Periodicity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Periodicity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

x(t) = \(\begin{cases} 1, \frac{-T}{4} < t \leq \frac{3T}{4}& \quad \\ -1, \frac{3T}{4} < t < \frac{7T}{4} & \quad \\ -x(t +T) \end{cases} \)

इसलिए x(t) का आलेख नीचे दिए गए अनुसार होगा,

अतः x(t) का आवर्त है,

T₀ = \({7T\over 4}-(-\frac T4)=\frac{8T}{4}\) = 2T

तो, मूलभूत कोणीय आवृत्ति,

ω₀ = \({2\pi\over T_0}={2\pi\over 2T}={\pi\over T}\)....(i)

अब, 

C₁ = k = 1 के लिए घातांकीय शृंखला गुणांक,

     = \({1\over T_0}\displaystyle\int_{T_0}x(t)e^{-jω_0t}dt\)

    = \({T\over \pi}\left[\displaystyle\int_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}e^{-jω_0t}dt-\displaystyle\int_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}e^{-jω_0t}dt\right]\)

   = \({T\over \pi}\left\{ \left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}-\left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}\right\}\)         

  = \({-T\over \pi j ω_0}\left\{ e^{-{jω_03T\over 4}}-e^{{jω_0T\over 4}}-e^{-{jω_07T\over 4}}+e^{-{jω_03T\over 4}}\right\}\)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{e^{-{3\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{-{7\pi j\over4}}+e^{-{3\pi j\over4}}\right\}\) ((i) के प्रयोग से)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}\right\}\) 

   = \({2\over \pi j}e^{{\pi j\over4}}\) 

  = \({-2j\over \pi }(\cos{\pi\over 4}+j \sin{\pi\over 4})\) (as j² =- 1)

  = \({-2j\over \pi }({1\over \sqrt2}+j {1\over \sqrt2})\)

C1 = \({2\over \pi\sqrt2 }-j {2\over\pi \sqrt2}\)

उपरोक्त की C1 = \({a_1\over 2}+{b_1\over 2}\) से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

a₁ = \(4\over \pi\sqrt2\) , b₁ = - \(4\over \pi\sqrt2\)

अतः मूलभूत फूरियर पद 

= a₁cos(ω₀t) + b1sin(ω0t)

= \({4\over \pi\sqrt2}\cos({\pi t\over T})-{4\over \pi\sqrt2}\sin({\pi t\over T})\)

= \({4\over \pi}(\sin{\pi\over 4}\cos({\pi t\over T})-\cos {\pi \over 4}\sin({\pi t\over T}))\)

= \(\frac{4}{\pi} \sin (\frac{\pi t}{T} - \frac{\pi}{4})\) (चूँकि sin a cos b - cos a sin b = sin(a - b))

विकल्प (2) सत्य है। 

फूरियर श्रेणी केवल आवर्तिक सिग्नलों के लिए मौजूद होती है।

किसी सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी होना आवश्यक है, “ऑर्थोगोनालिटी का सिद्धांत” का पालन करना आवश्यक है, यह बताता है कि सिग्नल x(t) और g(t) ऑर्थोगोनल हैं यदि \(\mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} x\left( t \right)g\left( t \right) = 0\)

फूरियर श्रेणी केवल आवर्तिक सिग्नलों के लिए मौजूद होती है।

किसी सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी होना आवश्यक है, “ऑर्थोगोनालिटी का सिद्धांत” का पालन करना आवश्यक है, यह बताता है कि सिग्नल x(t) और g(t) ऑर्थोगोनल हैं यदि \(\mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} x\left( t \right)g\left( t \right) = 0\)

फूरियर श्रेणी केवल आवर्तिक सिग्नलों के लिए मौजूद होती है।

किसी सिग्नल के लिए फूरियर श्रेणी होना आवश्यक है, “ऑर्थोगोनालिटी का सिद्धांत” का पालन करना आवश्यक है, यह बताता है कि सिग्नल x(t) और g(t) ऑर्थोगोनल हैं यदि \(\mathop \smallint \limits_{{t_1}}^{{t_2}} x\left( t \right)g\left( t \right) = 0\)

स्पष्टीकरण:

x(t) = \(\begin{cases} 1, \frac{-T}{4} < t \leq \frac{3T}{4}& \quad \\ -1, \frac{3T}{4} < t < \frac{7T}{4} & \quad \\ -x(t +T) \end{cases} \)

इसलिए x(t) का आलेख नीचे दिए गए अनुसार होगा,

अतः x(t) का आवर्त है,

T₀ = \({7T\over 4}-(-\frac T4)=\frac{8T}{4}\) = 2T

तो, मूलभूत कोणीय आवृत्ति,

ω₀ = \({2\pi\over T_0}={2\pi\over 2T}={\pi\over T}\)....(i)

अब, 

C₁ = k = 1 के लिए घातांकीय शृंखला गुणांक,

     = \({1\over T_0}\displaystyle\int_{T_0}x(t)e^{-jω_0t}dt\)

    = \({T\over \pi}\left[\displaystyle\int_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}e^{-jω_0t}dt-\displaystyle\int_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}e^{-jω_0t}dt\right]\)

   = \({T\over \pi}\left\{ \left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{-\frac T4}^{{3T\over 4}}-\left[{e^{-jω_0t}\over -jω_0}\right]_{\frac {3T}4}^{{7T\over 4}}\right\}\)         

  = \({-T\over \pi j ω_0}\left\{ e^{-{jω_03T\over 4}}-e^{{jω_0T\over 4}}-e^{-{jω_07T\over 4}}+e^{-{jω_03T\over 4}}\right\}\)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{e^{-{3\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{-{7\pi j\over4}}+e^{-{3\pi j\over4}}\right\}\) ((i) के प्रयोग से)

  = \(-{1\over 2\pi j}\left\{-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}-e^{{\pi j\over4}}\right\}\) 

   = \({2\over \pi j}e^{{\pi j\over4}}\) 

  = \({-2j\over \pi }(\cos{\pi\over 4}+j \sin{\pi\over 4})\) (as j² =- 1)

  = \({-2j\over \pi }({1\over \sqrt2}+j {1\over \sqrt2})\)

C1 = \({2\over \pi\sqrt2 }-j {2\over\pi \sqrt2}\)

उपरोक्त की C1 = \({a_1\over 2}+{b_1\over 2}\) से तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

a₁ = \(4\over \pi\sqrt2\) , b₁ = - \(4\over \pi\sqrt2\)

अतः मूलभूत फूरियर पद 

= a₁cos(ω₀t) + b1sin(ω0t)

= \({4\over \pi\sqrt2}\cos({\pi t\over T})-{4\over \pi\sqrt2}\sin({\pi t\over T})\)

= \({4\over \pi}(\sin{\pi\over 4}\cos({\pi t\over T})-\cos {\pi \over 4}\sin({\pi t\over T}))\)

= \(\frac{4}{\pi} \sin (\frac{\pi t}{T} - \frac{\pi}{4})\) (चूँकि sin a cos b - cos a sin b = sin(a - b))

विकल्प (2) सत्य है।