Geometrical applications MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Geometrical applications - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण: \(\vec{a} + \vec{b}\) और \(\vec{a} - \vec{b}\)

एक सदिश का परिमाण: \(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\) के लिए \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

गणना:

दिया गया है:

समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ: \(\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\) और \(\vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}\)

⇒ विकर्ण 1: \(\vec{a} + \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}\)

⇒ विकर्ण 1 का परिमाण: \(\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)

⇒ विकर्ण 2: \(\vec{a} - \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}\)

⇒ विकर्ण 2 का परिमाण: \(\sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}\)

∴ विकर्णों की लंबाईयाँ \(\sqrt{13}\) और \(\sqrt{21}\) हैं।

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

OD रेखा का समीकरण है

\(\vec{r}=\overrightarrow{0}+\lambda(\hat{i}+\hat{j})\)

विकर्ण BE का समीकरण है

\(\begin{array}{l} \vec{r}_{1}=\hat{j}+\alpha(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \mathrm{S} . \mathrm{D}=\left|\frac{\hat{j} \cdot(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{6}}\right|=\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\)

अन्य स्थिति में S.D शून्य है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

गणना:

A को मूलबिंदु (0,0) मान लीजिए।

इसलिए \(\vec {AB}= 3\hat i + 4\hat k\) और \(AC = 5\hat i - 2\hat j + 4\hat k\) स्थिति सदिश बन जाएँगे।

इसलिए B के निर्देशांक \((3,0,4)\) और C के निर्देशांक \((5,-2,4)\) होंगे।

दो बिंदुओं के मध्य-बिंदु सूत्र से BC का मध्य बिंदु आसानी से \(D(4,-1,4)\) ज्ञात किया जा सकता है।

इसलिए \(A\) से गुजरने वाली माध्यिका की लंबाई है

\(AD=\sqrt{(4-0)^2+(-1-0)^2+(4-0)^2}\) \(=\sqrt{33}\)

अतः विकल्प 2 सही है। 

\(C = (-1, -2, -3), D = (1, 2, -5)\) दो अन्य बिंदु हैं जो एक अन्य रेखा \(L_2\) द्वारा जुड़े हुए हैं।

\(\vec{AB}\) का मध्य-बिंदु \(\left(\dfrac{6+0}{2}, \dfrac{-4+0}{2}, \dfrac{4-4}{2}\right) = (3, -2, 0)\) है।

\(\vec{CD}\) का मध्य-बिंदु \(\left(\dfrac{-1+1}{2}, \dfrac{-2+2}{2}, \dfrac{-3-5}{2}\right) = (0, 0, -4)\) है।

\(L_2\) का मध्य-बिंदु \(L_1\) पर स्थित है।

\(\therefore L_1\) और \(L_2\), \(L_2\) के मध्य-बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इस प्रकार, दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((0, 0, -4) = B\) है।

अतः, \(B\) प्रतिच्छेद बिंदु है।

जहाँ \(D_1 \) और \(D_2\) विकर्ण हैं

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\dfrac{1}{2}|2\hat{i}\times 2\hat{j}|=\dfrac{1}{2}4|\hat{k}| =2\)

अवधारणा :

अगर \(\rm \vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\rm \vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{ \rm a_1}}&{{\rm a_2}}&{{\rm a_3}}\\ {{\rm b_1}}&{{\rm b_2}}&{{\rm b_3}} \end{array}} \right|\)

यदि \(\rm \vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की समीपवर्ती भुजाएँ हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इसके द्वारा दिया जाता है: \(\rm \frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

गणना :

दिया हुआ: त्रिभुज की दो भुजाएँ\(\left( {2\bar i - 7\bar j + \bar k} \right)\;\) और \(\left( {4\bar j - 3\bar k} \right)\) हैं

ज्ञात करना है: त्रिभुज का क्षेत्रफल

माना कि भुजाएँ \(\rm \vec a\;and\;\vec b\)= \(\left( {2\bar i - 7\bar j + \bar k} \right)\;\)और \(\left( {4\bar j - 3\bar k} \right)\)

\(\rm \vec{a}\times \vec{b}= \begin{vmatrix} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k} \\ 2 & -7 & 1\\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}\\=\hat i(21-4)-\hat j(-6-0)+\hat k(8-0)\\=17\hat i+6\hat j+8\hat k\)

\(\rm |\vec{a}\times \vec{b}|= \sqrt{17^2+6^2+8^2}= \sqrt{389}\)

अब

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)= \(\frac{{\sqrt {389} }}{2}\)

संकल्पना:

किसी समांनातर चतुर्भुज के भुजाओं के रूप में सदिश \(\rm \vec {d_{1}}\) और \(\rm \vec {d_{1}}\) के साथ इसके क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm Area=\dfrac{1}{2}\left|\vec{d_1}\times\vec{d_2}\right|\).

अन्योन्य गुणनफल: दो सदिश \(\rm \vec {A}=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k\) और \(\rm \vec {B}=b_1\hat i+b_2\hat j+b_3\hat k\), के लिए उनके अन्योन्य गुणनफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm \vec A \times \vec B=\begin{vmatrix} \rm \hat i & \rm \hat j & \rm \hat k\\ \rm a_1& \rm a_2 & \rm a_3\\ \rm b_1 & \rm b_2 & \rm b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1-a_1b_3)\hat j+(a_1b_2-a_2b_1)\hat k\).

सदिश \(\rm \vec {A}=a_1\hat i+a_2\hat j+a_3\hat k\) के परिमाण \(\rm |\vec A|\) को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm |\vec A|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

गणना:

समानांतर चतुर्भुज के दिए गए विकर्ण \(\rm \vec{a}= 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\) और \(\rm \vec{b}=\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) हैं। 

विकर्ण \(\rm \vec {a}\) और \(\rm \vec {b}\) वाले समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm Area=\dfrac{1}{2}\left|\vec a\times\vec b\right|=\dfrac{1}{2}\left|(a_2b_3-a_3b_2)\hat i+(a_3b_1-a_1b_3)\hat j+(a_1b_2-a_2b_1)\hat k\right|\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{[(1)(4)-(-2)(-3)]^2+[(-2)(1)-(3)(4)]^2+[(3)(-3)-(1)(1)]^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{(4-6)^2+(-2-12)^2+(-9-1)^2}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{4+196+100}\)

= \(\rm \dfrac{1}{2}\sqrt{300}\)

= \(5\sqrt{3}\).

Additional Information

किसी समांनातर चतुर्भुज के भुजाओं के रूप में सदिश \(\rm \vec {a}\) और \(\rm \vec {b}\) के साथ इसके क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm Area=|\vec{a}\times\vec{b}|\).

दो सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) एक-दूसरे से कोण θ पर है:

• बिंदु गुणनफल को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:\(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\).
• अन्योन्य गुणनफल को: \(\rm \vec A\times \vec B=\hat n|\vec A||\vec B|\sin \theta\) के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ \(\rm \hat n\), \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) वाले तल के लंबवत इकाई सदिश है। 

धारणा:

• एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं।

गणना:

चूंकि, एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करते हैं इसलिए P, AC और BD दोनों का मध्य बिंदु है।

\(\Rightarrow \frac{{\overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} }}{2} = \overrightarrow {{\rm{OP}}} \) 

\(\therefore \overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} = 2 \times \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)         …. (1)

अब

\( \Rightarrow \frac{{\overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} }}{2} = \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)

\(\therefore \overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} = 2 \times \overrightarrow {{\rm{OP}}} \)         …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

\(\overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{OC}}} + \overrightarrow {{\rm{OD}}} = 4{\rm{\;}}\overrightarrow {{\rm{OP}}} {\rm{\;}}\) 

संकल्पना:

एक त्रिभुज ABC को समद्विबाहु त्रिभुज तब कहा जाता है यदि त्रिभुज ABC में बराबर लम्बाई वाले दो भुजाएं होते हैं। 

गणना:

दिया गया है, केंद्र O के संबंध में बिंदु P का स्थान सदिश î + 3ĵ - 2k̂ और बिंदु Q का स्थान सदिश 3î + ĵ - 2k̂ है। 

⇒\(\rm \bar {OP} \) = î + 3ĵ - 2k̂ और \(\rm \bar {OQ}\) = 3î + ĵ - 2k̂.

⇒ |OP| = \(\rm \sqrt {1+9 + 4} = \sqrt {14}\)

⇒ |OQ| = \(\rm \sqrt {9 + 1+ 4} = \sqrt {14}\)

यहाँ, |OP| = |OQ|

\(\rm \triangle POQ\) समद्विबाहु त्रिभुज है। 

कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 (OP + OQ)\)

⇒कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 [(î + 3ĵ - 2k̂) + (3î + ĵ - 2k̂)]\)

⇒ कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm \dfrac 1 2 (4î + 4ĵ - 4k̂) \)

⇒ कोण POQ के द्विभाजक का स्थान सदिश = \(\rm 2î + 2ĵ - 2k̂\)

धारणा:

एक समांतर चतुर्भुज ABCD पर विचार करते हुए, AC और BD वे विकर्ण हैं जो O पर एक दूसरे को द्विभाजित करते हैं।

हम जानते हैं कि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समान भाग के दो त्रिभुजों में समांतर चतुर्भुज को द्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × ∆BCD का क्षेत्रफल

∆BCD में

आधार = BD और ऊंचाई = CE = OC × sin θ = ½ × AC × sin θ

त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई = 1/2 × |\(\overrightarrow {BD} \)| × |\(\frac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\) sin θ|

तो, समानांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = |\(\overrightarrow {BD} \)| × |\(\frac{{\overrightarrow {AC} }}{2}\) sin θ | = 1/2 × |\(\overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {AC} \)|

गणना:

दिया हुआ:

हम विकर्णों को AC और BD निम्न रूप में मान लेते हैं,

\(\overrightarrow {AC} \) = 3î + ĵ - 2k̂

\(\overrightarrow {BD}\) = î - 3ĵ + 4k̂

निम्न खोजने के लिए: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल?

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × |\(\overrightarrow {BD} \times \overrightarrow {AC} \)|

= ½ × \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&j&k\\ 3&1&-2\\ 1&-3&4 \end{array}} \right|\)

= ½ × |î {4 – 6} ĵ – {12 – (-2)} + k̂ {-9 – 1}|

= ½ × |-2î - 14ĵ – 10 k̂|

= ½ × \(\sqrt {{2^2} + {{14}^2} + {{10}^2}} \)

= ½ × √(4 + 196 + 100)

= ½ × √(300)

= ½ × 10√3

= 5√3

संकल्पना:

सदिश जोड़ का त्रिभुज नियम: सदिश जोड़ का त्रिभुज नियम बताता है कि जब दो सदिशों को परिमाण और दिशा के क्रम में त्रिभुज के दो भुजाओं के रूप में दर्शाया जाता है, तो त्रिभुज की तीसरी भुजा परिणामी सदिश के परिमाण और दिशा को दर्शाती है। 

.

\(⇒ {\rm{\vec R}} = {\rm{\vec A}} + {\rm{\vec B}}\)

गणना:

दिया गया है सदिश \(\rm 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k}, \hat{i} - λ\hat{j} + 2\hat{k} \;and\; 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}\) है। 

सदिश जोड़ के त्रिभुज नियम का प्रयोग करने पर,\(\rm ⇒ 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k} = (\hat{i} - λ\hat{j} + 2\hat{k}) + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k})\)

\(\rm ⇒ 3\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k} = 3\hat{i} + (- λ+3)\hat{j} + 5\hat{k} \)

 \(\rm \vec {j}\) के गुणांक की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ -8 = -λ + 3

⇒ λ = 3 + 8

∴ λ = 11

संकल्पना:

I. यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\)है, तो  \(\vec a \times \;\vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|\) है।

II. यदि \(\vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की सन्निकट भुजाएं हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है: \(\frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

गणना:

दिया गया है: ΔOAB में, जहाँ O केंद्र है, \(\overrightarrow {OA} = \;3\hat i - \hat j + \hat k\;and\;\overrightarrow {OB} = \;2\hat i + \hat j - 3\hat k\)

\(\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} = \;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\hat i}&{\hat j}&{\hat k}\\ 3&{ - 1}&1\\ 2&1&{ - 3} \end{array}} \right| = 2\;\hat i + 11\;\hat j + 5\;\hat k\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{11}^2} + {5^2}} = 5\sqrt 6 \)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि \(\vec a\;and\;\vec b\) एक त्रिभुज की सन्निकट भुजाएं हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है: \(\frac{1}{2}\;\left| {\vec a \times \;\vec b} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {OA} \times \;\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{2} \times \;5\sqrt 6 = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\;sq\;units\)

संकल्पना:

जब दो सदिश दिए गए हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल:

\(\rm \frac12 \times |\vec {AB} \times \vec {AC}| \)

पार गुणनफल:

\(\begin{array}{l} \rm \vec{a}=x_{1} \hat{1}+y_{1} \hat{j}+z_{1} \hat{k}\\ \rm \vec{b}=x_{2} \hat{1}+y_{2} \hat{j}+z_{2} \hat{k} \\ \rm \vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \rm \hat{i} &\rm j &\rm \hat{k} \\ \rm x_{1} &\rm y_{1} & \rm z_{1} \\ \rm x_{2} & \rm y_{2} &\rm z_{2} \rm \end{array}\right| \end{array}\)

गणना:

यहाँ, माना कि A = (0,2,2), B = (2,0,-1) और C =(3,4,0) है। 

AB = (2-0, 0-2, -1-2) = (2, -2, -3) और 

AC = (3-0, 4-2, 0-2) = (3, 2, -2)

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac12 \times |\vec {AB} \times \vec {AC}| \)

 \(\begin{array}{l} =\rm \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \rm \hat i &\rm \hat j & \rm \hat k \\ 2 & -2 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \end{array}\right| \\ =\frac{1}{2}|[\rm \hat i(4+6)+ \rm \hat j(-4+9)+ \rm \hat k(4+6)]| \end{array}\)

=1/2(10 i + 5 j + 10 k)

= 1/2 √(100 + 25 + 100)

= 15/2 वर्ग इकाई 

अतः विकल्प (1) सही है। 

प्रश्न से, राशियाँ \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) गैर-समरेखीय हैं।

तो, हम लिख सकते हैं,

\(\Rightarrow {\rm{\vec a}} \neq \lambda {\rm{\vec b}}\)

किसी गैर-शून्य अदिश राशि λ के लिए

प्रश्न से,

\(\vec \alpha = \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}}\)

\(\vec \beta = \left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b\)

इस प्रकार, हम लिख सकते हैं,

\(\vec \alpha = k\vec \beta \)k ∈ R के लिए -{0}

मानों को रखने पर,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right){\rm{\vec a}} + {\rm{\vec b}} = k\left[ {\left( {4\lambda - 2} \right)\vec a + 3\vec b} \right]\)

\(\Rightarrow \left[ {\left( {\lambda - 2} \right) - k\left( {4\lambda - 2} \right)} \right]{\rm{a}} + \left( {1 - 3k} \right){\rm{b}} = 0\)

प्रश्न से, जैसा कि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) गैर-समरेखीय हैं, इस प्रकार वे रेखीय स्वतंत्र हैं।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 और (1 - 3k) = 0

अब,

⇒ 1 = 3k

\(\therefore k = \frac{1}{3}\)

दूसरे प्राप्त समीकरण में ‘k’ का मान रखने पर,

\(\Rightarrow \left( {\lambda - 2} \right) - \frac{1}{3}\left( {4\lambda - 2} \right) = 0\)

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

संकल्पना:

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 |\vec {AC} \times \vec {BD}|\) , जहां \(\rm \vec {AC} \;\; \text {and }\;\; \vec {BD}\) विकर्ण हैं।

गणना:

माना\(\overrightarrow{AC}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) और \(\overrightarrow{BD}=-\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\) चतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं।

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 |\vec {AC} \times \vec {BD}|\) ....(1)

⇒ \(\rm (\vec {AC} \times \vec {BD}) =\) \(\begin{vmatrix} \vec i&\vec j & \vec k \\ 2&1 &1 \\ -1&3 &2 \end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm (\vec {AC} \times \vec {BD}) =\) \(\rm -\vec i - 5\vec j + 7 \vec k\)

⇒ \(\rm |\vec {AC} \times \vec {BD}| = \sqrt {(-1)^2+(-5)^2+(7)^2}\)

⇒ \(\rm |\vec {AC} \times \vec {BD}| = \sqrt {75} = 5 \sqrt 3\)

समीकरण (1) से, हमारे पास है

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac{5\sqrt3}{2}\)