सरल रेखाओं के आलेखीय निरूपण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Graphical Representation of Straight Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

4x + 3y = 0

जब x = 0 फिर y = 0

जब x = -3 फिर y = 4

और, 7x + 5y = 0

जब x = 0 फिर y = 0

जब x = 5 फिर y = -7

दो रेखाएँ 4x + 3y = 0 और 7x + 5y = 0 एक दूसरे को उनके आलेखीय निरूपण में केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी।

Alternate Method 

दिए गए समीकरण 4x + 3y = 0 और 7x + 5y = 0 हैं।

a1/a2 b1/b2 ⇒ 4/7 ≠ 3/5

इस स्थिति में, समीकरण का एक अद्वितीय हल होगा। यदि हम इसे याद रखें तो किसी भी आलेख को बनाने की आवश्यकता नहीं है।

kx + 2y = 7

⇒ 2y = - kx + 7

⇒ y = ( - kx/2) + (7/2)        - - - (1)

3x + y = 1  

⇒ y = - 3x + 1           - - - (2)

y = mx + c से दोनों समीकरणों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है,

समीकरण (1) की प्रवणता = m₁ = - k/2

समीकरण (2) की प्रवणता = m₂ = - 3

अनूठे हल के लिए,

⇒ m₁, m₂ के बराबर नहीं होना चाहिए

⇒ - k/2 ≠ - 3

∴ k ≠ 6

कोई हल नहीं के लिए,

⇒ m₁ = m₂

⇒ - k/2 = - 3

∴ k = 6

त्रिभुज ABC के बिन्दुओं A(A_X, A_y), B(B_X, B_y) और C(C_X, C_y) के लिए, त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक इस प्रकार प्राप्त किये जा सकते हैं,

(O_X, O_y) = [(A_X + B_X + C_X)/3], [(A_y + B_y + C_y)/3]

दिया गया है, A(3, -4), B(0, 5) और O(1, -4)

x-निर्देशांक के लिए,

⇒ 1 = (3 + 0 + C_X)/3

⇒ C_X = 3 - 3 = 0

y-निर्देशांक के लिए,

⇒ -4 = (-4 + 5 + C_y)/3

⇒ C_y = -12 - 1 = - 13

निर्देशांक पध्दति पर बिंदु P और Q को चिन्हित करें

उपरोक्त चित्र से, ΔOPQ एक समकोण त्रिभुज है।

OP = 1.5

OQ = 0.5

PQ² = OP² + OQ²

⇒ PQ² = (1.5)² + (0.5)²

⇒ PQ² = 2.25 + 0.25

⇒ PQ² = 2.5

दिया गया है:

रेखाओं के समीकरण: 2x - y + 8 = 0, 8x + 3y - 24 = 0, और y = 0

प्रयुक्त सूत्र:

रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊँचाई

गणना:

प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए हल करें:

रेखा 1: 2x - y + 8 = 0

⇒ y = 2x + 8

रेखा 2: 8x + 3y - 24 = 0

रेखा 1 से y को रेखा 2 में प्रतिस्थापित करें:

8x + 3(2x + 8) - 24 = 0

⇒ 8x + 6x + 24 - 24 = 0

⇒ 14x = 0

⇒ x = 0

x = 0 को रेखा 1 में प्रतिस्थापित करें:

y = 2(0) + 8 = 8

प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: (0, 8) और y = 0 इन रेखाओं को x-मानों पर प्रतिच्छेद करती है:

2x - y + 8 = 0 के लिए, y = 0:

2x + 8 = 0

⇒ x = -4

8x + 3y - 24 = 0 के लिए, y = 0:

8x - 24 = 0

⇒ x = 3

आधार = (-4, 0) और (3, 0) के बीच की दूरी = 7 इकाई

ऊँचाई = 8 इकाई

क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊँचाई

⇒ क्षेत्रफल = 1/2 x 7 x 8

⇒ क्षेत्रफल = 28 वर्ग इकाई

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

दो बिंदुओं (-6, y) और (18, 6) के बीच की दूरी 26 इकाई है।

प्रयुक्त सूत्र:

D = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

जहाँ,

दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी D इकाई है।

गणना:

दो बिंदुओं के बीच की दूरी = 26 इकाई

पहले निर्देशांक का मान = (x1, y1) = (-6, y)

दूसरे निर्देशांक का मान = (x2, y2) = (18, 6)

प्रश्न के अनुसार,

⇒ D = \(\sqrt{(18-(-6))^2 + (6-y)^2} \)

⇒ 26 = \(\sqrt{(24)^2 + (6-y)^2} \)

समीकरण के दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ 676 = 242 + (6 - y)2

⇒ 676 = 576 + (6 - y)2

⇒ 100 = (6 - y)2

⇒ 102 = (6 - y)2

समीकरण के दोनों ओर वर्गमूल करने पर,

⇒ 10 = 6 - y

⇒ y = -4

∴ अभीष्ट उत्तर -4 है।

दिया गया:

बिंदुओं (4, 4) और (6, 8) को मिलाने वाली रेखा

प्रयुक्त सूत्र :

बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) = (y2 - y1)/(x2 - x1) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता 

गणना:

हम जानते हैं कि,

बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) = (y2 - y1)/(x2 - x1) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता 

⇒ बिंदुओं (4, 4) और (6, 8) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता 

⇒ (8 - 4)/(6 - 4) = 4/2 = 2

दिया गया है:

2x – 3y + 6 = 0

4x + y = 16

y = 0

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{{2}} \) ∣x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)∣ 

गणना:

2x – 3y + 6 = 0 

⇒ 2x – 3y = -6 ....(1)

4x + y = 16  ....(2)

समीकरण (2) में 3 से गुणा करने पर,

⇒ 12x + 3y = 48 ...(3)

अब,

(1) और (3) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (2x + 12x) = (48 – 6)

⇒ 14x = 42

⇒ x = 3

अब, x का मान समीकरण (1) में रखते हैं,

⇒ 2 × 3 – 3y = -6

⇒ 6 – 3y = -6

⇒ -3y = -1

⇒ y = (-1 – 3) = 4

इसलिए, (x₁, y₁) = (3, 4)

अब,

y = 0 का मान समीकरण (2) में रखने पर,

⇒ 4x + 0 = 16

⇒ 4x = 16

⇒ x = 4

इसलिए, (x₂, y₂) = (4, 0)

फिर से,

हम y = 0 मान को समीकरण (1) में रखते हैं,

⇒ 2x – 0 = -6

⇒ 2x = -6

⇒ x = -3

इसलिए, (x₃, y₃) = (-3, 0)

अब,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{{2}} \) ∣x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)∣ 

⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∣3(0 – 0) + 4(0 – 4) + (-3)(4 – 0)∣ 

⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∣0 + (-16) + (-12)∣ 

⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∣-16 – 12∣ 

⇒ \(\frac{1}{{2}} \)∣-28∣ 

⇒ 14  [मापांक में ऋणात्मक चिह्न हमेशा धनात्मक लिया जाता है]

∴ अभीष्ट मान 14 है।

दिया गया:

निर्देशांक  (3, 2) = x = 3, y = 2 

⇒ kx - 3y = 6 

⇒ k (3) - 3 x 2 = 6 

⇒ 3k – 6 = 6 

⇒ k = \(\frac{12}{3}\) = 4

दिया है:

8x + 3y = 24, 2x + 8 = y और x-अक्ष

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊंचाई

दो रेखाओं 8x + 3y = 24, 2x + 8 = y के प्रतिच्छेदन बिंदु का Y निर्देशांक त्रिभुज की ऊंचाई देता है।

रेखाओं 8x + 3y = 24, 2x + 8 = y के x अन्तः-खंड का अंतर त्रिभुज का आधार देता है।

गणना:

8x + 3y = 24, 2x + 8 = y का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक समीकरण को दूसरे में रखते हैं।

⇒ 8x + 3(2x + 8) = 24

⇒ 14x = 0

⇒ x = 0

⇒ y = 2×0 + 8 = 8

⇒ त्रिभुज की ऊंचाई = 8

8x + 3y = 24, 2x + 8 = y के लिए X – अन्तः-खंड ज्ञात करने के लिए y = 0 रखते हैं

⇒ 8x + 3×0 = 24

⇒ x₁ = 3

⇒ 2x + 8 = 0

⇒ x₂ = -4

इनका अंतर आधार है = 3 – (-4) = 7

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 8 × 7/2 = 28

दिया गया है:

रेखा p का समीकरण: x + y = 5

रेखा q का समीकरण: x - y = 3

प्रयुक्त सूत्र:

प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:

1. x + y = 5

2. x - y = 3

गणना:

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर:

x + y + x - y = 5 + 3

⇒ 2x = 8

⇒ x = 8 / 2

⇒ x = 4

समीकरण 1 में x = 4 प्रतिस्थापित करने पर:

4 + y = 5

⇒ y = 5 - 4

⇒ y = 1

दोनों रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु के निर्देशांक:

(4, 1)

दिया है:

अवधारणा:

यहां हमें यह समझने की आवश्यकता है कि रेखा x = - 1 y अक्ष के समानांतर है क्या y अक्ष पर बिंदु के मूल्य में कोई बदलाव नहीं होगा।

प्रयोग किया गया सूत्र:

प्रतिबिंब बिंदु = (-x + 2a, y)

हल:

प्रतिबिंब बिंदु = (2 + 2 × (-1), 6)

∴ प्रतिबिंब बिंदु = (0, 6)

दिया गया है:

\(4x + \frac{1}{3}y = \frac{8}{3}\) और 

\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y + \frac{5}{2} = 0\)

गणना:

\(4x + \frac{1}{3}y = \frac{8}{3}\) ....(1)

\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y + \frac{5}{2} = 0\)

⇒ \(\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y = -\frac{5}{2} \) .....(2)

अब,

समीकरण (1) में संख्या को 3 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 12x + y = 8 ....(3)

पुनः, समीकरण (2) में संख्या को 24 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 12x + 18y = -60 ...(4)

अब,

समीकरण (3) और (4) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ (18y – y) = (-60 – 8)

⇒ 17y = -68

⇒ y = -4

अब, y का मान समीकरण (3) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 12x – 4 = 8

⇒ 12x = 12

⇒ x = 1

इसलिए, P(1, -4)

अब,

दिए गए विकल्प के अनुसार

x + 2y – 5 = 0

⇒ (1 – 8 – 5) = 0

⇒ -12, 0 के बराबर नहीं है

इसलिए, यह बिंदु P को संतुष्ट नहीं करता है​

पुनः,

3x – y – 7 = 0

⇒ (3 + 4 – 7) = 0

⇒ (7 – 7) = 0

⇒ 0 = 0

यह बिंदु P को संतुष्ट करता है

पुनः,

x – 3y – 12 = 0

⇒ (1 + 12 – 12) = 0

⇒ (13 – 12) = 0

⇒ 1, 0 के बराबर नहीं है

इसलिए, यह बिंदु P को संतुष्ट नहीं करता है​

पुनः,

4x – y + 7 = 0

⇒ (4 + 4 + 7) = 0

⇒ 15, 0 के बराबर नहीं है

इसलिए, यह बिंदु P को संतुष्ट नहीं करता है

∴ बिंदु P भी समीकरण 3x - y - 7 = 0 के आरेख पर स्थित है। 

दी गयी जानकारी के अनुसार,

बिंदु (2, 1) और (6, 3) से गुज़रने वाली रेखा का ढलान = \(\frac{{3 - 1}}{{6 - 2}}\) = 1/2

हम जानते हैं कि समानांतर रेखाओं के ढलान समान होते हैं|

दिया गया है: 

ax + 5y = 8

गणना:

ax + 5y = 8

⇒ y = -ax/5 + 8/5

इसकी तुलना y = mx + c के साथ करने पर, जहाँ m = प्रवणता

इसलिए, m = -a/5

⇒ प्रवणता = -a/5 = -4/3 (दिया गया है)

⇒ a/5 = 4/3