Problems on coins MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Problems on coins - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

एक निष्पक्ष सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक कि लगातार दो चित्त नहीं आ जाते।

तब,

P (आवश्यक उछालों की संख्या 6 से कम है) = P(HH) + P(THH) + P(TTHH) + P(TTTHH)

= $(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^3+(\frac{1}{2}{)}^4+(\frac{1}{2}{)}^5$

= $\frac{(\frac{1}{2}{)}^2[1-(\frac{1}{2}{)}^4}{1-\frac{1}{2}}$

= $\frac{\frac{1}{4}[1-\frac{1}{16}]}{\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{4}\times \frac{15}{16}\times \frac{2}{1}=\frac{15}{32}$

∴ विकल्प (b) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

सप्रतिबंध प्रायिकता: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

गणना

कुल संभावित मामले

{H, TH, TTH, TTT}

P(H) = 1/2

P(TH) = $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

P(TTH) = $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

P(सिक्का तीन बार उछाला गया) = P(TTH) + P(TTT) = 1/4

P(सिक्का तीन बार उछाला गया | पहला उछाल पट नहीं है) = $\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}$

अतः विकल्प 1 सही है। 

गणना

जब परिणाम निम्नलिखित परिणामों के समुच्चय में से एक होता है, तो $X$ जीतता है:

$H,TTH,TTTTH,....$

चूँकि बाद के टॉस स्वतंत्र हैं, इसलिए $X$ के जीतने की प्रायिकता $p+{\displaystyle \frac{p}{4}}+{\displaystyle \frac{p}{16}}+...={\displaystyle \frac{4p}{3}}$ है।

इसी प्रकार, $Y$ जीतता है यदि परिणाम निम्नलिखित में से एक है: $TH,TTTH,TTTTTH,...$

इसलिए, $Y$ के जीतने की प्रायिकता ${\displaystyle \frac{1-p}{2}}+{\displaystyle \frac{1-p}{8}}+{\displaystyle \frac{1-p}{32}}={\displaystyle \frac{2(1-p)}{3}}$ है।

चूँकि $X$ और $Y$ समान प्रायिकता के साथ जीतते हैं, हमारे पास ${\displaystyle \frac{4p}{3}}={\displaystyle \frac{2(1-p)}{3}}\Rightarrow p={\displaystyle \frac{1}{3}}$ है।

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है।

गणना

मान लीजिए, n टॉस की संख्या है,

एक प्रयास में हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। 

कम से कम एक हेड प्राप्त करने की प्रायिकता है: $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ 

⇒ $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n>\frac{99}{100}\Rightarrow {\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{100}\Rightarrow n=7$

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

$P(H)=\frac{1}{3}$

$P(T)=\frac{2}{3}$

P(E) = P(HH) + P(THH) + P(HTHH) + P(THTHH) + P(HTHTHH) + P(THTHTHH) + ….

$\Rightarrow \frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}+\frac{4}{3^5}+\frac{4}{3^6}+\frac{8}{3^7}+\frac{8}{3^8}+\dots$.

$\Rightarrow (\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^4}+\frac{4}{3^6}+\dots .)+(\frac{2}{3^3}+\frac{4}{3^5}+\frac{8}{3^7}+\dots .)$

⇒ $P(E)=\frac{1}{7}+\frac{2}{21}=\frac{5}{21}$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

• n (n > r) के एक समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 
• विशिष्ट स्थिति की प्रायिकता = $\frac{\text{Number of ways for the case can be executed}}{\text{Total number of ways for selection}}$

गणना:

यदि यह ज्ञात है कि तीसरे उछाल में चित प्राप्त होता है, तो संभव स्थितियां:

(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H)

∴ कुल संभव स्थितियां = 4

कुल अनुकूल स्थितियां = 3 [(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H)]

 इसलिए, आवश्यक प्रायिकता  P = $\frac{\text{Total favorable cases}}{\text{Total possible cases}}$

P = $\frac{3}{4}$

अवधारणा:

P(A) = $\frac{n(A)}{n(S)}$

जहाँ n(A) = घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और n(S) = प्रतिदर्श समष्टि की गणन-संख्या।

हल:

यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

S = {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT}

एक या दो हेड (चित) आने की प्रायिकता:

A = {HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT}

$P(A)=\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

संकल्पना:

नमूना स्थान और कुछ नहीं बल्कि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक समुच्चय है।

यदि हम एक सिक्का n बार उछालते हैं तो संभावित परिणाम या नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या = 2n तत्व

गणना:

जब सिक्का उछाला जाता है तो परिणामों की संख्या = 2 (हेड या टेल)

∴ जब एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है तो संभावित परिणाम = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2: 64

संकल्पना:

कुल संभव परिणाम N में से एक परिणाम A आने की प्रायिकता को $\mathrm{P}(\mathrm{A})={\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}$द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) उन तरीकों की संख्या है जिसमें घटना A घटित हो सकती है।

गणना:

एक सिक्के को 3 बार उछालने पर विभिन्न संभावित परिणामों की कुल संख्या (N), 2³ = 8 है।

वैकल्पिक रूप से एक चित और एक पट प्राप्त करने के लिए संभावनाएं हैं: HTH, THT → 2 संभावनाएं n(A)।

∴ आवश्यक प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Alternate Method

एक सिक्के का संभावित सेट 3 बार उछाला जाता है {HHH}{HHT}{HTH}{HTT}{TTT}{TTH}{THT}{THH} = 8

बारी-बारी से चित और पट आने की प्रायिकता है {HTH}{THT} = 2

तो, अभीष्ट प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

संकल्पना:

एक घटना के होने की प्रायिकता = (उन तरीकों की संख्या जिसमें यह घटित हो सकता है)/(परिणामों की कुल संख्या)

गणना:

चार सिक्कों को एकसाथ उछाला जाता है।

S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, HHTT ,HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, TTHH, TTHT, THTT, TTTH, TTTT}

n(S) = 16 

माना कि, A पूर्ण रूप से दो चित प्राप्त करने की एक घटना है। 

A = {HHTT, HTTH, HTHT, THHT, THTH, TTHH}

n(A) = 6

∴P(पूर्ण रूप से दो चित प्राप्त करना) = n(A)/n(S)

= 6/16

= 3/8 

अतः विकल्प (4) सही है।                  

अवधारणा:

स्वतंत्र घटनाओं A और B के लिए,

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:

प्रथम टॉस पर चित पाने की प्रायिकता P (E) = $\frac{1}{2}$

प्रथम टॉस पर चित पाने की प्रायिकता P (F) = $\frac{1}{2}$

P(E ∩ F) = $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)

P(E ∪ F) = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{4}$

P(E ∪ F) = $\frac{3}{4}$

संकल्पना:

यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A और B) = P(A).P(B)

स्पष्टीकरण:

पाँच उछालों में अधिक से अधिक चार पट आने की प्रायिकता = 1 - सभी पाँच पट आने की प्रायिकता

⇒ पांच उछाल में अधिक से अधिक चार पट आने की प्रायिकता = 1 - P(T,T,T,T,T)

एक उछाल में, P(H) = $\frac{1}{2}$ और P(T) = $\frac{1}{2}$

चूँकि सभी पाँच उछाल स्वतंत्र हैं,

⇒ P(T,T,T,T,T) = $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{32}$

⇒पाँच उछालों में अधिकतम चार पट आने की प्रायिकता = 1 - ​​$\frac{1}{32}$ = ​​​$\frac{31}{32}$​

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

एक घटना के घटित होने की प्रायिकता = $\frac{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ 

गणना:

दिया गया है:

एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है। 

प्रतिदर्श समष्‍टि निम्न हैं,

S = {(H,H,H) , (H,H,T) , (H,T,H) , (H,T,T) , (T,H,H) , (T,H,T) , (T,T,H) , (T,T,T)}

∴ परिणामों की कुल संख्या = 8 

निम्न को ज्ञात करने के लिए: वह प्रायिकता कि वे दो चित और एक पट दर्शाएंगे। 

दो चित और एक पट लेने पर,

इसलिए, अनुकूल परिणाम निम्न हैं = {(H,H,T) , (H,T,H), (T,H,H)} = 3

अतः वह प्रायिकता कि वे दो चित और एक पट दर्शाएंगे = 3/8 

संकल्पना:

माना कि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और E एक घटना इस प्रकार है जिससे n(S) = n, n(E) = m है और प्रत्येक परिणाम के समान रूप से आने की संभावना है। तो 

$P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}=\frac{m}{n}$

यदि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग के साथ संबंधित कोई भी दो घटनाएं हैं, तो P (A ∩ B) = P(A) × P(B) है। 

गणना:

दिया गया है: एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। 

इसलिए, दिए गए प्रयोग के लिए प्रतिदर्श निम्न है: S = {HHH, TTT, HTT, HHT, HTH, THH, TTH, THT}

⇒ n(S) = 8

माना कि E वह घटना है कि चित और पट एक-एक करके आते हैं। 

अर्थात्E = {HTH, THT}

⇒ n(E) = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, एक घटना की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}=\frac{m}{n}$

⇒ $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

उपरोक्त समीकरण में n(S) = 8 और n(E) = 2 रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ $P(E)=\frac{1}{4}$

अतः विकल्प B सही उत्तर है।          

इस्तेमाल किया सूत्र:

प्रायिकता = $\frac{Numberoffavourableevents}{Totalevents}$

गणना:

जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम,

n(S) = {HH, HT, TH, TT} = 4

यदि चित(हेड) कम से कम एक बार प्राप्त किया जाता है, तो संभावित परिणाम,

n(P) = {HH, HT, TH} = 3

इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता

P(E) = $\frac{n(P)}{n(S)}$

⇒ P(E) = $\frac{3}{4}$

अत: विकल्प 3 सही है।