Signals and Systems MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Signals and Systems - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा :

आवेग फलन का स्थानांतरण गुण

\(\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta (t -a ) dt = x(a)\)

आवेग फलन का स्केलिंग गुण

\(\delta (at) = \frac{1}{|a|)} \delta (t)\)

स्पष्टीकरण :

माना:

\(\rm I =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(2t - 2) dt\)

\( I = \rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta[2(t - 1)] dt\)

उपरोक्त समीकरण में आवेग फलन के स्केलिंग गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करेंगे:

\( I =\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \frac{1}{|2|}\delta(t - 1) dt\)

आवेग फलन के स्थानांतरण गुण को उपरोक्त समीकरण में लागू करने पर, हम प्राप्त करेंगे:

\( I =\frac{1}{2}\rm\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t} \delta(t - 1) dt\)

\(I = \frac{1}{2}. \left. e^{-t} \right|_{t = 1}\)

\(\frac{1}{{2e}}\)

संकल्पना:

उपघटन का परिवर्जन करने के लिए न्यूनतम प्रतिचयन दर:

f_s = 2f_m= (नाइक्विस्ट दर)

गणना:

दिया गया है कि, ω_m = 400 π

f_m = 200 Hz = सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति

प्रतिचयन आवृत्ति f_s = 2 × 200 = 400 Hz

अवधारणा:

द्विपक्षीय लाप्लास रूपांतर:

\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)

एकपक्षीय लाप्लास रूपांतर:

\(L\left[ {x\left( t \right)} \right] = x\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty x\left( t \right){e^{ - st}}dt\)

कुछ महत्वपूर्ण लाप्लास रूपांतर:

गणना:

\(\sin \omega t. u(t)\leftrightarrow \frac{\omega }{{{s^2} + {\omega ^2}}}\)

आवृत्ति अवकल गुण लागू करके,

\({e^{ - at}}\sin \omega t. u(t) \leftrightarrow \frac{\omega }{{{{\left( {s + a} \right)}^2} + {\omega ^2}}}\)

मॉडुलन:

• वह प्रक्रिया जिसमें बैंडपास संकेत (सिग्नल) का निर्माण करने लिए बेसबैंड संदेश संकेत (सिग्नल) के अनुसार वाहक सिग्नल में भिन्न विशेषताएं होती हैं।

विबहुसंकेतन :

• एक चैनल पर कई एनालॉग या डिजिटल रूप में इनपुट किये गए संकेत (सिग्नल) या डेटा स्ट्रीम संचरित करने की प्रक्रिया या तकनीक को बहुसंकेतन कहा जाता है।
• बहुसंकेतन प्रक्रिया के उत्क्रम विबहुसंकेतन एक ऐसी प्रक्रिया है जो एक संकेत (सिग्नल) को कई एनालॉग या डिजिटल सिग्नल स्ट्रीम से मूल सिग्नल में वापस लाती है।​

प्रतिचयन :

• निरंतर समय संकेतों को असतत समय संकेत में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।

परिमाणीकरण:

• यह असतत समय संकेत में निरंतर समय संकेतों के परिमाणीकरण की प्रक्रिया है।
• अतः सही उत्तर विकल्प "3" है। 

संकल्पना:

अंतिम मान प्रमेय:

एक अंतिम मान वाला प्रमेय समय डोमेन व्यवहार को आवृत्ति डोमेन समीकरण की सीमा को लेकर प्रत्यक्ष रूप से गणना करने की अनुमति प्रदान करता है। 

अंतिम मान वाला प्रमेय बताता है कि किसी प्रणाली के अंतिम मान की गणना निम्न द्वारा की जा सकती है 

\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sX\left( s \right)\)

जहाँ X(s) फलन का लाप्लास रूपांतरण है। 

अंतिम मान वाले प्रमेय को लागू करने के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों के वास्तविक भाग को s तल के बाएँ पक्ष में होना चाहिए। 

प्रारंभिक मान प्रमेय:

\(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} x\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } sX\left( s \right)\)

यह केवल तब लागू होता है जब X(s) के ध्रुवों की संख्या X(s) के शून्यों की संख्या से अधिक होती है। 

गणना:

दिया गया है कि, \(X\left( s \right) = \frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\)

प्रारंभिक मान,

 \(x\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } s\frac{{4s + 1}}{{{s^2} + 6s + 3}}\\=\mathop {\lim }\limits_{\frac{1}{s} \to 0 } \frac{{4 + \frac{1}{s}}}{{{1} + \frac{6}{s} + \frac{3}{s^2}}} = 4\)

दिया गया, सिग्नल

V (t) = 30 sin 100t + 10 cos 300 t + 6 sin (500t+π/4)

तो हमारे पास है

ω₁ = 100 rads

ω₂ = 300 rads

ω₃ = 500 rads

∴ संबंधित समय अवधियाँ हैं

\(\begin{array}{l} {T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _1}}} = \frac{{2\pi }}{{100}}sec\\ {T_1} = \frac{{2\pi }}{{{\omega _2}}} = \frac{{2\pi }}{{300}}sec\\ {T_3} = \frac{{2\pi }}{{500}}sec \end{array}\)

तो, सिग्नल की मूलभूत समय अवधि है

\(LCM\left( {{T_1},{T_2},{T_3}} \right) = \frac{{LCM\left( {2\pi ,2\pi ,2\pi } \right)}}{{HCF\left( {100,\ 300,\ 500} \right)}}\)

चूँकि \({T_0} = \frac{{2\pi }}{{100}}\)

∴ मूलभूत समय अवधि \({\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}} = 100\ rad/s\)

अवधारणा:

अंतिम मान प्रमेय:

यह बताता है कि:

\(x\left( \infty \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {1 - {z^1}} \right)X\left( z \right)\)

स्थितियां:

1. यह केवल करणीय प्रणालियों के लिए मान्य है।

2. (1 – z-1) X(z) के ध्रुव को इकाई वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए।

गणना:

z- परिवर्तन के लिए अंतिम मान प्रमेय है:

\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\frac{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right){z^{ - 1}}\left( {1 - {z^{ - 4}}} \right)}}{{{{\left( {1 - {z^{ - 1}}} \right)}^2}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}\left( {z - 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \frac{1}{4}\;\frac{{\left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right)}}{{{z^4}}} \)

= 1/4 × 1 × 2 × 2 = 1

संकल्पना:

एक निरंतर संकेत x(t) का फूरियर रूपांतर इस प्रकार दिया गया है:

\(X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty}^{\infty} x(t) ~{e^{ - j\omega t}}~dt \)

विश्लेषण:

दिया हुआ:

x(t) = ej10t को t = -1 से 1 तक परिभाषित किया गया है।

\( X\left( \omega \right) = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j10t}}.{e^{ - j\omega t}}dt = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}dt\)

\(X(\omega) = \left. {\frac{{{e^{j\left( {10 - \omega } \right)t}}}}{{j\left( {10 - \omega } \right)}}} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{2\sin \left( {\omega - 10} \right)}}{{\left( {\omega - 10} \right)}} \)

संकल्पना:

प्रारंभिक मान प्रमेय:

प्रारंभिक मान प्रमेय लाप्लास रूपांतर के मूल गुणों में से एक है जिसका उपयोग लाप्लास डोमेन में प्रारंभिक अवस्था (t = 0) पर प्रणाली की प्रतिक्रिया को खोजने के लिए किया जाता है। गणितीय रूप से यह निम्न द्वारा दिया गया है

\({\bf{f}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;F\left( s \right)\)

जहाँ

f(t) प्रणाली फलन है

F(s) प्रणाली फलन f(t) का लाप्लास रूपांतर है

f(0+) प्रणाली का प्रारंभिक मान है

सूचना:

• लागू किये जाने वाले अंतिम प्रमेय के लिए प्रणाली को स्थिर-अवस्था में संतुलित होना चाहिए और इसके लिए ध्रुवों का वास्तविक भाग s तल के बाएँ पक्ष पर होना चाहिए।
• दिए गए प्रश्न में ठीक अंतिम प्रमेय को लागू नहीं किया गया है लेकिन केवल X(0+) की गणना की गयी है।​

गणना:

दिया गया है कि,

\(X(s) = \frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{x}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s\;X\left( s \right)\)

\({\bf{x}}\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\bf{f}}\left( {\bf{t}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} s.\;\frac{{3{s} + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty \;} \;\frac{{3{s^2} + 5s}}{{{s^2} + 10s + 21}}\)

= 3

अवधारणा :

किसी दिए गए सिग्नल x(t) को उसके सम भाग और विषम भाग के योग के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात

x(t) = xe(t) + xo(t)

xe(t) = g(t) के सम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\)

xo(t) = x(t) के विषम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\)

गणना :

दिया हुआ:

x(t) = (2 + sin t)2

x(t) = 4 + sin2t + 4 sin t

x(-t) = 4 + sin2t - 4 sin t

g(t) का सम भाग इस प्रकार परिकलित होता है:

\(x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}\)

\(=\frac{4+sin^2⁡t+4 sin⁡t+4+sin^2⁡t-4 sin⁡t }{2}\)

= 4 + sin2t

x(t) के विषम भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}\) \(\)

\(=\frac{4+sin^2⁡t+4 sin⁡t-4-sin^2⁡t+4 sin⁡t }{2}\)

= 4 sin t