Shifting of Origin MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Shifting of Origin - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
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Shifting of Origin Question 1:
जब मूल बिंदु को अक्षों के स्थानांतरण द्वारा बिंदु (2, -1) पर स्थानांतरित किया जाता है, तो बिंदु (-1, 2) बदलकर (a, b) हो जाता है। जब अक्षों को नए मूल बिंदु के परितः \(45^\circ\) के कोण पर घुमाया जाता है, तो बिंदु (a, b) बदलकर (c, d) हो जाता है। जब (c, d) को y = x से परावर्तित किया जाता है, तो (c, d) बदलकर (e, f) हो जाता है। तब (e, f) =
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 1 Detailed Solution
गणना
दिया गया है:
मूल बिंदु: (-1, 2)
नया मूल बिंदु: (2, -1)
घुमाव का कोण: 45°
y = x के सापेक्ष परावर्तन
1) अक्षों का स्थानांतरण:
मान लीजिये नए निर्देशांक (a, b) हैं।
\(a = x - h = -1 - 2 = -3\)
\(b = y - k = 2 - (-1) = 3\)
⇒ \((a, b) = (-3, 3)\)
2) अक्षों का 45° से घुमाव:
मान लीजिये नए निर्देशांक (c, d) हैं।
\(c = a\cos\theta + b\sin\theta = -3\cos 45° + 3\sin 45° = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0\)
\(d = -a\sin\theta + b\cos\theta = -(-3)\sin 45° + 3\cos 45° = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)
⇒ \((c, d) = (0, 3\sqrt{2})\)
3) y = x के सापेक्ष परावर्तन:
मान लीजिये नए निर्देशांक (e, f) हैं।
जब y = x के सापेक्ष परावर्तित किया जाता है, तो (x, y) (y, x) बन जाता है।
⇒ \((e, f) = (3\sqrt{2}, 0)\)
इसलिए विकल्प 3 सही है।
Shifting of Origin Question 2:
यदि मूलबिंदु को बिंदु P पर अक्षों के स्थानांतरण द्वारा स्थानांतरित किया जाता है ताकि समीकरण x2 - y2 + 2y - 1 = 0 से y-पद को हटाया जा सके, तो इसका रूपांतरित समीकरण है
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु का स्थानांतरण:
- इस समस्या में, दिए गए समीकरण से रैखिक y-पद को हटाने के लिए अक्षों के स्थानांतरण का उपयोग करके मूलबिंदु को एक नए बिंदु P पर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।
- समीकरण का सामान्य रूप x² - y² + 2y - 1 = 0 है, और हमें मूलबिंदु को स्थानांतरित करने के बाद रूपांतरित समीकरण ज्ञात करना है।
गणना:
दिया गया समीकरण:
x² - y² + 2y - 1 = 0
चरण 1: वर्ग पूर्ण करना
रैखिक y-पद को समाप्त करने के लिए, हम वर्ग को पूर्ण करते हैं:
x² - (y² - 2y) - 1 = 0
y² - 2y को पुनर्लेखित करना:
y² - 2y = (y - 1)² - 1
इस प्रकार, वापस प्रतिस्थापित करना:
x² - ((y - 1)² - 1) - 1 = 0
चरण 2: मूलबिंदु को स्थानांतरित करना
एक नई निर्देशांक प्रणाली Y = y - 1 प्रस्तुत करें, जहाँ मूलबिंदु (0, 1) पर स्थानांतरित हो जाता है। रूपांतरित समीकरण बन जाता है:
x² - Y² = 0
चूँकि Y = y - 1, हम निष्कर्ष निकालते हैं:
x² - y² = 0
इस प्रकार, रूपांतरित समीकरण है:
x² - y² = 0
Shifting of Origin Question 3:
जब अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूल को (-1, 2) में स्थानांतरित किया जाता है, तो x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0 का रूपांतरित समीकरण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 3 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि (x , y) किसी बिंदु के निर्देशांक हैं और मूल बिंदु (h, k) पर स्थानांतरित कर दिया गया है, तो बिंदु के नए निर्देशांक (X, Y) निम्न द्वारा दिए जाएंगे
x = X + h और y = Y + k
व्याख्या:
दिया है, x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0
⇒ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 0
⇒ (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 4
अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूल को (-1, 2) में स्थानांतरित कर दिया जाता है,
∴ x = X - 1 और y = Y + 2
रूपांतरित समीकरण होगा
(X - 1 + 1)2 + ( Y + 2 - 2)2 = 4
∴ X2 + Y2 = 4
अतः सही उत्तर विकल्प (1) है।
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Shifting of Origin Question 4:
जब अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूल को (-1, 2) में स्थानांतरित किया जाता है, तो x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0 का रूपांतरित समीकरण है:
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि (x , y) किसी बिंदु के निर्देशांक हैं और मूल बिंदु (h, k) पर स्थानांतरित कर दिया गया है, तो बिंदु के नए निर्देशांक (X, Y) निम्न द्वारा दिए जाएंगे
x = X + h और y = Y + k
व्याख्या:
दिया है, x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0
⇒ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 4 = 0
⇒ (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 4
अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूल को (-1, 2) में स्थानांतरित कर दिया जाता है,
∴ x = X - 1 और y = Y + 2
रूपांतरित समीकरण होगा
(X - 1 + 1)2 + ( Y + 2 - 2)2 = 4
∴ X2 + Y2 = 4
अतः सही उत्तर विकल्प (1) है।
Shifting of Origin Question 5:
जब मूल बिंदु को अक्षों के स्थानांतरण द्वारा बिंदु (2, -1) पर स्थानांतरित किया जाता है, तो बिंदु (-1, 2) बदलकर (a, b) हो जाता है। जब अक्षों को नए मूल बिंदु के परितः \(45^\circ\) के कोण पर घुमाया जाता है, तो बिंदु (a, b) बदलकर (c, d) हो जाता है। जब (c, d) को y = x से परावर्तित किया जाता है, तो (c, d) बदलकर (e, f) हो जाता है। तब (e, f) =
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 5 Detailed Solution
गणना
दिया गया है:
मूल बिंदु: (-1, 2)
नया मूल बिंदु: (2, -1)
घुमाव का कोण: 45°
y = x के सापेक्ष परावर्तन
1) अक्षों का स्थानांतरण:
मान लीजिये नए निर्देशांक (a, b) हैं।
\(a = x - h = -1 - 2 = -3\)
\(b = y - k = 2 - (-1) = 3\)
⇒ \((a, b) = (-3, 3)\)
2) अक्षों का 45° से घुमाव:
मान लीजिये नए निर्देशांक (c, d) हैं।
\(c = a\cos\theta + b\sin\theta = -3\cos 45° + 3\sin 45° = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0\)
\(d = -a\sin\theta + b\cos\theta = -(-3)\sin 45° + 3\cos 45° = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)
⇒ \((c, d) = (0, 3\sqrt{2})\)
3) y = x के सापेक्ष परावर्तन:
मान लीजिये नए निर्देशांक (e, f) हैं।
जब y = x के सापेक्ष परावर्तित किया जाता है, तो (x, y) (y, x) बन जाता है।
⇒ \((e, f) = (3\sqrt{2}, 0)\)
इसलिए विकल्प 3 सही है।
Shifting of Origin Question 6:
यदि मूलबिंदु को बिंदु P पर अक्षों के स्थानांतरण द्वारा स्थानांतरित किया जाता है ताकि समीकरण x2 - y2 + 2y - 1 = 0 से y-पद को हटाया जा सके, तो इसका रूपांतरित समीकरण है
Answer (Detailed Solution Below)
Shifting of Origin Question 6 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु का स्थानांतरण:
- इस समस्या में, दिए गए समीकरण से रैखिक y-पद को हटाने के लिए अक्षों के स्थानांतरण का उपयोग करके मूलबिंदु को एक नए बिंदु P पर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।
- समीकरण का सामान्य रूप x² - y² + 2y - 1 = 0 है, और हमें मूलबिंदु को स्थानांतरित करने के बाद रूपांतरित समीकरण ज्ञात करना है।
गणना:
दिया गया समीकरण:
x² - y² + 2y - 1 = 0
चरण 1: वर्ग पूर्ण करना
रैखिक y-पद को समाप्त करने के लिए, हम वर्ग को पूर्ण करते हैं:
x² - (y² - 2y) - 1 = 0
y² - 2y को पुनर्लेखित करना:
y² - 2y = (y - 1)² - 1
इस प्रकार, वापस प्रतिस्थापित करना:
x² - ((y - 1)² - 1) - 1 = 0
चरण 2: मूलबिंदु को स्थानांतरित करना
एक नई निर्देशांक प्रणाली Y = y - 1 प्रस्तुत करें, जहाँ मूलबिंदु (0, 1) पर स्थानांतरित हो जाता है। रूपांतरित समीकरण बन जाता है:
x² - Y² = 0
चूँकि Y = y - 1, हम निष्कर्ष निकालते हैं:
x² - y² = 0
इस प्रकार, रूपांतरित समीकरण है:
x² - y² = 0