Minors and Cofactors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Minors and Cofactors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 14, 2025

पाईये Minors and Cofactors उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Minors and Cofactors MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Minors and Cofactors MCQ Objective Questions

Minors and Cofactors Question 1:

यदि Δ=|abcdefghi|

और A, B, C, D, G अवयवों a, b, c, d, g के क्रमशः सहखंड हैं, तो किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1
  3. Δ
  4. Δ

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Minors and Cofactors Question 1 Detailed Solution

गणना:

सहखंड:

⇒ A = ei - hf

B = gf - di,

C = dh - ge

⇒ D = ch - bi और

⇒ G = bf - ec

अब, bB + cC - dD - gG

= bgf - bdi + cdh - cge - cdh + bdi - gbf + gec = 0

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Minors and Cofactors Question 2:

आव्यूह [102 312 456]में 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल क्या है?

  1. 180
  2. -180
  3. -190
  4. उपर्युक्त में से एक से अधिक
  5. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -190

Minors and Cofactors Question 2 Detailed Solution

दिया गया है:

आव्यूह =[102 312 456]

अवधारणा:

आव्यूहों में अवयवों के सहखंड की अवधारणा का प्रयोग कीजिए।

गणना:

[102 312 456]

3 का सहखंड है,  (1)3[0256]=(1)(0(10))=10

- 2 का सहखंड है, (1)4[3145]=15(4)=19

अतः 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल (- 10) × 19 = - 190 है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

Minors and Cofactors Question 3:

आव्यूह [102 312 456]में 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल क्या है?

  1. 180
  2. -180
  3. -190
  4. 190

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -190

Minors and Cofactors Question 3 Detailed Solution

दिया गया है:

आव्यूह =[102 312 456]

अवधारणा:

आव्यूहों में अवयवों के सहखंड की अवधारणा का प्रयोग कीजिए।

गणना:

[102 312 456]

3 का सहखंड है,  (1)3[0256]=(1)(0(10))=10

- 2 का सहखंड है, (1)4[3145]=15(4)=19

अतः 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल (- 10) × 19 = - 190 है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

Minors and Cofactors Question 4:

कोटि 3 के एक आव्यूह A के सारणिक का मान 3 है। यदि C, आव्यूह A के सह गुणनखंडों का आव्यूह है, तो C2 के सारणिक का मान क्या है?

  1. 3
  2. 9
  3. 81
  4. 729

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 81

Minors and Cofactors Question 4 Detailed Solution

दिया गया​ है: 

|A|3×3 = 3

C = आव्यूह A के सहखंड 

प्रयुक्त सूत्र:

(आव्यूह A के सहखंड)T = adj A

|adj A| = |A|n-1, जहाँ n आव्यूह की कोटि है। 

गणना:

C = आव्यूह A के सहखंड

C = (adj A)T = adj AT

|C2| = |adj AT|2

चूँकि, |adj A| = |A|n-1

|C2= (33-1)2

∴ |C2= 81

Minors and Cofactors Question 5:

आव्यूह ∆ = (6524) में अवयव 2 के लिए क्रमशः उपसारणिक और सह-गुणन खंड ज्ञात करें 

  1. M21 = -5, A21 = 5
  2. M21 = 5, A21 = -5
  3. M21 = -5, A21 = -5
  4. M21 = 5, A21 = 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : M21 = 5, A21 = -5

Minors and Cofactors Question 5 Detailed Solution

गणना​-

∆ = (6524)

अवयव '2' पंक्ति 2 और स्तंभ 1 का है इसलिए इसे 'a21' के रूप में दर्शाया गया है

2 × 2 आव्यूह उपसारणिक में केवल विकर्ण विपरीत अवयव है।

अवयव M21  के उपसारणिक = 5

अवयव A21 के सह-गुणन खंड = (-1)2+1 M21

सह गुणन खंड = -5

∴ अवयव 2 के उपसारणिक​ और सह-गुणन खंड  क्रमश: 5 और -5 हैं।

Top Minors and Cofactors MCQ Objective Questions

संख्या 2, 4, 6, 8 के साथ इन चार अलग-अलग तत्वों वाले सभी संभावित सारणिकों का निर्माण किया जाता है। ऐसे सभी सारणिकों के मूल्यों का योग क्या है?

  1. 128
  2. 64
  3. 32
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Minors and Cofactors Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

n वस्तु को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या= n!

गणना​:

दी गई संख्याएँ 2, 4, 6 और 8 हैं।

हम क्रम 2 का सारणिक बना सकते हैं।

हम जानते हैं कि n वस्तु को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = n!

सारणिकों की संख्या = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

माना दी गई संख्याओं से कुछ सारणिक बनाते हैं।

|2684| = 2 × 4 - 6 × 8 = 8 - 48 = - 40

|6248| = 48 - 8 = 40

|2864| = 8 - 48 = - 40

|6428| = 48 - 8 = 40

|4862| = 8 - 48 = - 40

|8426| = 48 - 8 = 40

|4682| = 8 - 48 = - 40

|8246| = 48 - 8 = - 40

इसलिए, हम देख सकते हैं कि हमें वह पैटर्न मिल रहा है जहां अन्य मान प्रत्येक सारणिक मान को उदासीन कर देगा।

तदनुसार, सभी सारणिकों के मानों का योग = 0

∴ आवश्यक योग शून्य है।

आव्यूह ∆ = (6524) में अवयव 2 के लिए क्रमशः उपसारणिक और सह-गुणन खंड ज्ञात करें 

  1. M21 = -5, A21 = 5
  2. M21 = 5, A21 = -5
  3. M21 = -5, A21 = -5
  4. M21 = 5, A21 = 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : M21 = 5, A21 = -5

Minors and Cofactors Question 7 Detailed Solution

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गणना​-

∆ = (6524)

अवयव '2' पंक्ति 2 और स्तंभ 1 का है इसलिए इसे 'a21' के रूप में दर्शाया गया है

2 × 2 आव्यूह उपसारणिक में केवल विकर्ण विपरीत अवयव है।

अवयव M21  के उपसारणिक = 5

अवयव A21 के सह-गुणन खंड = (-1)2+1 M21

सह गुणन खंड = -5

∴ अवयव 2 के उपसारणिक​ और सह-गुणन खंड  क्रमश: 5 और -5 हैं।

सारणिक Δ=|143567892| में तत्व 7 का लघु मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 23
  2. -23
  3. 24
  4. -27

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -23

Minors and Cofactors Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सारणिक के तत्व aij का लघु मान इसके iवें पंक्ति और jवें स्तंभ को हटाकर प्राप्त सारणिक होता है जिसमें तत्व aij हैं। तत्व aij के लघु मान को Mij द्वारा दर्शाया जाता है। 

गणना:

दिया गया है:Δ=|143567892|

चूँकि 7 दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में है, तो इसके लघु मान M23 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

M23=|1489|

= 9 - 32

= -23

[046402620] के M23 का उपसारणिक क्या है?

  1. -2
  2. 24
  3. -24
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 24

Minors and Cofactors Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

माना, A = [aij] एक वर्ग आव्यूह है।

उपसारणिक Mij, और सह-खंड Cij,​ की गणना करने के लिए, हम दिए गए आव्यूह के सारणिक को पंक्ति i और स्तंभ j को हटाते हैं।

तो, Cij = (-1)i+j Mij , जहां, Mij आव्यूह A का उपसारणिक

गणना:

दिया हुआ है कि:

[046402620]

दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाकर हम सारणिक को इस रूप में प्राप्त करते हैं

|0462|

= 0 × 2 - (-6) × 4

= 24

आव्यूह [102 312 456]में 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल क्या है?

  1. 180
  2. -180
  3. -190
  4. 190

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : -190

Minors and Cofactors Question 10 Detailed Solution

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दिया गया है:

आव्यूह =[102 312 456]

अवधारणा:

आव्यूहों में अवयवों के सहखंड की अवधारणा का प्रयोग कीजिए।

गणना:

[102 312 456]

3 का सहखंड है,  (1)3[0256]=(1)(0(10))=10

- 2 का सहखंड है, (1)4[3145]=15(4)=19

अतः 3 और -2 के सहखंडों का गुणनफल (- 10) × 19 = - 190 है। 

अतः विकल्प (3) सही है।

आव्यूह A=[123235421] के लिए सहखण्ड आव्यूह का पता लगाएं।

  1. [132288136111]
  2. [132288136111]
  3. [132288136111]
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [132288136111]

Minors and Cofactors Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक सारणिक तत्व के गौण को खोजने के लिए हमें aij के तत्व से गुजरने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटाने की आवश्यकता है, इस प्रकार प्राप्त aij का गौण कहा जाता है और आमतौर पर Mij द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक तत्व aij का सहखण्ड (-1)i + j द्वारा दिया जाता है जहां Mij तत्व का गौण है और यह Cij से दर्शाया जाता है।

इस प्रकार Cij={Mij,wheni+jisevenMij,wheni+jisodd

गणना:

दिया गया: A=[123235421]

यहां, हमें दिए गए आव्यूह A के लिए सहखण्ड आव्यूह ढूंढना होगा

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक तत्व aij का सहखण्ड निम्न द्वारा दिया जाता है: Cij={Mij,wheni+jisevenMij,wheni+jisodd

C11=(1)2×|3521|=13

C12=(1)3×|2541|=22

C13=(1)4×|2342|=8

इसी तरह, हम कह सकते हैं कि C21 = - 8, C22 = - 13 और C23 = 6

इसी तरह, हम यह भी कह सकते हैं कि, C31 = 1, C32 = - 1 और C33 = 1

तो, आवश्यक सहखण्ड आव्यूह [132288136111] है

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

सारणिक Δ=|143567892| में तत्व 7 का लघु मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 23
  2. -23
  3. 24
  4. -27
  5. इनमें से कोई नहीं​​

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -23

Minors and Cofactors Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सारणिक के तत्व aij का लघु मान इसके iवें पंक्ति और jवें स्तंभ को हटाकर प्राप्त सारणिक होता है जिसमें तत्व aij हैं। तत्व aij के लघु मान को Mij द्वारा दर्शाया जाता है। 

गणना:

दिया गया है:Δ=|143567892|

चूँकि 7 दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में है, तो इसके लघु मान M23 को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

M23=|1489|

= 9 - 32

= -23

यदि R=[101211232] तो R-1 की शीर्ष पंक्ति क्या है?

  1. [564]
  2. [531]
  3. [2112]
  4. [201]
  5. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [531]

Minors and Cofactors Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा :

माना कि A = [aij] कोटि n का वर्ग आव्यूह है और C = [cij] इसका सहखंड आव्यूह है। तो आव्यूह CT= [cji] को आव्यूह A का अभिसंयुक्त कहा जाता है और निम्न रूप में चिह्नित किया जाता है: adj (A) = CT= [cji], 1 ≤ i, j ≤ n।

कोटि n के किसी भी गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह A = [aij] को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है या इसका व्युत्क्रम होता है, यदि कोटि n का एक और गैर-अव्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह B मौजूद होता है। कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: A1=1|A|adjA

गणना :

दिया हुआ: R=[101211232]

पहले आव्यूह R के अभिसंयुक्त को ढूंढें

adj(R)=[531601431]

⇒ |R| = 1 × (2 + 3) - 0 × (4 + 2) - 1 × (6 - 2)

⇒ |R| = 1

∵ |R| ≠ 0 ⇒ R-1 मौजूद है

जैसा कि हम जानते हैं कि, कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: A1=1|A|adjA

R1=[531601431]

तो, R-1 की पहली पंक्ति = [5 -3 1]

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

आव्यूह A=[123235421] के लिए सहखण्ड आव्यूह का पता लगाएं।

  1. [132288136111]
  2. [132288136111]
  3. [132288136111]
  4. इनमें से कोई नहीं
  5. [132288135111]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [132288136111]

Minors and Cofactors Question 14 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक सारणिक तत्व के गौण को खोजने के लिए हमें aij के तत्व से गुजरने वाली पंक्ति और स्तंभ को हटाने की आवश्यकता है, इस प्रकार प्राप्त aij का गौण कहा जाता है और आमतौर पर Mij द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक तत्व aij का सहखण्ड (-1)i + j द्वारा दिया जाता है जहां Mij तत्व का गौण है और यह Cij से दर्शाया जाता है।

इस प्रकार Cij={Mij,wheni+jisevenMij,wheni+jisodd

गणना:

दिया गया: A=[123235421]

यहां, हमें दिए गए आव्यूह A के लिए सहखण्ड आव्यूह ढूंढना होगा

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक तत्व aij का सहखण्ड निम्न द्वारा दिया जाता है: Cij={Mij,wheni+jisevenMij,wheni+jisodd

C11=(1)2×|3521|=13

C12=(1)3×|2541|=22

C13=(1)4×|2342|=8

इसी तरह, हम कह सकते हैं कि C21 = - 8, C22 = - 13 और C23 = 6

इसी तरह, हम यह भी कह सकते हैं कि, C31 = 1, C32 = - 1 और C33 = 1

तो, आवश्यक सहखण्ड आव्यूह [132288136111] है

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

यदि R=[101211232] तो R-1 की शीर्ष पंक्ति क्या है?

  1. [564]
  2. [531]
  3. [2112]
  4. [201]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [531]

Minors and Cofactors Question 15 Detailed Solution

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अवधारणा :

माना कि A = [aij] कोटि n का वर्ग आव्यूह है और C = [cij] इसका सहखंड आव्यूह है। तो आव्यूह CT= [cji] को आव्यूह A का अभिसंयुक्त कहा जाता है और निम्न रूप में चिह्नित किया जाता है: adj (A) = CT= [cji], 1 ≤ i, j ≤ n।

कोटि n के किसी भी गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह A = [aij] को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है या इसका व्युत्क्रम होता है, यदि कोटि n का एक और गैर-अव्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह B मौजूद होता है। कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: A1=1|A|adjA

गणना :

दिया हुआ: R=[101211232]

पहले आव्यूह R के अभिसंयुक्त को ढूंढें

adj(R)=[531601431]

⇒ |R| = 1 × (2 + 3) - 0 × (4 + 2) - 1 × (6 - 2)

⇒ |R| = 1

∵ |R| ≠ 0 ⇒ R-1 मौजूद है

जैसा कि हम जानते हैं कि, कोटि n के एक वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम इसके द्वारा दिया जाता है: A1=1|A|adjA

R1=[531601431]

तो, R-1 की पहली पंक्ति = [5 -3 1]

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

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