\right)}=\frac{2}{\sqrt{11}+\sqrt{3}}$

जो समीकरण (A) के बराबर है।

दिया गया है:

श्रेणी 31 + 34 + 37 +… के पहले 100 पदों का योग,

प्रयुक्त सूत्र:

n संख्याओं का योग = ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ × [2a + (n - 1)d]

जहाँ: "n" पदों की संख्या है, "a" पहला पद है, और "d" सर्वान्तर है।

गणना:

प्रश्न के अनुसार, n = 100, a = 31, d = 3

n संख्याओं का योग = ${\displaystyle \frac{n}{2}}$ × [2a + (n - 1)d]

⇒ ${\displaystyle \frac{100}{2}}$×  [2 × 31 + (100-1) × 3]

⇒ 50 × [62 + 297]

⇒ 50 × 359 = 17950

∴ श्रेणी के पहले 100 पदों का योग 17950 है।

अवधारणा:

प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग निम्न प्रकार दिया गया है:

S_n = 1 + 2 + 3 + ⋯ = $\frac{n(n+1)}{2}$

गणना:

माना S = $\sqrt{2}+\sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}+\dots$

⇒ S = $\sqrt{2}+\sqrt{4\times 2}+\sqrt{9\times 2}+\sqrt{16\times 2}+\dots$

⇒ S = $\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\dots$

⇒ S = $\sqrt{2}(1+2+3+4+\dots )$

⇒ S = $\sqrt{2}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$

⇒ S = $\frac{n(n+1)}{\sqrt{2}}$

∴ श्रेणी के n पदों का योग  $\frac{n(n+1)}{\sqrt{2}}$ है। 

सही उत्तर विकल्प 1 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

S_n = [n x (a + a_n) ] /2

a_n = a + (n-1)d

d = अंतर

a = प्रारंभिक पद

a_n = अंतिम पद

n = पदों की संख्या

S_n = n पदों का योग

हल ​:

श्रेढ़ी को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

 $\frac{1}{99}$[99x99+11 + 99x99+13 + ... + 99x99+67]

= $\frac{1}{99}$ [9812 + 9814 + 9816+ ... + 9868]

 अब, हमारी श्रेढ़ी है, 9812, 9814,...,9868.

a = 9812

a_n = 9868

d = 9814 - 9812 = 2

9868= 9812 + (n-1) x 2

n - 1 = 56/2 = 28

n = 29

S_n = 29 x (9812 + 9868) / 2 = (29 x 19680)/2 = 570720/2 = 285360

इसलिए, श्रेढ़ी का योग = 285360/99 = 95120/33

दिया है:

(1 - $\frac{1}{n}$) + (1 - $\frac{2}{n}$) + (1 - $\frac{3}{n}$) + n पद तक

प्रयुक्त सूत्र:

पदों का योग= n(n + 1)/2 

गणना:

(1 - $\frac{1}{n}$) + (1 - $\frac{2}{n}$) + (1 - $\frac{3}{n}$) + n पद तक

⇒ 1 × n - 1/n(1 + 2 + 3 + ......n)

⇒ n - 1/n × n × (n + 1)/2 

⇒ n - (n + 1)/2 

⇒ (2n - n - 1)/2 

⇒ (n - 1)/2 

∴ (1 - $\frac{1}{n}$) + (1 - $\frac{2}{n}$) + (1 - $\frac{3}{n}$) + n पद तक परिणाम होगा: (n - 1)/2 

दिया गया है:

पदों की संख्या = 20 

 श्रेणी  समांतर श्रेढ़ी (AP) में है, जहाँ 5 + 9 + 13 + 17 + ......

प्रयुक्त सूत्र:

S_n = n/2[2a + (n - 1)d]

गणना:

n = 20 

a = 5

d = 9 - 5 = 4 

S₂₀ = 20/2 [ 2 × 5 + 19 × 4]

⇒ 10 [ 10 + 76] 

⇒ 860

∴ अभीष्ट योग = 860

दिया गया है:

1² + 2² + 3² +.......+ 10² + 11² + 12² = 650

गणना:

प्रश्न के अनुसार, हमें ज्ञात करना है:

5 + 20 + 45 + .....+ 500 + 605 + 720

⇒ 5(1 + 4 + 9 + …. + 100 + 121 + 144)

⇒ 5(1² + 2² + 3² +.......+ 10² + 11² + 12²)

⇒ 5 × 650

⇒ 3250

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

गणना:

${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}+{\displaystyle \frac{1}{8\times 12}}+{\displaystyle \frac{1}{12\times 16}}$

${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}+({\displaystyle \frac{1}{1}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{10}})$

${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}({\displaystyle \frac{1}{1}}+{\displaystyle \frac{1}{3\times 1}}+{\displaystyle \frac{1}{3\times 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\times 5}})$

${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}({\displaystyle \frac{96}{60}})=1/20$

Alternate Method

${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}+{\displaystyle \frac{1}{8\times 12}}+{\displaystyle \frac{1}{12\times 16}}+...$

प्रत्येक पद  $\frac{1}{4n\times 4(n+1)}$ स्वरूप में है

⇒ चौथे पद n के लिए = 4

⇒ चौथा पद होना चाहिए $\frac{1}{(4\times 4)\times [4\times (4+1)]}=\frac{1}{16\times 20}$

श्रृंखला हो जाएगी ${\displaystyle \frac{1}{4\times 8}}+{\displaystyle \frac{1}{8\times 12}}+{\displaystyle \frac{1}{12\times 16}}+{\displaystyle \frac{1}{16\times 20}}$

⇒ $\frac{1}{4}[(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{12})+(\frac{1}{12}-\frac{1}{16})+(\frac{1}{16}-\frac{1}{20})]$

⇒ $\frac{1}{4}\times (\frac{1}{4}-\frac{1}{20})$

⇒ $\frac{1}{4}\times \frac{4}{20}$

⇒ 1/20

∴ श्रृंखला के पहले चार पदों का अभीष्ट योग 1/20 है।

दिया हुआ:

संख्याएँ सम हैं और 0 और 51 के बीच स्थित हैं। 

प्रयुक्त सूत्र;

AP में शब्दों की संख्या (n) = [(l - a)/d + 1]

AP का योग = (n/2) × (a + l)

यहाँ a पहला पद है, l अंतिम पद है, d सार्व अंतर है। 

गणना:

संख्या 2, 4, 6, ..... 50 हैं। 

कुल सम संख्याएँ = [(50 - 2)/2 + 1] = 25

पदों का योग = (25/2) × (2 + 50) = 25 × 26

⇒ पदों का योग = 650

∴ 650

प्रयुक्त सूत्र:

n संख्याओं के वर्ग का योग = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 

गणना:   

स्थिति: 1

12 + 22 + 32 + . . . . . . + 202

20 संख्याओं के वर्ग का योग = $\frac{20(20+1)(2\times 20+1)}{6}$

⇒ 20 संख्याओं के वर्ग का योग = $\frac{20\times 21\times 41}{6}$

⇒ 20 संख्याओं के वर्ग का योग = 2870

स्थिति: 2

 12 + 22 + 32 + . . . . . . + 102

⇒ 10 संख्याओं के वर्ग का योग = $\frac{10(10+1)(2\times 10+1)}{6}$

⇒ 10 संख्याओं के वर्ग का योग = $\frac{10\times 11\times 21}{6}$

⇒ 10 संख्याओं के वर्ग का योग = 385

प्रश्न के अनुसार:

⇒ 112 + 122 + 132 + . . . . . . + 202 = 20 संख्याओं के वर्ग का योग - 10 संख्याओं के वर्ग का योग

⇒ 112 + 122 + 132 + . . . . . . + 202 = 2870 - 385 

∴ 112 + 122 + 132 + . . . . . . + 202 = 2485

दिया गया है: 

श्रेणी: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 89 + 90

प्रयुक्त सूत्र 

पहली n प्राकृत संख्याओं का योग = n(n + 1)/2

गणना 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 89 + 90

दी गई श्रेणी के लिए, n = 90

इसलिए, योगफल = (90 × 91)/2 = 45 × 91 = 4095 

∴ श्रेणी का योग 4095 है।

प्रयुक्त सूत्र:

पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग = n²

गणना

1 से 29 तक विषम संख्याओं की गणना = 15 

पहले 15 विषम प्राकृत संख्याओं का योग = 15² = 225

∴ 225

Alternate Method

पद समानांतर श्रेढ़ी (1, 3, 5, 7, ....... 29) में हैं। 

प्रयुक्त सूत्र:

समानांतर श्रेढ़ी का योग = (n/2) × (a + an)

n = (an - a)/d + 1

यहाँ पहला पद a है, an अंतिम पद है और n पदों की संख्या है, d सार्व अंतर है।

गणना:

यहाँ n = (29 - 1)/2 + 1 = 15

पदों का योग = (n/2) × (a + an) = (15/2) × (1 + 29) = 225

∴ 225

दिया गया है:

1 से 41 तक की प्राकृत संख्याएं

प्रयुक्त सूत्र:

n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = $\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{6}$

पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए = $\frac{Lastnumber-Firstnumber}{Difference}$ + 1

औसत = $\frac{Sum}{Numberofterms}$

गणना:

पदों की संख्या =  $\frac{Lastnumber-Firstnumber}{Difference}$ + 1

= $\frac{41-1}{1}$ + 1

= 41 पद

n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = $\frac{(n)(n+1)(2n+1)}{6}$

= $\frac{(41)\times (42)\times (83)}{6}$

= 23821

औसत  = $\frac{Sum}{Numberofterms}$

= $\frac{23821}{41}$

= 581

सही उत्तर 581 है