Properties of Triangle MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Triangle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी, AC = 20 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Δ) = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

जहाँ s = अर्ध-परिमाप = $\frac{a+b+c}{2}$

अंकित वृत्त की त्रिज्या (r) = $\frac{\mathrm{\Delta }}{s}$

गणनाएँ:

a = 12 सेमी, b = 16 सेमी, c = 20 सेमी

s = $\frac{12+16+20}{2}$ = 24 सेमी

क्षेत्रफल (Δ) = $\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}$

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = $\sqrt{24\times 12\times 8\times 4}$

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = $\sqrt{9216}$

⇒ क्षेत्रफल (Δ) = 96 सेमी2

त्रिज्या (r) = $\frac{96}{24}$

⇒ त्रिज्या (r) = 4 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया है:

∠P = 54º

ΔABC की भुजाएँ AB और AC क्रमशः D और E तक बढ़ाई गई हैं।

∠CBD और ∠BCE के समद्विभाजक P पर मिलते हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

बाह्य कोण गुणधर्म: ∠P = ∠CBD + ∠BCE

त्रिभुज के कोणों का योग: ∠A + ∠B + ∠C = 180º

गणना:

बाह्य कोण गुणधर्म का उपयोग करते हुए:

∠P = ∠CBD + ∠BCE

⇒ 54º = ∠B + ∠C

त्रिभुज के कोणों के योग का उपयोग करते हुए:

∠A + ∠B + ∠C = 180º

⇒ ∠A + 54º = 180º

⇒ ∠A = 180º - 54º

⇒ ∠A = 126º

∠A का माप 126º है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, O कोण B और कोण A के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु है। 

कोण BOC = 108°

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A

कोण समद्विभाजक प्रमेय - त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

गणना:

यदि त्रिभुज ABC के कोण ABC और कोण ACB के समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं, तो ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A

⇒ 108° = 90° + $\frac{1}{2}$∠A

⇒ $\frac{1}{2}$∠A = (108° – 90°)

⇒ $\frac{1}{2}$∠A = 18° 

⇒ ∠A = 36° 

अब,

हम जानते हैं कि, त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो भागों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

इसलिए,

⇒ ∠BAO = $\frac{\angle A}{2}$

⇒ ∠BAO = $\frac{36}{2}$

⇒ ∠BAO = 18° 

∴ कोण BAO का मान = 18°

Confusion Points  ∠A, ∠B और ∠C के समद्विभाजक एक ही बिंदु अर्थात् O पर प्रतिच्छेद करेंगे।

दिया गया है:

समकोण त्रिभुज की एक भुजा दूसरी भुजा की तिगुनी है।

कर्ण 8 सेमी है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × p × b

यहाँ, p = लंब, b = आधार

गणना:

माना भुजाएँ 3x सेमी और x सेमी हैं। 

⇒ 3x² + x² = 8²

⇒ 9x2 + x2 = 64

⇒ 10x2 = 64

⇒ x2 = 64/10

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × 3x × x

⇒ (1/2) × 3x²

⇒ (1/2) × 3 × 64/10

⇒ 96/10 = 9.6 सेमी²

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल 9.6 सेमी² है।

दिया गया है:

एक समकोण त्रिभुज के दो न्यून कोण 4:5 के अनुपात में हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग = 90º

गणना:

मान लीजिए कि न्यून कोण 4x और 5x हैं।

न्यून कोणों का योग = 90º

4x + 5x = 90º

⇒ 9x = 90º

⇒ x = 90º / 9

⇒ x = 10º

न्यून कोण = 4x और 5x

⇒ 4 × 10º और 5 × 10º

⇒ 40º और 50º

न्यून कोण 40º और 50º हैं।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC में, AB = 12 सेमी और AC = 10 सेमी और ∠BAC = 60° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

कोसाइन के नियम के अनुसार, यदि a, b, और c त्रिभुज ΔABC की तीन भुजाएँ हैं और ∠C AC और AB के बीच का कोण है, तो a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

BC² = AB² + AC² - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC² = 12² + 10² - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC² = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC की माप 11.13 सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि त्रिभुज का परिमाप "p" है।

माना कुल सम्भावित त्रिभुज "t" है।

यदि p = सम है, तो

t = p2/48

यदि p = विषम है, तो

t = (p + 3)2/48

गणना:

प्रश्नानुसार,

कुल सम्भावित त्रिभुज = (13 + 3)^2/48

⇒ 5.33 ≈ 5

∴ कुल सम्भावित त्रिभुज 5 हैं।

दिया गया है:

त्रिभुज की पहली भुजा = 30 सेमी

त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सेमी

त्रिभुज की तीसरी भुजा = 42 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

(तीसरी भुजा - पहली भुजा) < दूसरी भुजा < (तीसरी भुजा + पहली भुजा)

गणना:

दूसरी भुजा का परिसर = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

ABC कोण B पर समकोण त्रिभुज है, BC = 10 सेमी है। 

AC = 12 सेमी, B से AC तक लंबवत लंबाई p है। 

प्रयुक्त सूत्र:

Δ का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

गणना:

Δ ABC में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

यहाँ, हम क्षेत्रफल को दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं,

1) AC को आधार और लंबाई p को लंब मानकर।

2) BC को आधार और AB को लंब मानकर

ΔABC का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 सेमी 

∴ सही उत्तर (5√11)/3 सेमी है। 

दिया गया है:

AB = 8.4 सेमी, और AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती दो भागों में विभाजित करता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

इसलिए, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 सेमी

∴ भुजा BC की लम्बाई 7 सेमी होगी।

दिया गया है:

लंबवत दूरी:

P₁ = √3; P₂ = 2√3; P₃ = 5√3

प्रयुक्त अवधारणा:

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3 × भुजा)/2 

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = बिंदु से लंबवत दूरियों का योग

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

गणना:

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = लम्बवत दूरियों का योग

⇒ (√3 × भुजा)/2 = P1 + P2 + P3 

⇒ (√3 × भुजा)/2 = √3 + 2√3 + 5√3

⇒ भुजा = 8 × 2 = 16 सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

⇒ 3 × 16 = 48 सेमी

∴ सही उत्तर 48 सेमी है।

दिया गया है:

ΔABC में, भुजा AB का मध्य-बिंदु M है।

ΔABC के अन्दर एक बिंदु N इस प्रकार है कि CN, ∠C का सम्द्विभाजक है और CN ⊥ NB है।

BC = 10 सेमी

AC = 15 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

मध्य-बिंदु प्रमेय - त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, उसकी तीसरी भुजा के समानांतर और साथ ही तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है।

गणना:

रचना: BN को P तक बढ़ाते हैं, जो AC से P पर मिलता है। और MN को मिलते हैं;

प्रश्नानुसार,

ΔNPC और ΔNBC में,

∠N = ∠N  [90°]

BC = PC [संगत भुजा]

BN = NP [संगत कोण]

∴ ΔNPC ≅ ΔNBC 

इसलिए, NB = NP (इसका अर्थ है कि बिंदु N भुजा BP का मध्य बिंदु है)

और, BC = PC = 10 सेमी

तो, AP = AC – PC

⇒ (15 – 10) सेमी

⇒ AP = 5 सेमी

अब, ΔABP में

M और N, AB और BP के मध्यबिंदु हैं

इसलिए, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार

⇒ MN = $\frac{AP}{2}$

⇒ $\frac{5}{2}$ सेमी

⇒ 2.5 सेमी

∴ MN की लंबाई 2.5 सेमी है।

Shortcut Trick  

मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करने पर,

ΔBAP में,

MN = $\frac{AP}{2}$ = $\frac{5}{2}$ = 2.5 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

एक त्रिभुज का एक वाह्य कोण दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

ΔACD को ध्यान में रखते हुए, y + 110° = 120°

⇒ y = 10°

ΔABC को ध्यान में रखते हुए, एक त्रिभुज के दो आंतरिक कोणों का योग तीसरे कोण के बाहरी कोण के बराबर होता है।

अतः, x + z = 110°

अब, x + y + z

⇒ 110° + 10° = 120°

∴ x + y + z की माप 120° है।

दिया गया है:

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 4 ∶ 6 ∶ 8 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि छोटी भुजाओं के वर्गों का योग, सबसे बड़ी भुजा के वर्ग से कम हो तो त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज कहलाता है।

गणना:

माना कि त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः 4x, 6x और 8x हैं।

अब,

(4x)2 + (6x)2 < (8x)2

⇒ 52x2 < 64x2

इसलिए, त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है।

∴  त्रिभुज अधिककोण है।

गणना: 

∠BAC = 72° 

कोण योग गुणधर्म से,